幂的知识点.docx

1、幂的知识点幂的运算（基础）【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质am an am n （其中 m, n 都是正整数 ）. 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加 .要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项 式、多项式 .（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即am an ap am n p （ m, n, p都是正整数）.（ 3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数 与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 am n am an （ m, n 都是正整数） .要点二、幂的乘方法则（am）n amn （ 其中

2、m, n 都是正整数 ）. 即幂的乘方，底数不变，指数相乘 .要点诠释：（1）公式的推广：（am）n）p amnp （ a 0, m, n, p均为正整数）（2）逆用公式：amn am n an “，根据题目的需要常常逆用幕的乘方运算能将某些幂变形,从而解决问题 .要点三、积的乘方法则(ab)n an bn (其中n是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再 把所得的幕相乘.要点诠释：(1)公式的推广：(abc)n an bn cn (n为正整数).(2)逆用公式：anbn ab n逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是io io遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1 210

3、1 2 1.2 2要点四、注意事项(1)底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式 .(2)同底数幕的乘法时，只有当底数相同时，指数才可以相加.指数为1,计算时不要 遗漏.(3)幕的乘方运算时，指数相乘，而同底数幕的乘法中是指数相加(4) 积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式 (特别是系数)都要分别乘方.(5) 灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁 .(6) 带有负号的幕的运算，要养成先化简符号的习惯 .【典型例题】类型一、同底数幕的乘法性质(1)42 43 44 ；(2) 2a3 a4 a5 a2 2a6 a ；(3)(x y)n (x y)n 1 (x y)m 1 (x y

4、)2n 1 (x y)m 1【答案与解析】解：(1)原式 42 3 4 49 (2)原式 2a3 4 a5 2 2a6 1 2a7 a7 2a7 a7 n n 1 m 1 2n 1 m 1 2n m 2n m 2n m(3)原式 (x y) (x y) (x y) (x y) 2( x y) 【总结升华】(2)(3)小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应 的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则在第( 2)小题中a 的指数是 1 在第( 3 )小题中把 x y 看成一个整体举一反三：【变式】计算：(1)35 ( 3)3 ( 3)2 ；(2) xp (

5、x)2p ( x)2p1 ( p 为正整数);( 3) 32 ( 2)2n ( 2) ( n 为正整数)【答案】解：(1)原式 35 ( 3)3 32 35 33 32 35 3 2 310【答案与解析】解：由 2x 2 20得2x 22 20 .2x 5 .【总结升华】(1)本题逆用了同底数幕的乘法法则，培养了逆向思维能力. (2)同底数幕的乘法法则的逆运用：amn am an .类型二、幕的乘方法则(1)(am)2; (2) ( m)34; (3) (a3 m)2 .【思路点拨】此题是幕的乘方运算，(1)题中的底数是a , (2)题中的底数是 m , (3)题 中的底数a的指数是3 m，乘

6、方以后的指数应是2(3 m) 6 2m .【答案与解析】解: (1) (am)2 a2m .(2) ( m)34 ( m)12 m12 .【总结升华】运用幕的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幕的乘方与同底数幕的乘法混淆幕的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、 字母，也可以是单项式或多项式【答案与解析】-x6m 5 -(x2m)3 5 1 53 5 20 .5 5 5【总结升华】(1)逆用幕的乘方法则：amn (am)n (an)m . (2)本题培养了学生的整体思 想和逆向思维能力.举一反三：【变式1】已知xa 2 , xb 3 .求x3a 2b的值.【答案】解: x3a 2

7、b x3agx2b (xa)3 g(xb)2 23 32 8 9 72 .【变式2】已知8m 4 , 8n 5,求83m2n的值.【答案】所以 83m 2n 83m 82n 64 25 1600.类型三、积的乘方法则O5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：(1)(ab)2 ab2 ； (2)(4ab)3 64ab3 ； ( 3)( 3x3)2 9x6 .【答案与解析】解：(1)错，这是积的乘方，应为：(ab)2 a2b2 .(2)对.(3) 错，系数应为9,应为：(3x3)2 9x6 .【总结升华】(1)应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘 方.(2)注意

8、系数及系数符号，对系数-1不可忽略.【典型例题】类型一、同底数幕的乘法性质35(1) (b 2)3 (b 2)5 (b 2) ；(2) (x 2y)2 (2 y x)3 【答案与解析】解：(1) (b 2)3 (b 2)5 (b 2) (b 2)3 51 (b 2)9(2) (x 2y)2 (2y x)3 (x 2y)2 (x 2y)3 (x 2y)5【总结升华】(1)同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式(2)在幂的运算中，经常用到以下变形：( a)an(n为偶数), n (b a)n(n为偶数)(a b)an(n为奇数), (b a)n(n为奇数)类型二、幂的乘方法则2、计算：1

