幂的知识点.docx
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幂的知识点
幂的运算（基础）
【要点梳理】
要点一、同底数幂的乘法性质
amanamn（其中m,n都是正整数）.即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：
（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即amanapamnp（m,n,p都是正整数）.
（3）逆用公式：
把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即amnaman（m,n都是正整数）.
要点二、幂的乘方法则
（am）namn（其中m,n都是正整数）.即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：
（1）公式的推广：
（（am）n）pamnp（a0,m,n,p均为正整数）
（2）逆用公式：
amnamnan“，根据题目的需要常常逆用幕的乘方运
算能将某些幂变形,从而解决问题.
要点三、积的乘方法则
（ab）nanbn（其中n是正整数）.即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘.
要点诠释：
（1）公式的推广：
（abc）nanbncn（n为正整数）.
（2）逆用公式：
anbnabn逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是
ioio
遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：
1210121.
22
要点四、注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幕的乘法时，只有当底数相同时，指数才可以相加.指数为1,计算时不要遗漏.
（3）幕的乘方运算时，指数相乘，而同底数幕的乘法中是指数相加
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式（特别是系数）都要分别乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幕的运算，要养成先化简符号的习惯.
【典型例题】
类型一、同底数幕的乘法性质
（1）424344；
（2）2a3a4a5a22a6a；
（3）（xy）n（xy）n1（xy）m1（xy）2n1（xy）m1．
【答案与解析】
解：
（1）原式423449．
（2）原式2a34a522a612a7a72a7a7．
nn1m12n1m12nm2nm2nm
（3）原式（xy）（xy）（xy）（xy）2（xy）．
【总结升华】
（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第
（2）小题中
a的指数是1．在第（3）小题中把xy看成一个整体．
举一反三：
【变式】计算：
（1）35（3）3（3）2；
（2）xp（x）2p（x）2p1（p为正整数）;
（3）32
（2）2n
（2）（n为正整数）．
【答案】
解：
（1）原式35（3）3323533323532310．
【答案与解析】
解：
由2x220得2x2220.
2x5.
【总结升华】
（1）本题逆用了同底数幕的乘法法则，培养了逆向思维能力.
（2）同底数幕
的乘法法则的逆运用：
amnaman.
类型二、幕的乘方法则
（1）（am）2;
（2）[（m）3]4;（3）（a3m）2.
【思路点拨】此题是幕的乘方运算，
（1）题中的底数是a,
（2）题中的底数是m,（3）题中的底数a的指数是3m，乘方以后的指数应是2（3m）62m.
【答案与解析】
解:
（1）（am）2a2m.
（2）
[（m）3]4（m）12m12.
【总结升华】运用幕的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幕的乘
方与同底数幕的乘法混淆•幕的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项
式或多项式•
【答案与解析】
-x6m5-（x2m）35153520.
555
【总结升华】
（1）逆用幕的乘方法则：
amn（am）n（an）m.
（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力.
举一反三：
【变式1】已知xa2,xb3.求x3a2b的值.
【答案】
解:
x3a2bx3agx2b（xa）3g（xb）223328972.
【变式2】已知8m4,8n5,求83m2n的值.
【答案】
所以83m2n83m82n64251600.
类型三、积的乘方法则
O5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：
（1）（ab）2ab2；
（2）（4ab）364a'b3；（3）（3x3）29x6.
【答案与解析】
解：
（1）错，这是积的乘方，应为：
（ab）2a2b2.
（2）对.
（3）错，系数应为9,应为：
（3x3）29x6.
【总结升华】
（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方.
（2）注意系数及系数符号，对系数-1不可忽略.
【典型例题】
类型一、同底数幕的乘法性质
35
（1）（b2）3（b2）5（b2）；
（2）（x2y）2（2yx）3．
【答案与解析】
解：
（1）（b2）3（b2）5（b2）（b2）351（b2）9．
（2）（x2y）2（2yx）3（x2y）2[（x2y）3]（x2y）5．
【总结升华】
（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．
（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：
（a）
an（n为偶数）,n（ba）n（n为偶数）
（ab）
an（n为奇数）,（ba）n（n为奇数）
类型二、幂的乘方法则
2、计算：
1）[（ab）2]3；
32235
2）（y3）2（y2）32ygy5；
2m24m12
3）（x）（x）；
4）（x3）2（x3）4．
答案与解析】
解：
（1）[（ab）2]3（ab）23
（ab）6．
32235
2）（y3）2（y2）32yy5
2m24,m1、24（2m2）2（m1）8m82m210m6
（3）（x）（x）xxxxx.
