中考数学必考几何模型角平分线四大模型.docx
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中考数学必考几何模型角平分线四大模型
角平分线四大模型
模型1角平分线的点向两边作垂线
如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，
模型分析利用角平分线的性质：
角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口
模型实例
（1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6,BD＝4,那么点D到直线AB的距离是
解答：
如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠CAB,∴CD＝DE.
∵CB＝6,BD＝4,∴DE＝CD＝2，即点D到直线AB的距离是2.
2）如图②，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：
AP平分∠BAC
证明：
如图，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，
∵∠1＝∠2，∴PD＝PE,∵∠3＝∠4,∴PE＝PF，∴PD＝PF
又∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC（角平分线的判定）
练习
1、如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD＝DC,BD平分∠ABC，
求证：
∠BAD＋∠BCD＝180°
证明：
作DE⊥BC于E，作DF⊥BA的延长线于F，∴∠F＝∠DEC＝90°,∵BD平分∠ABC,∴DF＝DE，又∵AD＝DC，∴△DFA≌DEC,∴∠FAD＝∠C∵∠FAD＋∠BAD＝180°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°
2.如图，△ABC的外角∠ACD∠的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝.
解答：
如图所示，作PN⊥BD于N，作PF⊥BA，交BA延长线于F，作PM⊥AC于M∵BP、CP分别是∠CBA和∠DCA的角平分线，∴∠ABP＝∠CBP,∠DCP＝∠ACP，PF＝PN＝PM，∵∠BAC＝∠ACD－∠ABC，∠BPC＝∠PCD－∠PBC（外角性质）∴∠BAC＝2∠PCD－2∠PBC＝2（∠PCD－∠PBC）＝2∠BPC＝80°
∴∠CAF＝180°－∠BAC＝100°，∵PF＝PM
∴AP是∠FAC的角平分线，∴∠CAP＝∠PAF＝50°
模型2截取构造对称全等
如图，P是∠MON的平分线上的一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA,连接
PB，则△OPB≌△OPA
模型分析利用角平分线图形的对称性，在铁的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边，对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧
模型实例
（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由
解题：
PB+PC>AB+AC
证明：
在BA的延长线上取点E,使AE＝AB,连接PE，∵AD平分∠CAE
∴∠CAD＝∠EAD，在△AEP与△ACP中，∵AE＝AB，∠CAD＝∠EAD,
AP＝AP，∴△AEP≌△ACP（SAS），∴PE＝PC
∵在△PBE中：
PB+PE>BE,BE＝AB+AE＝AB+AC，∴PB+PC>AB+AC
（2）如图②所示，AD是△ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PC－PB与AC－AB的大
小，并说明理由
解答：
AC-AB>PC-PB
证明:
在△ABC中,在AC上取一点E,使AE=AB，∴AC-AE=AB-AC=BE∵AD平分∠BAC，∴∠EAP=∠BAP，在△AEP和△ACP中
∴△AEP≌△ABP（SAS），∴PE=PB，∵在△CPE中
CE>CP-PE，∴AC-AB>PC-PB
练习
1.已知，在△ABC中，∠A＝2∠B,CD是∠ACB的平分线，AC＝16,AD＝8,求线段BC的长
解：
如图在BC边上截取CE＝AC，连结DE，在△ACD和△ECD中
ACEC
ACDECD
CDCD
∴△ACD≌△ECD（SAS）
∴AD＝DE，∠A＝∠1，∵∠A＝2∠B，∴∠1＝2∠B，
∵∠1＝∠B＋∠EDB，∴∠B＝∠EDB，
∴EBB＝ED，∴EB＝DA＝8，BC＝EC＋BE＝AC＋DA＝16＋8＝24
2.在△ABC中，AB＝AC,∠A＝108°,BD平分∠ABC，求证：
BC＝AB＋CD
∴△ABD≌△EBD（SAS），∴∠DEB＝∠A＝108°，∴∠DEC＝180°－108°＝72
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∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝2（180°－108°）＝36°，∴∠EDC＝72°，
∴∠DEC＝∠EDC，∴CE＝CD，∴BE＋CE＝AB＋CD，∴BC＝AB＋CD
3.如图所示，在△ABC中，∠A＝100°,∠ABC＝40°,BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE
证明：
在CB上取点F，使得BF＝AB,连结DF，∵BD平分∠ABC，BD＝BD∴△ABD≌△FBD，∴DF＝AD＝DE,∠ADB＝∠FDB，∴BD平分∠ABC∴∠ABD＝20°,则∠ADB＝180°－20°－100°＝60°＝∠CDE
∠CDF＝180°－∠ADB－∠FDB＝60°，∴∠CDF＝∠CDE，在△CDE和△CDF中
DEDF
CDFCDE
CDCD
∴△CDE≌CDF，∴CE＝CF，∴BC＝BF＋FC＝AB＋CE
模型3角平分线+垂线构造等腰三角形
如图，P是∠MON的平分线上一点，AP丄OP于P点，延长AP交ON于点.B,则△AOB是等腰三角形.
