一元一次方程应用题搜集资料.docx
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一元一次方程应用题搜集资料
初一一元一次方程应用题讲解、典型例题
（一）行程问题：
行程问题是反映物体匀速运动的应用题。
行程问题涉及的变化较多，有的涉及一个物体的运动，有的涉及两个物体的运动，有的涉及三个物体的运动。
涉及两个物体运动的，又有“相向运动”（相遇问题）、“同向运动”（追及问题）和“相背运动”（相离问题）三种情况。
但归纳起来，不管是“一个物体的运动”还是“两个物体的运动”，不管是“相向运动”、“同向运动”，还是“相背运动”，他们的特点是一样的，具体地说，就是它们反映出来的数量关系是相同的，都可以归纳为：
速度×时间=路程。
相向而行的公式：
相遇时间=距离÷速度和。
相背而行的公式：
相背距离=速度和×时间。
相向而行的公式：
速度慢的在前，快的在后。
追及时间=追及距离÷速度差。
在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。
追及距离=速度差×时间。
追及距离÷时间=速度差
要正确的解答有关"行程问题”的应用题，必须弄清物体运动的具体情况。
如运动的方向（相向，相背，同向），出发的时间（同时，不同时），出发的地点（同地，不同地），运动的路线（封闭，不封闭），运动的结果（相遇、相距多少、交错而过、追击）。
两个物体运动时，运动的方向与运动的速度有着很大关系，当两个物体“相向运动”或“相背运动”时，此时的运动速度都是“两个物体运动速度的和”（简称速度和），当两个物体“同向运动”时，此时两个物体的追击的速度就变为了“两个物体运动速度的差”（简称速度差）。
当物体运动有外作用力时，速度也会发生变化。
如人在赛跑时顺风跑和逆风跑；船在河中顺水而下和逆水而上。
此时人在顺风跑是运动的速度就应该等于人本身运动的速度加上风的速度，人在逆风跑时运动的速度就应该等于人本身的速度减去风的速度；我们再比较一下人顺风的速度和逆风的速度会发现，顺风速度与逆风速度之间相差着两个风的速度；同样比较“顺水而下”与“逆流而上”，两个速度之间页相差着两个“水流的速度”。
难怪古人会感叹：
逆水行舟，不进则退。
设甲的速度为X千米／时，乙的速度为Y千米／时，甲从A地出发，乙从B地出发，当两人第一次相遇时，离A地4千米，也就是甲走了（4／X）小时，而此时距乙离开B地的距离为
〔Y×（4／X）〕千米，于是我们可以知道，整条路线的全程为S＝4+〔Y×（4／X）〕，那么也可以清楚这道题目求的就是第一次相遇时离B地的这个距离，用这个距离与第二次两相遇时而到第二次相遇时离B地的3千米进行比较。
因此，为了方便以后的说明，将这个距离[Y×（4／X）〕用J来表示。
第一次相遇后，甲需要走过的距离为3＋〔Y×（4／X）〕，这样才能与乙第二次相遇，而在甲用同样的时间，乙则要走过距离为4+S－3的路程才能与甲相遇。
于是两人的相同时间可以写成一个等式，如下：
{3＋〔Y×（4／X）〕}/X＝（4+S－3）/Y
（其中，S为全程距离，上面已经给出过了，这里为了写起来方便就不全写进去了，但做题目时最好还是全写进去，不然会看不明白的。
）
整理上面这个式子，可得，
4Y^2－XY－5X^2＝0
将这个式子因式分解为
（Y+X）（4Y－5X）＝0
可得X与Y之间的关系式，Y＝-X或
Y＝5X/4
因为两人的速度不可能为负数，所以第一个关系式否掉，那么就是第二个关系式可用。
于是将这个关系式带入J这个距离式子中，可以得出J＝（5X/4）×4/X＝5
于是，我们知道了，当甲与乙第一次相遇时，离B地的距离为5千米，而第二次相遇时，离B地的距离为3千米，所以两次相遇地点间的距离为2千米。
行程问题类型有
1、流水行船问题
2、环形路上的多次相遇问题
3、电梯问题
4、发车问题
5、接送问题
6.追击问题
7、相遇问题
8过桥问题
基本公式
路程＝速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间
关键问题
确定行程过程中的位置路程 相遇路程÷速度和=相遇时间 相遇路程÷相遇时间=速度和相遇时间×速度和=相遇路程
相遇问题（直线）
甲的路程+乙的路程=总路程
相遇问题（环形）
甲的路程+乙的路程=环形周长
追及问题
追及时间＝路程差÷速度差
速度差＝路程差÷追及时间
追及时间×速度差＝路程差
追及问题（直线）
距离差=追者路程-被追者路程=速度差X追及时间
追及问题（环形）
快的路程-慢的路程=曲线的周长
流水问题
顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间
逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间
顺水速度=船速＋水速
逆水速度＝船速－水速
静水速度=（顺水速度＋逆水速度）÷2
水速：
（顺水速度－逆水速度）÷2
船速：
（顺水速度+逆水速度）÷2
解题关键
船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。
流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到.此外，流水行船问题还有以下两个基本公式：
顺水速度=船速+水速，
（1）
逆水速度=船速-水速.