（4）（x3）2（x3）4x6x12x18.
【总结升华】
（1）运用幕的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幕
的乘方与同底数幕的乘法混淆.
（2）幕的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，
也可以是单项式或多项式.
3、已知8m4,8n5,求83m2n的值.
【思路点拨】由于已知8m,8n的值，所以逆用同底数幕的乘法和幕的乘方把83m2n变成
83m82n（8m）3（8n）2，再代入计算.
【答案与解析】
解：
因为83m（8m）34364,82n（8n）25225.
所以83m2n83m82n64251600.
【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法•把8m,8n当成一
个整体问题就会迎刃而解•同时看到灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁•
举一反三：
【变式】已知a3m2,b2m3,则a2m3bm6a2b3mbm二.
【答案】—5;
类型三、积的乘方法则
【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算•
【答案与解析】
36、.274227
a）bab
解：
（1）（2xy2）4
（1）24x4（y2）416x4y8.
⑵[a2（a4b3）3]3（a2）3（a%9）3a6
【总结升华】
（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘
方.
（2）注意系数及系数符号，对系数-
1不可忽略.
举一反三：
【变式】下列等式正确的个数是（）
.
①2x2y336x6y9②a2m3
a6m③
63
3a6
3a9
④51057107351035⑤
100
0.5
2仙
100
0.522
A.1
个
B.2个
C.3个
D.4个
答案】
A；
提示：
只有⑤正确；
233692xy8xy；
2m36m63
aa；3a27a
5105
712
7107351012
3.51013
同底数幂的除法
【要点梳理】
要点一、同底数幂的除法法则
同底数幕相除，底数不变，指数相减，即amanamn（a工0,mn都是正整数，并且mn）
要点诠释：
（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.
（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.
（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.
要点二、零指数幂
任何不等于0的数的0次幕都等于1.即a01（a工0）
要点诠释：
底数a不能为0,00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因
此常数项也叫0次单项式.
要点三、负整数指数幕
1任何不等于零的数的n（n为正整数）次幕，等于这个数的n次幕的倒数，即an—a
（a工0,n是正整数）.
弓I进了零指数幕和负整数指数幕后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的
幕的运算性质仍然成立.
amanamn（m、n为整数，a0）;
abmambm（m为整数，a0,b0）
namamn（m、n为整数，a0）.
要点诠释：
ana0是an的倒数，a可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数
1151
式.例如2xy（xy0），ab5（ab0）.
2xyab
要点四、科学记数法的一般形式
（1）把一个绝对值大于10的数表示成a10n的形式，其中n是正整数，1|a|10
（2）利用10的负整数次幕表示一些绝对值较小的数，即a10n的形式，其中n是正
整数，1|a|10.
用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.
【典型例题】
类型一、同底数幕的除法
5
（1）X8X3;
（2）（a）3a;（3）（2xy）5（2xy）2;（4）3
3
【思路点拨】利用同底数幕相除的法则计算.⑵、⑷两小题要注意符号
【答案与解析】
解：
（1）
83
xx
83
x
5x・
（2）
（a）3
3
aa
12
a.
（3）
（2xy）5
（2xy）2
52
（2xy）
（2xy）3
c33
8xy・
5
3
53
2
（4）
1
1
1
]
1
3
3
3
3
9・
【总结升华】
（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同.
（2）运算中单项式的系数
包括它前面的符号.
2、计算下列各题：
（1）（xy）5（xy）
（2）（5a2b）12（2b5a）5
（3）（3106）4（3106）2（4）[（x2y）3]3[（2yx）2]4
【思路点拨】
（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算,
尽可能地去变偶次幕的底数，如（5a2b）12（2b5a）；
（2）注意指数为1的多项式.如xy
的指数为1,而不是0.
【答案与解析】
cCdA
解：
（1）（xy）（xy）（xy）（xy）.
（2）（5a2b）12（2b5a）5（2b5a）12（2b5a）5（2b5a）7
（3）（3106）4（3106）2（3106）42（3106）291012.
