中考数学必考几何模型角平分线四大模型.docx

1、中考数学必考几何模型角平分线四大模型角平分线四大模型模型 1 角平分线的点向两边作垂线如图， P是MON 的平分线上一点，过点 P作 PAOM 于点 A，模型分析 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角 形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口模型实例（ 1）如图，在 ABC 中， C90，AD 平分 CAB ， BC 6,BD 4,那么点 D 到直线 AB 的距 离是解答：如图，过点 D 作 DEAB 于点 E，AD 平分 CAB, CDDE. CB 6,BD 4, DECD 2，即点 D 到直线 AB 的距离是 2.2）如图， 1

2、2， 3 4，求证： AP 平分 BAC证明：如图，过点 P作PDAB于点 D，PEBC于点E，PFAC于点F， 1 2， PD PE, 34, PEPF，PDPF又 PD AB ，PFAC ， AP 平分 BAC （角平分线的判定）练习1、 如图，在四边形 ABCD 中，BCAB，ADDC,BD 平分 ABC ，求证： BAD BCD 180证明：作 DEBC 于 E，作 DFBA 的延长线于 F， F DEC 90, BD平分 ABC,DFDE，又ADDC， DFA DEC, FAD C FAD BAD 180， BAD BCD 1802.如图，ABC 的外角 ACD 的平分线 CP与内角

3、 ABC 的平分线 BP相交于点 P，若 BPC 40， 则CAP .解答：如图所示，作 PNBD 于 N，作 PF BA ，交 BA 延长线于 F，作 PM AC 于 M BP、CP分别是 CBA 和DCA 的角平分线， ABP CBP,DCP ACP， PF PNPM， BAC ACD ABC ， BPC PCD PBC(外角性质 ) BAC 2PCD2PBC2(PCDPBC)2BPC80 CAF 180 BAC 100， PFPMAP 是FAC 的角平分线， CAP PAF50模型 2 截取构造对称全等如图， P是 MON 的平分线上的一点，点 A 是射线 OM 上任意一点，在 ON 上

4、截取 OBOA,连接PB，则 OPB OPA模型分析 利用角平分线图形的对称性，在铁的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边，对应角相等，利 用对称 性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧模型实例（1）如图所示，在 ABC 中，AD 是BAC 的外角平分线， P是 AD 上异于点 A 的任意一点， 试比较 PBPC 与 ABAC 的大小，并说明理由解题： PB+PC AB+AC证明：在 BA 的延长线上取点 E, 使 AEAB,连接 PE， AD 平分 CAECAD EAD ，在 AEP 与ACP 中，AEAB，CAD EAD,APAP， AEP ACP （SAS）， PEPC在

5、PBE 中： PB+PE BE,BE AB+AE AB+AC ， PB+PC AB+AC（2）如图所示， AD 是ABC 的内角平分线，其它条件不变，试比较 PCPB 与 ACAB 的大小，并说明理由解答： AC-ABPC-PB证明 :在 ABC 中, 在 AC 上取一点 E,使 AE=AB ， AC-AE=AB-AC=BE AD 平分 BAC ， EAP= BAP ，在 AEP 和 ACP 中 AEP ABP (SAS) ， PE=PB ，在 CPE 中CECP-PE ， AC-ABPC-PB练习1. 已知，在 ABC 中， A 2 B,CD 是 ACB 的平分线， AC16,AD8, 求线

6、段 BC 的长解：如图在 BC 边上截取 CE AC，连结 DE，在 ACD 和ECD 中AC ECACD ECDCD CD ACD ECD(SAS)ADDE ， A 1 ， A2B， 12B， 1 B EDB ， B EDB ， EBB ED ， EBDA 8，BCECBEACDA168242. 在ABC 中，ABAC,A108,BD 平分 ABC， 求证： BCAB CDABD EBD(SAS) ， DEB A 108， DEC180108721AB AC ， C ABC 2(180 108 ) 36， EDC72， DEC EDC ， CECD ， BECEABCD，BCABCD3.如图

7、所示，在 ABC 中， A100,ABC 40,BD 是 ABC 的平分线，延长 BD 至 E，使 DE证明：在 CB 上取点 F，使得 BF AB,连结 DF， BD 平分 ABC ， BDBD ABD FBD ， DF AD DE, ADB FDB ， BD 平分 ABC ABD 20,则 ADB 1802010060CDECDF180 ADB FDB 60， CDF CDE，在 CDE和 CDF 中DE DFCDF CDECD CD CDE CDF， CE CF， BCBFFCABCE模型 3 角平分线 +垂线构造等腰三角形如图， P是 MON 的平分线上一点， AP 丄 OP于 P点，