（2）
这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。
根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到：
水速=顺水速度-船速，
船速=顺水速度-水速。
由公式
（2）可以得到：
水速=船速-逆水速度，
船速=逆水速度+水速。
这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量。
另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式
（1）和公式
（2），相加和相减就可以得到：
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2。
1.从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲乙两地相距x千米，则列方程为________________。
2.甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发，相向而行，1小时48分相遇，如果甲比乙早出发40分钟，那么在乙出发1小时30分时两人相遇，求甲、乙两人的速度。
3.某人从家里骑自行车到学校。
若每小时行15千米，可比预定的时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定的时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？
4.在800米跑道上有两人练中长路，甲每分钟跑320米，乙每分钟跑280米，两人同时同地同向起跑，t分钟后第一次相遇，t等于分钟．
5.一列客车长200m,一列货车长280m,在平行的轨道上相向行驶,从两车头相遇到两车尾相离经过16秒,已知客车与货车的速度之比是3∶2,问两车每秒各行驶多少米?
6.与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。
行人的速度是每小时3.6Km，骑自行车的人的速度是每小时10.8Km。
如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是22秒，通过骑自行车人的时间是26秒。
（1）行人的速度为每秒多少米；
（2）求这列火车的身长是多少米。
7.休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家，我们走了1小时后，爸爸发现带给外婆的礼品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追，如果我和妈妈每小时行2千米，从家里到外婆家需要1小时45分钟，问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗？
8.一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发。
汽车速度60公里/小时，我们的速度是5公里/小时，步行者比汽车提前1小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行这部分人。
出发地到目的地的距离是60公里。
问：
步行者在出发后经多少时间与回头接他们的汽车相遇
（汽车掉头的时间忽略不计）？
9、AB两地相距4800米，甲住A地，乙丙住B地。
有一天，他们从住地同时出发,乙丙向A地前进，而甲向B地前进。
甲乙相遇后，乙立即返身行进，10分钟后与丙相遇。
第二天，他们有同时出发，只是甲行进的方向与第一天相反，但三人的速度没有改变，乙追上甲后立即返身行进，结果20分钟后与丙相遇。
已知甲每分钟走40米，求丙的速度。
解：
第一天，甲乙相遇时，乙丙的距离为乙丙每分钟速度和的10倍
第二天，乙追上甲时，乙丙的距离为乙丙每分钟速度和的20倍
乙丙速度一定，所以第二天乙追上甲所用时间是第一天甲乙相遇所用时间的：
20/10=2倍
第一天，甲乙相遇时，甲乙共行了1个全程
第二天，乙追上甲时，甲乙共行了1个全程加上甲的行程的2倍
第二天所用时间是第一天的2倍，甲乙应该共行2个全程
所以第二天甲的行程为4800/2=2400米
第一天所用时间是第二天的1/2，所以
第一天甲的行程为2400/2=1200米，
乙的行程为4800-1200=3600米
甲乙相遇用了1200/40=30分钟
乙的速度为每分钟3600/30=120米
乙10分钟能行120×10=1200米
所以丙在30+10=40分钟内，行了
3600-1200=2400米
丙的速度为每分钟2400/40=60米
10、已知一条船从早码头到乙码头往返一次需要2小时,由于返回时间是顺水,比去时每小时可多行驶8千米,因此第2小时经第1小时多行驶6千米.那么,甲乙两码头相距多少千米?
11、两个码头相距120千米，一艘轮船顺流航行105千米，逆流航行60千米，共用12小时；顺流航行60千米，逆流航行132千米共用15小时。
求这艘船在这两个码头之间往返一次需要用多少小时？
12、一船在静水中以速度v1,往返于沿河流方向的甲、乙两地需时间t1，若水流速度为V2,船仍以速度V1往返于甲乙两地需时间t2,求t2?
