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计算部分上无答案

第一章速算与巧算

在我们日常生活和学习中，时刻离不开数字计算。

在数学中，更离不开计算了。

可以说，计算是数学的地基，计算是数学的大门。

怎样计算的又正确又迅速，在方法上既合理又灵活呢？

学习速算巧算是很有必要的。

一、加法中的巧算

1、利用补数巧算

<1>．什么叫“补数”？

两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。

如：

1＋9＝10，3＋7＝10，

2＋8＝10，4＋6＝10，

5＋5＝10。

又如：

11＋89＝100，33＋67＝100，

22＋78＝100，44＋56＝100，

55＋45＝100。

…

在上面算式中，1叫的“补数”；89叫11的“补数”，11也叫89的“补数”，也就是说两个数互为“补数”

对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？

一般来说，可以这样“凑”数：

从高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。

如：

87655123454680253198

8736212638…

下面讲利用“补数”巧算加法，通常称为“凑整法”。

<2>．互补数先加。

例1巧算下面各题：

（1）36＋87＋64

（2）99＋136＋101

（3）1361＋972＋639＋28

例2巧算下列各题：

（1）188＋873

（2）548＋996（3）9898＋203

2、利用技巧巧算

✧加法交换律两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。

一般的，有a＋b＝b＋a

✧加法结合律三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再同第一个数相加，它们的和不变。

一般的，有a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。

这里应注意：

如果推广到多个数相加，任意交换加数的位置，它们的和不变；或者先把其中的几个数结合成一组相加，再把所得的和同其余的数相加，它们的和不变。

把加法的交换律和结合律结合起来使用，先把加在一起是整十、整百、整千、…的加数加起来，然后再与其他数相加，可进行巧算。

例1巧算下列各题：

（1）32＋81＋23＋19＋68

（2）（24＋37＋15）＋（16＋45＋13）

高斯求和

1＋2＋3＋4＋…＋99＋100的和是多少？

这是德国大数学家高斯（Gauss，1777～1855）读小学时，他的教师在一次课上为全班同学出的一道题。

老师刚把题目说完，小高斯已迅速、准确地说出了答案5050。

其他同学大为震惊，他做加法的速度怎么这样快！

原来是算法问题，其他同学是按题目给出的数的顺序逐个做加法，而高斯是这样算的：

它运用加法交换律和结合律，把1，2，3，4，…，99，100这一串数按正反两个顺序排成两行，即

1，2，3，4，…，99，100

100，99，98，97，…，2，1

分别将上下对应的两个数相加，它们的和是相等的，都是101，于是原式的和就等于

（100＋1）×100÷2＝5050

高斯求和的方法给后人以很多启示，其主要方面是用一次乘法取代多次加法，为了施行乘法，要配置一些数，随之增加的运算应是十分简单的，比如此题中的除以2。

这样一来运算过程大大缩短了，速度也就快了。

按照高斯的想法可以考虑12＋22＋32＋42＋…＋992＋1002的和。

先将任意一个k2改写成k＋k＋…＋k，那么原式就是下面这样一个三角

阵中各数的和。

1

22

333

4444

9999……9999

100100……100100

三角阵共100行，第k行由k个k组成。

接下来为这个三角阵配上两个三角阵，它们分别由原三角阵整体旋转得到，即

100100

9910010099

9999

44

3443

2349910010099432

123499100100994321

如果不考虑三角阵每个位置上的数，这三个三角阵的结构是完全一样的。

把这三个三角阵对应位置的数相加，可见，每个位置上三个数的和都相等，它们的值都是201。

而三角阵中共有1＋2＋3＋4＋…＋99＋100个数的位置，于是三个三角阵的所有数的和等于

（2×100＋1）×（1＋2＋3＋4＋…＋99＋100）＝201×5050

每个三角阵的所有数的和是201×5050÷3＝338350，

即12＋22＋32＋42＋…＋992＋1002＝338350。

一般地，对于任意自然数n，有

12＋22＋32＋42＋（n－1）2＋n2＝

这个结果的产生同高斯求1＋2＋3＋4＋…＋99＋100的和的方法一模一样。

一个是配一行顺序相反的数，即将原数列头转到尾，另一个是配两个三角阵，将原三角阵旋转120º，再旋转120º，也就把原三角阵的“第一个”顶转到“最后一个”顶。

其结果是每一对应位置上的数的和都相等，也就把很多次加法运算换作很少次的乘法运算。

效果是明显的。

（a）（b）

据以上讨论，可知，1＋2＋3＋4＋…＋99＋100的和也可以通过算三角阵的位置的个数得到。

因此，从中得到一种想法，能不能通过一些容易计算点数的点阵来计算出一些数串的和呢？

在探索中，一些结论得出了。

为计算1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1），构造一个n×n的方阵，这个方阵中的点的个数为n2，再换一个角度观察方阵，如上图（a），方阵中的点被分成n个“╝”部分，它们当中的点数分别为1，3，5，7，…，2n－1个，于是