8、延长 AP 交 ON 于点.B,则 AOB 是等腰三 角形 .模型分析构造此模型可以利用等腰三角形的 三线合一 ”，也可以得到两个全等的直角三角形 .进而得到对应边 对应角相等 .这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来 .模型实例如图 .己知等腰直角三角形 ABC 中， A=90, AB=AC, BD 平分 ABC, C丄 BD. 垂足为 E.求证：BD=2C.解答：如图，延长 CE、BA 交于点 F,CE 丄BD 于E, BAC=90 ， BAD= CED. ABD= ACF.又 AB=AC, BAD= CAF=90 , ABD ACF. BD=CF. BD 平分 ABC, CBE=

9、FBE. 又 BE=BE, BCE BFE. CE=EF. BD=2CE.练习证明：延长 AD 交 BC于 F,ADBE, ADB= BDF=90 , ABD= FBD, 2=BFD. BFD=1+C, 2=1+C.2.如图.在 ABC 中. ABC=3C,AD 是BAC 的平分线 , BE丄AD 于点 E.1求证 :BE 12(AC AB).(2)证明:延长 BE 交 AC 于点 F.AD 为BAC 的角平分线 , BAD= CAD.AE=AE, BAE= FAE,则 AEB AEF， AB=AF, BE=EF, 2= 3. AC-AB=AC-AF=FC. ABC=3 C, 2+1=3+1=

10、1+C+1=3C.21=2C11即 1=C BF=FO=2BE. BE FC AC AB22模型 4 角平分线 + 平行线模型分析有角平分线时 .常过角平分线上一点作角的一边的平行线 . 构造等腰三角形 .为证明结论提供更多的条件 .体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系 .模型实例解答下列问题：(1)如图 .ABC 中，EFBC,点 D 在 EF 上,BD 、CD 分别平分 ABC 、 ACB.写出线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系？(2)如图，BD 平分 ABC,CD 平分外角 ACG. DE/BC 交 AB 于点 E,交 AC 于点 F，线段 EF与 BE、 CF 有什么数量关

11、系？并说明理由 .(3)如图， BD、CD 为外角 CBM 、BCN 的平分线， DE/BC 交 AB 延长线于点 E.交 AC 延长线 于点 F,直接写出线段 EF 与 BE、CF 有什么数关系？解答： (1) EF/BC, EDB= DBC. BD 平分 EBC ， EBD= DBC=EDB. EB=ED. 同理： DF=FC. EF=ED+DF=BE+CF.(2)图中有 EF=BE=CF ，BD 平分 BAC, ABD= DBC.又 DE/BC 、 EDB= DBC. DE=EB. 同理可证： CF=DF EF=DE-DF=BE-CF.(3) EF=BE+CF.练习1.如图. 在ABC

12、中,ABC 和ACB 的平分线交于点 E.过点 E作 MN BC 交 AB 于 M 点. 交 AC 于 N 点 .若 BM+CN=9 ，则线段 MN 的长为 .解答： ABC 、 ACB 的平分线相交于点 E,MBE=EBC，ECN=ECB.MN/BC, EBC= MEB, NEC= ECB. MBE- MEB, NEO= ECN. BM=ME, EN=CN. MN=ME+EN, 即 MN=BM+CN. BM+CN=9, MN=9.2. 如图. 在ABC 中,AD 平分 BAC.点E、F分別在 BD，AD 上,EFAB.且DE=CD,求证：EF=AC.证明：如图，过点 C 作 CMAB 交 AD 的延长线于点 M,AB EF,CMEF.3=4. DE=CD, 5=6, DEF DCM. EF=CM. AB/CM, 2=4. 1=2, 1=4.CM=AC. EF=AC 3.如图.梯形 ABCD 中,AD BC,点E在 CD上,且AE 平分 BAD.BE 平分 ABC.求证： AD=AB-BC.AE 平分 BAD BE=EF.F. AD BC, 2=F. 1=2,1=F.AB=AF. DEF= CEB, DEF CEB. DF=BC. AD=AF-DF=AB-BC.