13、一条船从a港到b港顺流航行需要6小时，由b港到a港逆流航行需要8小时，一天，小船从早晨6点由a港出发顺流到b港时，发现一救生圈在途中掉落水中，立即返回，1小时后找到救生圈，求小船按水流速度由a港漂流到b港需要多少小时？
救生圈时何时掉入水中的？
假设a代表船的速度。
b代表水流的速度。
。
s代表两地的距离
因为距离一样，顺流航行的速度是a+b,逆流航行则是a-b。
所以：
6*（a+b）=8*（a-b）
求得a=7b，所以两地的距离s=6*（a+b）=6*（7b+b）=48b
t=s/b=48小时。
假设救生圈在船驶出t小时后落水的。
落水地离b的距离就为：
s-（a+b）*t=48b-（7b+b）t=48b-8bt
落水后，船行驶到b港用的时间为：
6-t
到找到救生圈时，救生圈总共流了（6-t）+1=7+t小时
救生圈行驶路程为：
b*（7+t）.而船回行路程为：
（a-b）*1=6b
所以：
b*（7+t）+6b=48b-8bt
求得：
t=35/9
14、东西两码头间的水路有132km，水从东向西流，时速6km，从两码头各开出一只小艇相向而行，两艇的速度同为20km/h时，求东西两码头间的水路的距离
15、一船逆流而上,船上有人将一可漂浮物体掉入水中，过了5分钟，发现并随即掉头追赶，设船在静水中的速度不变，且不计船的调头时间，问再过多久船才能追上所掉物体？
解:
设水流速度是x,静水中的航速是y,设船追上物体用的时间为t
5分钟船和物体错过的路程是:
5（y-x）+5x=5y
船掉头要追上,必须是船走过的路程减去物体走过的路程等于已经相差的5y,所以列出方程:
（y+x）t-xt=5y
yt+xt-xt=5y
yt=5y
只有t=5
16、船顺水航行24KM,又返回共用2小时20分.如顺水航行8KM,逆水行18KM,则需要1小时20分.问静水速度和水流速度?
用一元一次方程解答，需要有解题思路和过程哦。
17、甲、乙两人在圆形跑道上从同一地点A出发，按相反方向跑步。
甲速每秒6米，乙速每秒7米，直到它们第一次又在A处相遇之前，在途中共相遇多少次？
解答:
假设跑道长为S甲乙第一次又在A处相遇时所用时间为t
甲乙相遇一次,则跑过的路程为一圈即s
设甲乙第一次在A点相遇时跑了n圈
则甲乙两人第一次在A点相遇所跑过的路程为n*s
则有（6+7）t=n*s
（7-6）t=s
解得n=13
则途中相遇次数为n-1=12次
即他们第一次又在A点相遇之前,在途中共相遇12次
（因为每圈相遇一次最后一圈相遇A点故为n-1次（起始点不算在内））
18、两人骑自行车沿着长900米的环形路行驶，如果他们反向而行，那么每经过2分钟相遇一次，如果通向而行，那么经过18分钟快者就追上慢者一次。
两人骑自行车的速度分别是多少，，，，
19、某体育场的环形跑道长400m，甲、乙二人在跑道上练习跑步，已知甲的速度为250m/min，乙的速度为290m/min，在两人同时从同一地点同向出发，经过多长时间两人才能再次相遇？
20、某教学和办公大楼有十一层高,教室安排在1到7层,办公室都安排在8,9,10,11层上,假设学生上课每层有300人，办公人员都乘电梯上楼,每层有60人办公,现有二台电梯A、B可利用，每层楼之间电梯的运行时间是3秒，最底层（一层）停留时间是20秒，其他各层若停留，则停留时间是10秒，每层电梯的最大的容量是10人。
为简单起见，假设早晨7：
30-8：
00以前学生和办公人员已陆续到达一层，能保证每部电梯在底层的等待时间内（20秒）能达到电梯的最大容量，电梯在各层的相应的停留时间内办公人员能完成出入电梯，当无人使用电梯时，电梯应在底层待命。
问：
1：
把这些人都送到相应的办公楼层，要用多少时间？
2：
怎样调度电梯能使得办公人员到达相应楼层所需总的时间尽可能的少
解：
为简单起见，现作如下假设：
1.早晨8点以前办公人员已陆续到达最底层。
2.每部电梯在底层的等待时间内（20秒）能达到电梯的最大容量，电梯在各层的相应的停留时间内（10秒）办公人员能完成出入电梯。
其余时间，如电梯开关门的时间则忽略不记。
3.当电梯下降时，没有人员在其中，电梯直接从原目标层回到最底层。
4.电梯是匀速运行的，启动、停止时的加速度忽略不记。
5.当无人使用电梯时，电梯应在底层待命。
6.电梯只能运送目标层在工作区间内的员工，而不能运送其他员工，即使它已经处在待命状态。
2.变量说明
