空间点直线平面间的位置关系 教案.docx

1、空间点直线平面间的位置关系 教案空间点、直线、平面间的位置关系适用学科数学适用年级高二适用区域课时时长（分钟）知识点平面的基本性质直线与直线的基本关系直线与平面的基本关系平面与平面的基本关系异面直线的判定与异面直线所成的角点共线、线过同一点、点线共面问题教学目标1理解空间直线、平面位置关系的定义2了解可以作为推理依据的公理和定理3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题教学重点综合应用教学难点综合应用教学过程一、复习预习教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解考点/易错点1 平面的基本性质 名称图示文字表示符号表示公理1如果一条直线上的两点在一个平面内

2、，那么这条直线在此平面内Al，Bl，且A，Bl公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，且Pl，且Pl考点/易错点2 空间直线的位置关系的分类考点/易错点3 平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行考点/易错点4 等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补考点/易错点5 异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(2)范围：.考点/易错点6 直线与平面的位置关系位置关系图示符号

3、表示公共点个数直线l在平面内l无数个直线l与平面相交lA一个直线l与平面平行l0个考点/易错点7 平面与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数两个平面平行0个两个平面相交l无数个(这些公共点均在交线l上)三、例题精析【例题1】【题干】(1)在空间中，下列命题正确的是()A对边相等的四边形一定是平面图形B四边相等的四边形一定是平面图形C有一组对边平行的四边形一定是平面图形D有一组对角相等的四边形一定是平面图形(2)对于四面体ABCD，下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)相对棱AB与CD所在直线异面；由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD三条高线的交点；若分别作ABC和ABD的边AB上

4、的高，则这两条高所在的直线异面；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点【答案】(1)C(2)【解析】(1)由“两平行直线确定一个平面”知C正确(2)由四面体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故正确；由顶点A作四面体的高，只有当四面体ABCD的对棱互相垂直时，其垂足是BCD的三条高线的交点，故错误；当DADB，CACB时，这两条高线共面，故错误；设AB，BC，CD，DA的中点依次为E，F，M，N，易证四边形EFMN为平行四边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱中点的连线也过它们的交点，故正确【例题2】【题干】已知m，n，l为不同的直线，为不同的平面，有下面四个命题

5、：m，n为异面直线，过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交m，n为异面直线，过空间任一点P，一定存在一个与直线m，n都平行的平面，l，m，n，m，n与l都斜交，则m与n一定不垂直；m，n是内两相交直线，则与相交的充要条件是m，n至少有一条与相交则四个结论中正确的个数为()A1 B2C3 D4【答案】B【解析】错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内且不在直线m上时，就不满足结论；错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内时， 就不满足结论；正确，否则，若mn，在直线m上取一点作直线al，由，得an.从而有n，则nl；正确【例题3】【题干】

6、四棱锥PABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图所示，因为四边形ABCD为正方形，故CDAB，则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角PAB，在PAB内，PBPA，AB2，利用余弦定理可知：cos PAB.四、课堂运用【基础】1若a，b，c，d是空间四条直线如果“ac，bc，ad，bd”，则()Aab且cdBa，b，c，d中任意两条可能都不平行CabDa与b，c与d中至少有一对直线互相平行解析：选D(1)若a，b，c，d在同一平面内，则ab，cd.(2)若a，b，c，d不在同一平面内，若a，b相交

7、，则a，b确定平面，此时c，d，故cd.若a，b异面，则可平移a与b相交确定平面，此时，c，d，cd.若a，b平行，则c，d关系不定同理，若c，d相交，异面也可推出ab，若c，d平行，则a，b关系不确定综上知，a，b，c，d中至少有一对直线互相平行2.设四棱锥PABCD的底面不是平行四边形，用平面去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面()A不存在 B只有1个C恰有4个 D有无数多个解析：选D设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m，n确定了一个平面，作与平行的平面，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面有无数多个3.如图为正方体表面的

8、一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为()A1 B2C3 D4解析：选CAB，CD，EF和GH在原正方体中如图所示，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行故互为异面的直线有且只有三对4已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的_条件解析：E，F，G，H四点不共面时，EF，GH一定不相交，否则，由于两条相交直线共面，则E，F，G，H四点共面，与已知矛盾，故甲可以推出乙；反之，EF，GH不相交，含有EF，GH平行和异面两种情况，当E

9、F，GH平行时，E，F，G，H四点共面，故乙不能推出甲即甲是乙的充分不必要条件答案：充分不必要5.如图所示，在三棱锥CABD中，E，F分别是AC和BD的中点，若CD2AB4，EFAB，则EF与CD所成的角是_解析：取CB的中点G，连接EG，FG，EGAB，FGCD.EF与CD所成角即为EFG.又EFAB，EFEG，在RtEFG中，EGAB1，FGCD2，sin EFG.EFG.EF与CD所成的角为.答案：【巩固】1将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到四面体ABCD(如图2)，则在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A相交且垂直 B相交但不垂直C异面且垂直 D异面但不垂

10、直解析：选C在图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则ADBC，翻折后如图2，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD，CD，这两条线段与AD垂直，即ADBD，ADCD，故AD平面BCD，所以ADBC.2若两条异面直线所成的角为60，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有_对解析：正方体如图，若要出现所成角为60的异面直线，则直线需为面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是AB，BC，AD，CD，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有24对(每一对被计算两次，所以