9、) (a b)23；3 2 2 3 52)(y3)2 (y2)3 2y gy5；2m 2 4 m 1 23)(x ) (x ) ；4)(x3)2 (x3)4答案与解析】解：(1) (a b)23 (a b)2 3(a b)6 3 2 2 3 52)(y3)2 (y2)3 2y y52m 2 4 , m 1、2 4(2 m 2) 2(m 1) 8m 8 2m 2 10m 6(3)(x ) (x ) x x x x x .(4)(x3)2 (x3)4 x6 x12 x18.【总结升华】(1)运用幕的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幕的乘方与同底数幕的乘法混淆.(2)幕的乘方的法

10、则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.3、已知 8m 4 , 8n 5 ,求 83m 2n 的值.【思路点拨】 由于已知8m, 8n的值，所以逆用同底数幕的乘法和幕的乘方把 83m 2n变成83m 82n (8m)3 (8n)2，再代入计算.【答案与解析】解：因为 83m (8m)3 43 64, 82n (8n)2 52 25.所以 83m 2n 83m 82n 64 25 1600.【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法 把8m,8n当成一个整体问题就会迎刃而解同时看到灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁 举一反三：【变式】已知 a3m

11、 2,b2m 3,则 a2m 3 bm 6 a2b 3m bm 二 .【答案】5;类型三、积的乘方法则【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算【答案与解析】36、 .27 42 27a ) b a b解：(1) (2xy2)4 ( 1) 24 x4 (y2)4 16x4y8.a2 ( a4b3)33 (a2)3 ( a%9)3 a6【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方.（2）注意系数及系数符号，对系数-1不可忽略.举一反三：【变式】下列等式正确的个数是（）. 2x2y3 3 6x6y9 a2m 3a6m6 33a63a9 5 105 7 107

12、35 1035 1000.52仙1000.5 2 2A. 1个B. 2 个C. 3 个D. 4 个答案】A；提示：只有正确；2 3 3 6 9 2x y 8x y ；2m 3 6m 6 3a a ； 3a 27a5 1057 127 107 35 10123.5 1013同底数幂的除法【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幕相除，底数不变，指数相减，即am an am n ( a工0, m n都是正整数，并 且 m n)要点诠释：( 1)同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算 .(2)被除式、除式的底数相同， 被除式的指数大于除式指数， 0不能作除式 .( 3)当三个或三个以上同底数幂相

13、除时，也具有这一性质 .( 4)底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式 .要点二、零指数幂任何不等于0的数的0次幕都等于1.即a0 1 ( a工0)要点诠释：底数a不能为0, 00无意义.任何一个常数都可以看作与字母 0次方的积.因此常数项也叫 0次单项式 .要点三、负整数指数幕1 任何不等于零的数的 n （ n为正整数）次幕，等于这个数的n次幕的倒数，即a n a（a工0, n是正整数）.弓I进了零指数幕和负整数指数幕后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幕的运算性质仍然成立.aman amn （ m、n 为整数，a 0）;ab m ambm （ m 为整数，a 0 , b 0）n

14、 am amn （ m、n 为整数，a 0）.要点诠释：a n a 0是an的倒数，a可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数1 1 5 1式.例如 2xy （xy 0）， a b 5 （ a b 0）.2xy a b要点四、科学记数法的一般形式（1） 把一个绝对值大于10的数表示成a 10n的形式，其中n是正整数，1 |a| 10（2） 利用10的负整数次幕表示一些绝对值较小的数，即 a 10 n的形式，其中n是正整数，1 |a| 10.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法 .【典型例题】类型一、同底数幕的除法5(1)X8 X3; (2) ( a)3 a ; (3) (2xy)5 (

15、2xy)2; (4) 33【思路点拨】利用同底数幕相除的法则计算. 、 两小题要注意符号【答案与解析】解：(1)8 3x x8 3x5 x(2)(a)33a a1 2a .(3)(2xy)5(2xy)25 2(2xy)(2xy)3c 3 38x y535 32(4)111133339【总结升华】(1)运用法则进行计算的关键是看底数是否相同. (2)运算中单项式的系数包括它前面的符号.2、计算下列各题：(1) (x y)5 (x y) (2) (5a 2b)12 (2b 5a)5(3)(3 106)4 (3 106)2 (4) (x 2y)33 (2 y x)24【思路点拨】(1)若被除式、除式