Tk电梯在一种模式下完成工作的耗时（k=1，…,6）
a电梯在底层停顿的时间
b电梯在每层（除底层）停靠所需要的时间
p电梯运行的最高目标层
m各层需要运送的人数
n电梯的单位运输能力
v电梯的运行速度
3.对问题的枚举式分析
3.1.1先假设只有一台电梯在工作。
CASE1如果在电梯一次运行过程中，每一层的人员均含两名，那么，电梯完成所有运送任务并回到最底层待命所需的时间：
Ta=30*（20+2*3*10+5*10）=3900秒=65分钟
CASE2如果在电梯一次运行过程中，电梯中的人员均在同一层办公，那么，电梯完成所有运送任务并回到最底层待命所需的时间：
Tb=∑6*[20+2*3*（n-1）+10]=2340秒=39分钟
3.1.2假设三台电梯工作模式完全相同（即A、B、C三台同升同降，同开同关）。
那么，在3.1.1的CASE1下，Tc=3900/3=1300秒=21.67分钟；在3.1.1的CASE2下，Td=2340/3=780秒=13分钟。
3.1.3假设A电梯只在1、7、8层工作，B只在1、9、10层工作，C只在1、11层工作，三台电梯同时运行，但各自任务完成后在底层待命，不运送不在工作区间的员工。
CASE1假设在电梯A、B一次运行过程中，每一层的人员均含五名，那么，电梯完成所有运送任务并回到最底层待命所需的时间：
Te=12*（20+2*3*9+20）=1128秒=18.8分钟
说明：
由于电梯并行，事实上，A在此情况下运行时间为984秒（16.4分钟），C运行的时间是540秒（9分钟），这里的T5指的是电梯群在该工作模式下的最长耗时。
CASE2假设在电梯一次运行过程中，电梯中的人员均在同一层办公，那么，电梯完成所有运送任务并回到最底层待命所需的时间：
Tf=6*[（20+2*3*8+10）+（20+2*3*9+10）]=972秒=16.2分钟
说明：
同样，这是算的B的最大耗时，A、C在此种模式下分别工作828秒（13.8分钟）和540秒（9分钟）。
4．对问题的总结
用户对电梯运行的满意度包括生理和心理两方面的满意[2]。
生理满意一般包括：
电梯在启动和暂停时的加速度不致让人感到不适，在电梯运行途中尽量少的停顿次数。
心理满意包括：
尽量短的等待时间，尽量短的乘电梯的时间。
因此，需要在用户的生理满意和心理满意找到平衡点，得到最佳满意度。
而原问题中已经给出了电梯运行的速度，且本文已经忽略了电梯启动、暂停时的加速度，所以本文只需要关心电梯的运行方案，使用户在底层等待时间尽量少、在乘电梯途中尽量少暂停即符合要求。
在上述第三部分中，通过比较，我们可以发现在三台电梯同时运行时，分层停靠综合起来要比层层停靠综合起来节省时间（将一种工作模式下CASE1与CASE2所需要的时间相加后比较）。
文献[1]给出了分组停靠节省时间的完整证明。
由此可知：
当每一组电梯所停的站连在一起时，能够得到最短等待时间，即为最优方案。
由此我们得到电梯在分组运行过程中将每一层的员工完全运送完毕所需时间的表达式：
Tk=m*[a+2v*（p-1）+b*（p-6）]/n
由此，我们可以知道问题1“把这些人送到相应办公楼层，要用多少时间”的答案就是第三部分的任意结果。
问题2“怎样调度电梯能使得办公人员到达相应楼层所需总的时间尽可能的少”的答案是3.1.2的Td=13分钟或者3.1.3的Tf=16.2分钟。
问题3“给出一种具体实用的电梯运行方案”的方案是3.1.3的方案：
A电梯只在1、7、8层工作，B只在1、9、10层工作，C只在1、11层工作，三台电梯同时运行，但各自任务完成后在底层待命，不运送不在工作区间的员工，且在电梯一次运行过程中，电梯中的人员均在同一层办公。
4.5.对问题的反思
在求解问题时，本文做了太多的约束，使得问题趋于简单。
但实际生活中，不可能在电梯的一趟运行过程中，所有人员都是同一目标层；在某电梯将特定组的人员运送完毕以后，其可以继续协同运送其他层的员工。
这也就是为什么本文对第2问存在两个答案的原因。
因为笔者认为：
从严格的按制运行过程中，本题的正确答案确实是13分钟，确实是只要求三台电梯同升同降且电梯里的员工都在同一层办公即可。
但如果当层数增加、电梯内人员不在同一层工作、电梯组数也增加时，相应的3.1.3的方法才是更加可行的。