1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n2

同样道理可以计算2＋4＋6＋8＋…＋2n，只须构造方阵如上图（b），立刻得到

2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n（n＋1）

构造点阵来计算和式的好处是直观、快速，而且能够建立一些和式之间的关系。

如果设Tn为n行三角阵的点的个数，Sn表示n行方阵的点的人数，则下述关系可从构图中发现

Tn－1＋Tn＝Sn＝n2

4Tn＋1＝Sn＋Sn＋1＝2n2＋2n＋1

8Tn＋1＝S2n＋1

德国有一位世界著名的数学家叫高斯（公元1777年—1855年）。

他上小学的时候，老师出了一个题目，1＋2＋…＋99＋100＝？

小高斯看了看，又想了想，很快说出结果是5050。

同学们，你们知道他是怎么算出来的吗？

原来小高斯在认真审题的基础上，根据题目的特点，发现了这样的关系：

1＋100＝101，2＋99＝101，…，50＋51＝101。

一共有多少个101呢？

100个数，每两个数是一对，共有50个101。

所以

1＋2＋3＋…＋98＋99＋100

＝

＝101×50

即（100＋1）×（100÷2）＝101×50＝5050

像高斯的老师所出的题目那样，按一定次序排列的一列数叫做数列。

数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；……，最后一个数叫末项。

如果一个数列从第二项开始，第一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列。

后项与前项的差叫做这个数列的公差。

如：

1，2，3，4，…是等差数列，公差为1；

2，4，6，8，…是等差数列，公差为2；

5，10，15，20，…是等差数列，公差为5。

由高斯的巧算可知：

1＋2＋3＋…＋98＋99＋100

＝（1＋100）×（100÷2）

即（1＋100）×（100÷2），可得出这样的公式：

总和＝（首项＋末项）×项数÷2

这样，由于高斯发现了巧算的方法，所以他最先得出了正确的答案。

因此，同学们要想算得正确、迅速，方法合理、灵活，不仅要掌握数与运算的定律、性质，而且要善于观察，认真审题，注意发现题目的特点。

例计算下列各题：

（1）2＋4＋6＋…＋96＋98＋100；

（2）2＋5＋8＋…＋23＋26＋29。

习题：

（1）3＋4＋5＋…＋99＋100

（2）4＋8＋12＋…＋32＋36

（3）65＋63＋61＋…＋5＋3＋1

（4）求下列数据的平均数：

199，202，195，201，196，201

磁铁定理

人们称495是三位数中一个怪数，说它像磁铁：

任意一个数字不全相同的三位数，按照一定的减来减去，最多不超过6次运算，都会被它“吸引”过去——变成495！

信不信由你，它真的这么怪。

给定一个三位数，例如784。

把这个数中的各位数字（7、8、4），按照从大到小的顺序重新排列，得到874。

显然，它是用7、8、4组成的所有三位数中最大的一个数。

同样，可以排成最小的：

478。

“最大数”和“最小数”相减，有

８７４

－４７８

３９６

继续对差数396作同样运算，又有

９６３

－３６９

５９４

再对所得的结果作同样的运算，于是

９５４

－４５９

４９５

至此，如果按照上面的规律继续算下去，结果总是495——出现了一个不变的常数495。

这是自然数王国的又一件怪事！

其他多位数中是不是也有这样的怪数呢？

除了495外，四位数中也有类似的怪数6174。

请看下面的例子：

８７３０８５３２

－０３７８－２３５８

８３５２６１７４

人们将6174称为“磁铁数”。

把这个事实称为“磁铁数定理”。

二、减法中的巧算

1、利用补数巧算

<１>把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。