11、要除以2)3已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD的中点(1)求证：BC与AD是异面直线；(2)求证：EG与FH相交证明：(1)假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为，则B、C、A、D.所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾所以BC与AD是异面直线(2)如图，连接AC，BD，则EFAC，HGAC，因此EFHG；同理EHFG，则EFGH为平行四边形又EG、FH是EFGH的对角线，所以EG与HF相交【拔高】1如图在四面体OABC中，OA，OB，OC两两垂直，且OBOC3，OA4.给出如下判断：存在点D(O点除外)，使得四面体

12、DABC有三个面是直角三角形；存在点D，使得点O在四面体DABC外接球的球面上；存在唯一的点D使得OD平面ABC；存在点D，使得四面体DABC是正棱锥；存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等其中正确命题的序号是_(把你认为正确命题的序号填上)解析：作OH平面ABC于H并延长至D，使OHHD，则四面体DABC与四面体OABC全等，故正确；在以O，A，B，C确定的球上，显然存在点D满足条件，故正确；过O做平面ABC的垂线，在垂线上任取一点D，显然OD平面ABC，故不正确；ABC不是正三角形，以ABC为底面没有正棱锥取BC的中点O1，在平面AOO1内取D，使BCBDCD3且AD5，则四面体是以BC

13、D为底的正棱锥，这样的D点存在，所以正确BC垂直于所作的平面AOO1，在平面AOO1内以A为圆心，以BC为半径作圆，圆周上任一点满足条件，所以这样的D点有无数个，故正确答案：2在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ACBC，PAACBC，则直线PC与AB所成角的大小是_解析：分别取PA，AC，CB的中点F，D，E连接FD，DE，EF，AE，则FDE是直线PC与AB所成角或其补角设PAACBC2a，在FDE中，易求得FDa，DEa，FEa，根据余弦定理，得cos FDE，所以FDE120.所以直线PC与AB所成角的大小是60.答案：60课程小结1.三个公理的作用(1)公理1的作用：检验平面；判断直

14、线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内(2)公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件(3)公理3的作用：判定两平面相交；作两相交平面的交线；证明多点共线2异面直线的有关问题(1)判定方法：反证法；利用结论即过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线，如图(2)所成的角的求法：平移法课后作业【基础】1l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面解析：选B在选项A中：l1l2，l2l3，l1与l

15、3可以平行也可相交或异面，借助正方体的棱很容易理解在B中：l1l2，l2l3，由异面直线所成角的定义可以推出l1l3.l1l2l3，三直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱不共面共点的三条直线不一定共面，如三棱锥中共顶点的三条棱不共面2在正四棱锥VABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为()A. B. C. D. 解析：选D如图所示，设ACBDO，连接VO，由于四棱锥VABCD是正四棱锥，所以VO平面ABCD，故BDVO.又四边形ABCD是正方形，所以BDAC，所以BD平面VAC.所以BDVA，即异面直线VA与BD所成角的大小为.3设四面体的六条棱的

16、长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是()A(0，) B(0，)C(1，) D(1，)解析：选A如图所示的四面体ABCD中，设ABa，则由题意可得CD，其他边的长都为1，故三角形ACD及三角形BCD都是以CD为斜边的等腰直角三角形，显然a0.取CD中点E，连接AE，BE，则AECD，BECD且AEBE，显然A，B，E三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2a，解得0a.4. 如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点在此几何体中，给出下面四个结论：直线BE与CF异面；直线BE与AF异面；直线EF平面PBC；平

17、面BCE平面PAD.其中正确的有_个解析：如图，易得EFAD，ADBC，EFBC，即B，E，F，C四点共面，则错误，正确，正确，不一定正确答案：2【巩固】1如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：C1，O，M三点共线证明：C1平面A1ACC1，且C1平面DBC1.C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点又MAC，M平面A1ACC1.MBD，M平面DBC1，M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点，C1M是平面A1ACC1与平面DBC1的交线O为A1C与截面DBC1的交点，O平面A1ACC1，O平面DBC1，即O也是两平面的公共

18、点，O直线C1M，即C1，O，M三点共线2. 如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解：(1)证明：由题设知，FGGA，FHHD，所以GH綊AD.又BC綊AD，故GH綊BC.所以四边形BCHG是平行四边形(2)C，D，F，E四点共面理由如下：由BE綊AF，G是FA的中点知，BE綊GF，所以EF綊BG.由(1)知BGCH，所以EFCH，故EC，FH共面又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面【拔高】1关于直线

19、a，b，l以及平面M，N，下面命题中正确的是()A若aM，bM，则abB若aM，ba，则bMC若aM，aN，则MND若aM，bM, 且la，lb，则lM解析：选C同平行于一个平面的两条直线可平行也可相交或异面，故A错aM，ba时，b与M的位置关系不确定，B错；当ab时，la，lb，l不一定垂直于M，故D错误2正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE2EB，CF2FD，将直角梯形AEFD沿EF折起到AEFD的位置，使点A在平面ABCD上的射影G恰好落在BC上(1)判断直线AA与DD的位置关系，并证明；(2)证明平面AAE平面ABC；解：(1)AADD.设直线AD与EF相交于点O，翻折后直线AD仍过O点，A，A，D，D四点共面于平面OAA.又FDAE，FD平面AAE，AE平面AAE，FD平面AAE.同理，FD平面AAE，而FDFDF，平面DFD平面AAE.又平面OAA平面DFDDD，平面OAA平面AAEAA，AADD.(2)AG平面ABCD，AGAB.又ABBC，BCAGG，AB平面ABC.又AB平面AAE，平面AAE平面ABC.