（4）[（x2y）3]3[（2yx）2]4（x2y）9（x2y）8（x2y）98x2y.
【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幕的除法法则进行计算.
【答案与解析】
【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含3m,3n的式子，再代入求值.本
题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式.
举一反三:
【变式】已知25m52m，求m的值.
m1
2m11,I1,
【答案】
解：
由25m52m得5m12m1，即5m1
底数5不等于0和1,
2
50
5，即m1
1.
类型二、负整数次幕的运算
【答案与解析】
1
2
2
【总结升华】要正确理解负整数指数幕的意义.
举一反三:
【变式】计算：
2512122（3.14）0.
2
【答案】
解:
25
（3.14）°
已知3m
1
27
16，则mn的值=
【答案与解析】
解:
3m
1
27
【总结升华】
最后代值求
举一反三:
（3）4
1624,「
11
4
（3）81
先将£变形为底数为
【变式】计算:
【答案】
解：
（1）原式
2n24,n
3的幕,
2n,1624，然后确定m、
n的值,
（1）（a1b2c3）2；
（2）
b2c3
（2）原式b2c38b6c98b8c12
8b8
c
类型三、科学记数法
（1）0.00001;
（2）0.000000203;（3）-0.000135;（4）0.00067
【答案与解析】
（包括小数点前边的零）
【巩固练习】
.选择题
35
1.cc的值是（
A.c8
B.
15c
C.C15
D.c8
2．anan2的值是（）
A.an3
B.
C2n.a
D.
3．
列计算正确的是
4．
5．
A.x2x2x4
C.a4a4a16
B.
D.
x3xx4
aa2
a3
列各题中，计算结果写成
A.100X102=103
C.100X103=105
列计算正确的是（）
A.
33xyxy
C.
22
3x2
9x4
6．若
2ambn3
8a9b15成立，
A.
m=6,
n=12
C.
n=5
.填空题
10的幂的形式，
B.1000
D.100
B.
D.
B.
D.
x7
其中正确的是（
X1010=1030
X1000=104
5xy
5x2y4
）.
2xy2
8x3y6
m=3,
m=6,
=12
=5
7.若2m6,2n5,则2mn
x
8.若a3aa19，贝Ux=
9.已知a3n5,那么a6n
81,
10.若a3am
11.223
三.解答题
13.判断下列计算的正误.
（1）x3x3x6
（2）
/3、2
（y）
（3）（2ab2）22a2b4
（4）
22
（xy）
4
xy
14.
（1）
x4）3；
（2）
（1a
2b3）3
a3b2）2
（3）
10（0.3
3
10）（0.4
5
10）;
（4）
b2a
3
2a
（5）
5a62
333
3aa;
15.
（1）
x35，求n的值.
2）若a
nm
b
915
9b15，求m、n
的值．
答案与解析】
.选择题
二.填空题
7.【答案】30；
【解析】2mn2mg2n6530.
8.【答案】6；
【解析】a3x1a19,3x119,x6.
9.【答案】25；
2
【解析】a6na3n25225.
10.【答案】5；1；
【解析】a3ama3ma8,3m8,m5；33x18134,3x14,x1.
11.【答案】64；n9；310；
12.【答案】200；
32
【解析】（a3n）28（a2）2na2n38a2n21000800200.
三.解答题
13.【解析】
解：
（1）X；
（2）X；（3）x；（4）X
14.【解析】
（1）
x（x3）8（
7
X）
X
2412
XX
X
37
（2）
（Ja2b3）3
3
（a
b2）2
1a
6-9
b
6-4
ab
3
27
（3）
10（0.3
103）
（0.4
105）
0.3
0.4
10103
1051.2108;
（4）
3
5
3
5
8
b2a2ab
2ab
2a
b
2a
b；
（5）
5a62
3a3
33
a
25a12
27a
93
a
2a12.
解:
15.
解:
【解析】
n3n335
（1）・XXx
4n335
・・XX
4n+3=35
n=8
（2）m=4,n=3
3解：
：
anbmba9b15
3n3m33n3m3915
abbabab
3n=9且3m+3=15
66666
yy2y2y2y0．
5.【答案】D；
【解析】xy3x3y3；5xy225x2y4；3x29x4.
6.【答案】C；
3
【解析】2ambn8a3mb3n8a9b15,3m9,3n15，解得m=3，n=5.
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