例1

（1）300—73—27

（2）1000—90—80—20—10

例2

（1）4723—（723＋189）

（2）2356—159—256

例3

（1）506—397

（2）323—189

（3）467＋997（4）987—178—222—390

2、利用技巧巧算

〈1〉减法的性质

✧一个数减去几个数的和，等于从这个数里依次减去和中的每个加数。

一般的，有a－（b＋c＋d）＝a－b－c－d

反之，一个数连续减去几个数，等于从这个数里减去这几个数的和。

一般的，有a－b－c－d＝a－（b＋c＋d）

✧一个数减去两个数的差，等于从这个数中减去差里的被减数（在能减的情况下），再加上差里的减数；或者先加上差里的减数，再减去差里的被减数。

一般的，有（a＋b＋c）－d＝（a－d）＋b＋c

＝a＋（b－d）＋c

＝a＋b＋（c－d）

为了帮助同学们记忆，我们可以简要地概括如下：

第一，在边减或加、减混合运算中，如果算式中没有括号，计算时可以带着符号“搬家”。

一般的，有a－b－c＝a－c－b

a－b＋c＝a＋c－b

第二，在加、减混合运算中，如果括号的前面是“－”号，那么，去掉括号时，括号内的减号变加号，加号变减号；如果括号的前面是“＋”号，那么，去掉括号时，括号内的符号不变，一般把这种做法叫做同级运算去括号的性质。

一般的，有a－（b＋c）＝a－b－c

a－（b－c）＝a－b＋c

a＋（b＋c）＝a＋b＋c

a＋（b－c）＝a＋b－c

例１巧算下列各题：

（1）5283＋1396－283

（2）4325－1347－325

（3）4328－（328＋497）（4）8495－（495－287）

（5）1825＋（175＋348）（6）576＋（432－176）

（7）1242－396（8）1243＋998

例２计算4000－5－10－15－…－95－100

例３计算：

83＋82＋78＋79＋80＋81＋78＋79＋77＋84。

练习

1．巧算下列各题：

（1）42＋71＋24＋29＋58

（2）43＋（38＋45）＋（55＋62＋57）

（3）698＋784＋158

（4）3993＋2996＋7994＋135

（5）4356＋1287－356

（6）526－73－27－26

（7）4253－（253－158）

（8）1457－（185＋457）

（9）389－497＋234

（10）698－154＋269＋787

（11）729＋154＋271

（12）7999＋785＋215

（13）8376＋2538＋7462＋1624

（14）997＋95＋548

（15）5000－2－4－6－…－98－100

（16）103＋99＋103＋96＋105＋102＋98＋98＋101＋102

3．用简便方法计算下列各题：

（1）516－56－44－16

（2）8216－6734＋2734

（3）5723－（723－189）（4）2356－（356＋187）

（5）723－800＋277（6）576＋（257－176）

（7）756＋478－156（8）526－189－126

三加减法混合式中的巧算

同学们，你们一定希望自己在计算时算得又正确又迅速，方法上既合理又灵活，那么怎样才能做到这些呢？

首先，要熟练地掌握计算法则和运算顺序，其次，要了解题目的特点，选用合理、灵活的计算方法。

下面我们将重点学习巧算的方法。

1．去括号和添括号的法则

在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“＋”号，则不论去掉括号或添上括号，括号号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“—”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都要改变，“＋”变“—”，“—”变“＋”，即：