模型分析
构造此模型可以利用等腰三角形的"三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形.进而得到对应边对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来.
模型实例
如图.己知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,C￡丄BD.垂足为E.求证：
BD=2C￡.
解答：
如图，延长CE、BA交于点F,∵CE丄BD于E,∠BAC=90°，∴∠BAD=∠CED.
∴∠ABD=∠ACF.又∵AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°,∴△ABD≌△ACF.∴BD=CF.∵BD平分∠ABC,∴∠CBE=∠FBE.又BE=BE,∴△BCE≌△BFE.
∴CE=EF.∴BD=2CE.
练习
证明：
延长AD交BC于F,∵AD⊥BE,∴∠ADB=∠BDF=90°,∵∠ABD=∠FBD,
∴∠2=∠BFD.∵∠BFD=∠1+∠C,∴∠2=∠1+∠C.
2.如图.在△ABC中.∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线,BE丄AD于点E.
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求证:
BE12（ACAB）.
（2）证明:
延长BE交AC于点F.∵AD为∠BAC的角平分线,∴∠BAD=∠CAD.∵AE=AE,∴∠BAE=∠FAE,则△AEB≌△AEF，∴AB=AF,BE=EF,∠2=∠3.∴AC-AB=AC-AF=FC.∵∠ABC=3∠C,∴∠2+∠1=∠3+∠1=∠1+∠C+∠1=3∠C.∴2∠1=2∠C
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即∠1=∠C∴BF=FO=2BE.∴BEFCACAB
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模型4角平分线+平行线
模型分析
有角平分线时.常过角平分线上一点作角的一边的平行线.构造等腰三角形.为证明结论提供更多的
条件.体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系.
模型实例
解答下列问题：
（1）如图①.△ABC中，EF∥BC,点D在EF上,BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB.写出线段EF与BE、
CF有什么数量关系？
（2）如图②，BD平分∠ABC,CD平分外角∠ACG.DE//BC交AB于点E,交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？
并说明理由.
（3）如图③，BD、CD为外角∠CBM、∠BCN的平分线，DE//BC交AB延长线于点E.交AC延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么数关系？
解答：
（1）∵EF//BC,∴∠EDB=∠DBC.∴BD平分∠EBC，∴∠EBD=∠DBC=EDB.∴EB=ED.同理：
DF=FC.∴EF=ED+DF=BE+CF.
（2）图②中有EF=BE=CF，BD平分∠BAC,∴∠ABD=∠DBC.又DE//BC、∴∠EDB=∠DBC.
∴DE=EB.同理可证：
CF=DF∴EF=DE-DF=BE-CF.
（3）EF=BE+CF.
练习
1.如图.在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E.过点E作MN∥BC交AB于M点.交AC于N点.若BM+CN=9，则线段MN的长为.
解答：
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E,∴MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB.∵MN//BC,∴∠EBC=∠MEB,∠NEC=∠ECB.∴∠MBE-∠MEB,∠NEO=∠ECN.∴BM=ME,EN=CN.
∴MN=ME+EN,即MN=BM+CN.∵BM+CN=9,∴MN=9.
2.如图.在△ABC中,AD平分∠BAC.点E、F分別在BD，AD上,EF∥AB.且DE=CD,求证：
EF=AC.
证明：
如图，过点C作CM∥AB交AD的延长线于点M,∵AB∥EF,∴CM∥EF.∴∠3=∠4.
∵DE=CD,∠5=∠6,∴△DEF≌△DCM.∴EF=CM.∵AB//CM,∴∠2=∠4.∵∠1=∠2,
∴∠1=∠4.∴CM=AC.∴EF=AC3.如图.梯形ABCD中,AD∥BC,点E在CD上,且AE平分∠BAD.BE平分∠ABC.求证：
AD=AB-BC.
∵AE平分∠BAD∴BE=EF.
F.∵AD∥BC,∴∠2=∠F.∵∠1=∠2,∴∠1=∠F.∴AB=AF.
∵∠DEF=∠CEB,∴△DEF≌△CEB.∴DF=BC.∴AD=AF-DF=AB-BC.
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