16、的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算,尽可能地去变偶次幕的底数，如(5a 2b)12 (2b 5a)； (2)注意指数为1的多项式.如x y的指数为1,而不是0.【答案与解析】c Cd A解：(1) (x y) (x y) (x y) (x y).(2)(5a 2b)12 (2 b 5a)5 (2 b 5a)12 (2 b 5a)5 (2 b 5a)7(3) (3 106)4 (3 106)2 (3 106)4 2 (3 106)2 9 1012 .(4) (x 2y)33 (2y x)24 (x 2y)9 (x 2y)8 (x 2y)9 8 x 2y .【总结升华】底数都是单项式或

17、多项式，把底数作一个整体利用同底数幕的除法法则进行 计算.【答案与解析】【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含3m ,3n的式子，再代入求值.本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式.举一反三:【变式】已知2 5m 5 2m，求m的值.m 12m1 1 , I 1 ,【答案】解：由 2 5m 5 2m得5m 1 2m1，即 5m1底数5不等于0和1,25 05，即 m 11.类型二、负整数次幕的运算【答案与解析】122【总结升华】要正确理解负整数指数幕的意义.举一反三:【变式】计算：25 1 21 2 2 ( 3.14)0 .2【答案】解:

18、 2 5(3.14)已知3m12716，则mn的值=【答案与解析】解:3m127【总结升华】最后代值求举一反三:(3) 416 24 ,1 14(3) 81先将变形为底数为【变式】计算:【答案】解：（1）原式2 n 24 , n3的幕,2 n, 16 24，然后确定m、n的值,(1) (a 1b2c3)2 ；(2)b2c3(2)原式 b2c3 8b6c9 8b8c 128b8c类型三、科学记数法(1) 0.00001 ; (2) 0.000000203; (3) -0.000135 ; (4) 0.00067【答案与解析】（包括小数点前边的零）【巩固练习】.选择题3 51. c c的值是(A.

19、 c8B.15 cC. C15D.c82an an 2的值是( )A. an 3B.C2n . aD.3列计算正确的是45A. x2 x2 x4C. a4 a4 a16B.D.x3 x x4a a2a3列各题中，计算结果写成A. 100 X 102= 103C. 100 X 103= 105列计算正确的是 ( )A.33 xy xyC.223x29x46若2ambn 38a9b15 成立，A.m = 6,n=12C.n =5.填空题10 的幂的形式，B. 1000D. 100B.D.B.D.x7其中正确的是 (X 1010=1030X 1000= 1045xy5x2y4).2xy28x3y6m

20、 =3,m = 6,=12=57.若 2m 6,2n 5,则 2mnx8.若 a3 a a19 ，贝U x =9.已知a3n 5 ,那么a6n81 ,10 .若 a3 am11. 2 2 3三.解答题13.判断下列计算的正误.(1) x3 x3 x6(2)/ 3、2(y )(3) ( 2ab2)2 2a2b4(4)2 2(xy )4xy14. (1)x4)3 ；(2)(1a2b3)3a3b2)2(3)10 ( 0.3310 ) (0.4510);(4)b 2a32a(5)5a6 23 3 33a a ;15. (1)x35，求n的值.2）若 anmb9 159b15 ，求 m 、 n的值答案与

21、解析】.选择题二.填空题7.【答案】 30；【解析】 2m n 2mg2n 6 5 30 .8.【答案】 6；【解析】 a3x 1 a19,3x 1 19,x 6.9.【答案】 25；2【解析】 a6n a3n 2 52 25.10.【答案】 5；1；【解析】 a3 am a3 m a8,3 m 8,m 5；33x 1 81 34,3x 1 4,x 1.11.【答案】 64； n9； 310；12.【答案】 200；32【解析】 (a3n)2 8( a2)2n a2n 3 8 a2n 2 1000 800 200.三. 解答题13.【解析】解：(1)X； (2)X； (3)x； (4)X14.

22、【解析】(1)x ( x3)8 (7X )X24 12X XX37(2)(Ja2b3)33(ab2)21 a6-9b6-4a b327(3)10 ( 0.3103)(0.4105)0.30.410 103105 1.2 108 ;(4)35358b 2a 2a b2a b2ab2ab ；(5)5 a6 23a33 3a25a1227 a9 3a2a12.解:15.解:【解析】n 3n 3 35(1) XX x4n 3 35 X X4 n + 3 = 35n = 8(2) m = 4, n = 33 解：an bm b a9b153n 3m 3 3n 3m 3 9 15a b b a b a b3n = 9 且 3m + 3= 156 6 6 6 6y y 2 y 2 y 2y 05. 【答案】 D；【解析】 xy 3 x3y3； 5xy2 25x2y4 ； 3x2 9x4 .6. 【答案】 C；3【解析】 2ambn 8a3mb3n 8a9b15,3m 9,3n 15，解得 m=3，n=5.