a＋（b＋c＋d）＝a＋b＋c＋d

a－（b＋c＋d）＝a－b－c－d

a－（b－c）＝a－b＋c

例1

（1）100＋（10＋20＋30）

（2）100—（10＋20＋30）

（3）100—（30—10）

例2计算下面各题：

（1）100＋10＋20＋30

（2）100—10—20—30

（3）100—30＋10

例3计算325＋46—125＋54

例4计算9＋2—9＋3

例5计算78＋76＋83＋82＋77＋80＋79＋85

练习

一、直接写出计算结果：

（1）1000－547

（2）100000－85426

（3）11111111110000000000－1111111111

（4）78053000000－78053

二、用简便方法求和：

（1）536＋（541＋464）＋459

（2）588＋264＋148

（3）8996＋3458＋7546

（4）567＋558＋562＋555＋563

三、用简便方法求差：

（1）1870－280－520

（2）4995－（995－480）

（3）4250－294＋94（4）1272－995

四、用简便方法计算下列各题：

（1）478－128＋122－72

（2）464－545＋99＋345

（3）537－（543－163）－57

（4）947＋（372－447）－572

五、巧算下列各题：

（1）996＋599－402

（2）7443＋2485＋567＋245

（3）2000－1347－253＋1593

（4）3675－（11＋13＋15＋17＋19）

（5）958－596（6）1543＋498

为数学而献身

古代，女数学家真是凤毛麟角。

正如有人评说：

“她们比女皇还少”。

西罗马帝国的海帕西娅（约370—415）是数学史上最早出现的女数学家。

小海帕西娅天资聪颖，勤奋好学，在10岁的时候，她就知道利用相似三角形对应边成比例的原理去测量金字塔的高度。

在大约20岁的时候，海帕西娅辞别亲人到希腊雅典求学。

没去之前，她的名声已传到雅典，到达雅典之后，许多名流学者纷纷登门拜访，和她讨论问题，雅典的学者们都称她为“大数学家”。

海帕西娅从雅典学成回乡后，教授数学和哲学。

由于她学识渊博，循循善诱县城擅长辩论，当时被人誉为“圣人”。

公元391年，昏聩的罗马皇帝下令禁止一切异教，不准学习数学等自然科学。

残酷的专制像磨盘一样压在人们的头顶，使一些人退缩了。

然而海帕西娅去继续研究数学。

宣传科学知识。

公元415年3月，一天，在海帕西娅坐着马车到研究院讲课的途中，一群宗教狂徒跟踪而至。

他们揪她打她，朝她吼道：

“你不放弃数学，我们就打死你！

”海帕西娅摇摇头。

暴徒们又给她一顿拳打脚踢，并在街头燃起一堆大火，威胁她，说：

“你要数学，还是要命？

”“数学！

”海帕西娅崭钉截铁地说。

暴徒们残忍地把她投入了熊熊大火。

海帕西娅为了心爱的数学而献出了宝贵的生命。

第四章乘除法巧算

在进行加法、减法、连加、连减或加减混合运算时，可利用加法的运算定律或连减及加减混合运算的性质进行简便运算。

而乘、除法更有着一些巧妙的简便的运算方法，下面就让我们来学习有关的运算定律及运算性质。

１、乘法的巧算

乘法的运算律

乘法交换律：

两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变。

即

a×b＝b×a

其中，a，b为任意数。

例如，35×120＝120×35＝4200

乘法结合律：

三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数相乘后，再与前一个数相乘，积不变。

即

a×b×c＝（a×b）×c＝a×（b×c）

注意：

（1）这两个运算律中数的个数可以推广到更多个情形。

即多个数连乘中，可以任意交换其中各数的位置，积不变；多个数连乘中，可以任意先把几个数结合起来相乘后，再与其它数相乘，积不变。

（2）这两个运算律常一起并用。

例如，并用的结果有

a×b×c＝b×（a×c）

例1计算下列各题：

（1）17×4×25；

（2）125×19×8；

（3）125×72；（4）25×125×16。

例2计算下列各题：

（1）125×（40＋8）；

（2）（100－4）×25；

（3）2004×25；（4）125×792。

例3

（1）243×4

（2）3216×4

例46×5，16×5，116×5。

例5222×11，2456×11

例624×1598×15

例7从10到20之间的两位数相乘（十几×十几）

例8

（1）62×68

（2）81×89

例9

（1）72×32

（2）68×48

例10

（1）43×25×4