21、商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下，如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则该扶梯静止的时候，可看到的扶梯级数有多少级？
女孩行走的时间=40/女孩行走速度
男孩行走的时间=80/（女孩行走速度x2）=女孩行走速度。
两个小孩行走时间相等。
设这段时间电梯移动的级数为a；
设扶梯静止的时候，可看到的扶梯级数有x级,
则
1.x-a=40（女孩走过）
2.x+a=80（男孩走过）
x=60
22、某人用均匀速度走在一条公路上，公路的前后两端每隔相同的时间发一辆公共汽车。
他发现每15分一辆公交车超过他，每10分与一辆公交车相遇。
问：
公交车每隔几分发车一次？
设每隔X分发一车。
人的速度是V人，车的速度是V车
每二辆车之间的距离是V车*X
车从后面追上人是追及问题，所以：
V车*X=[V车-V人]*15
车从前面来是相遇遇问题，所以，V车*X=[V车+V人]*10
[V车-V人]*15=[V车+V人]*10
V车=5V人
所以：
V车*X=[V车+V人]*10=[V车+0。
2V车]*10
X=12
答：
车辆是每隔12分发一次。
23、某人沿铁路行走，每12分钟有一火车追上，每4分钟有一车迎面开来，两站发车间隔是相同，问发车间隔是几分钟，能具体说说怎么个算法吗？
相对运动的问题
车速V,人速v，发车间隔T，
先后发的2车距离=V*T=（V+v）*4=（V-v）*12
（V+v）/（V-v）=12/4
（V+v）/[（V-v）+（V+v）]=12/16
（V+v）/2V=12/16
（V+v）/V=12/8
T=4*（V+v）/V=6
发车间隔6分钟
24、环行跑道周长500米，甲乙按顺时针沿跑道同时同地起跑，甲每分钟跑60米，乙每分钟跑50米。
甲乙两人每跑200米都要停下来休息1分钟，那么第一，二次追上乙时分别距起跑时间多少分钟？
【方法一】
甲、乙两人每跑200米均要停下休息1分钟，
甲近似：
200/（200/60+1）=600/13米/分，
乙近似：
200/（200/50+1）=600/15米/分，
即每600米，甲比乙少花2分钟；
13/2=6.5，我们可以看一下13*6=78分钟时的情况：
甲跑了=6*600=3600米，7圈又100米，刚好休息完；
78=15*5+3，乙跑了=5*600+3*50=3150米，6圈又150米，再跑1分钟后要休息1分钟；
甲还差50米追上乙；究竟是第1次还是第二次呢？
我们往回再追溯一下：
77分时：
甲跑了3600米，乙跑了3100米，这里甲已经第一次刚好追上了乙，
所以，甲第一次追上乙距出发77分钟；
那么再来看第二次：
79分钟时，甲又跑了60，乙又跑了50米，还差40米追上乙；
40/60=2/3分钟，即：
79又2/3分钟时，甲第二次追上乙。
【方法二】
甲、乙两人每跑200米均要停下休息1分钟，
甲近似：
200/（200/60+1）=600/13米/分，
乙近似：
200/（200/50+1）=600/15米/分，
即每600米，甲比乙少花2分钟；
500÷60＝8又1/3
8又1/3+2=10又1/3
10÷2=5
15×5=75
60×1/3=20
20÷（60-50）=2
75+2=77
然后求第二次追上的时间同方法一了
25、一个队伍长120米，一名通讯员从队尾走到排头再从排头走到排尾，设队伍和通讯员都匀速，队伍前进了160米。
问通讯员所走的路程？
1、通讯员行走的时间与队伍行走的时间相同。
设通讯员从队尾出发到排头，行走的距离为x，通讯员行走的速度为a，队伍行走的速度为b，
队伍行走的时间t=160/b，
则通讯员行走的距离s=at=160a/b，
因而只要求得通讯员行走的速度与队伍行走的速度之比，就可以求得通讯员行走的距离了。
通讯员从队尾出发到排头，行走的距离为x，队伍行走的距离为（x-120）米，
则x/a=（x-120）/b.................1式
通讯员从排头返回队尾，通讯员行走的距离为120-（160+120-x）=（x-160）米，与此同时队伍行走的距离为（160+120-x）=（280-x）米，
则（x-160）/a=（280-x）/b...........2式
1式、2式联立得（x-160）/x=（280-x）/（x-120）
解
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