（2）125×（9×8）

例11

（1）9×37＋9×63

（2）102×43

（3）65×99＋65（4）125×798

练习速算与巧算下面各题：

（1）321×4

（2）1862×4（3）3696÷4

（4）488÷4（5）14×5（6）114×5

（7）3728×11（8）1295×11（9）19×17

（10）16×18（11）15×14（12）18×13

（13）12×19（14）72×15（15）36×15

（16）78×72（17）84×86（18）65×65

（19）73×77（20）29×21（21）72×32

（22）62×42（23）19×99（24）53×53

（25）31×71（26）78＋46＋154

（27）85＋41＋15＋59（28）235＋49＋65＋24＋11

（29）1200－298（30）503＋398

（31）301×28（32）72＋66＋75＋63＋69

（33）1999＋1998＋1997＋1996－1995－1994－1993－1992＋1991＋1990＋1989＋1988－1987－1986－1985－1984＋…＋7＋6＋5＋4－3－2－1

２、除法的巧算

1．除法的运算律和性质

（1）商不变性质：

被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变。

即：

a÷b＝（a×n）÷（b×n）（n≠0）

＝（a÷m）÷（b÷m）（m≠0）

例1计算：

①425÷25；②3640÷70。

例2

（1）464÷4

（2）856÷4

例3计算下列各题：

（1）（182＋325）÷13；

（2）（2046－1059－735）÷3；

（3）775÷25；（4）2275÷13÷5。

３、乘、除法混合巧算

✧乘、除法混合运算的性质

（1）在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置。

例如，

a×b÷c＝a÷c×b＝b÷c×a

（2）在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则及去括号情形：

括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变。

即

a×（b×c）＝a×b×c，

a×（b÷c）＝a×b÷c。

括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”“÷”变化“×”。

即

a÷（b×c）＝a÷b÷c

a÷（b÷c）＝a÷b×c

✧添加括号情形：

加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。

即

a×b×c＝a×（b×c）

a×b÷c＝a×（b÷c）

a÷b÷c＝a÷（b×c）

a÷b×c＝a÷（b÷c）

（3）两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘。

即

（a×b）÷（c×d）

＝（a÷c）×（b÷d）

＝（a÷d）×（b÷c）

上面的三个性质都可以推广到多个数的情形。

例计算下列各题：

（1）136×5÷8

（2）4032÷（8×9）

（3）125×（16÷10）（4）2560÷（10÷4）

（5）2460÷5÷2（6）527×15÷5

（7）（54×24）÷（9×4）

练习

1．简算下列各题：

（1）125×25×50×2×8×4

（2）568×123－45×568－568×53

（3）（10000－1000－100－10）÷10

（4）（20＋22＋24＋26＋28＋30）÷5

2．巧算下列各题：

（1）25÷4＋75÷4

（2）8÷7＋9÷7＋11÷7

（3）17÷8＋19÷8＋20÷8

（4）（12＋24＋36＋48）÷6

（5）21÷9＋22÷9＋23÷9＋24÷9

3．简算下列各题：

（1）45000÷（25×90）

（2）56000÷（14000÷16）

（3）2550÷17÷25

（4）37500÷4÷25

4．下面各题怎么简便就怎么算：

（1）125×56

（2）25×64×125

（3）9600÷25÷4（4）2222×728÷182

（5）401×467（6）1200÷25

5．在下列各题的计算中请自觉运用简便方法：

（1）24÷3×4×（73＋52）×（42－17）

（2）25＋（73－48）＋200÷8×98

（3）（46＋56）×（172÷4）＋14

6．速算下列各题：

（1）97×96

（2）95×93（3）98×97

（4）99×92（5）88×89（6）95×85