人教版高中数学全部公式及应用解析.docx
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人教版高中数学全部公式及应用解析
人教版高中数学全部公式及应用解析
一、元素与集合的公式及概念解析
1.元素与集合的关系
x∈A⇔x∉CA,
U
x∈CA⇔x∉A.
U
2.德摩根公式
C（AB）=CACB;C（AB）=CACB.
UUUUUU
3.包含关系
AB=A⇔AB=B⇔⊆⇔⊆
ABCBCA
UU
⇔ACB=Φ⇔CAB=R
UU
4．集合{a,a,,a}的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；
1.12n
n–1个；非空的真子集有2n–2个
非空子集有2
二、二次函数相关公式
5.二次函数的解析式的三种形式
（1）一般式f（x）=ax2+bx+c（a≠0）;
（2）顶点式f（x）=a（x−h）2+k（a≠0）;
（3）零点式
f（x）=a（x−x）（x−x）（a≠0）.
12
6.闭区间上的二次函数的最值
二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在闭区间[p,q]上的最值只能在
x
b
=−处
2a
及区间的两端点处取得，具体如下：
bb
（1）当a>0时，若=[pq]，则{}
x−∈,f（x）=f（−）,f（x）=f（p）,f（q）；
minmaxmax
2a2ab
若x=−∉[p,q]，f（x）={f（p）,f（q）}，f（x）={f（p）,f（q）}.
maxmaxminmin
2a
b
（2）当a<0时，若=[pq]，则{}
x−∈,f（x）=minf（p）,f（q），
min
2ab
若x=−∉[p,q]，则f（x）=max{f（p）,f（q）}，f（x）=min{f（p）,f（q）}.
maxmin
2a
7.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
（1）在给定区间[α,β]上含参数的二次不等式f（x,t）≥0（t为参数）恒成立的充要条件是f（x,t）≥0（x∉L）
min
（2）在给定区间[α,β]上含参数的二次不等式f（x,t）≥0（t为参数）恒成立的充要条件是f（x,t）≤0（x∉L）.
man
（3）f（x）=ax4+bx2+c>0恒成立的充要条件是
a≥
0
≥
b0
>
c0
a<0
或
b4ac0
2−<
.
8.四种命题的相互关系
原命题互逆逆命题
若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ
互互
互为为互否否
逆逆
否否
否命题逆否命题
若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ
9.充要条件
（1）充分条件：
若p⇒q，则p是q充分条件.
（2）必要条件：
若q⇒p，则p是q必要条件.
（3）充要条件：
若p⇒q，且q⇒p，则p是q充要条件.
注：
如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
10.函数的单调性
（1）设[]
x1⋅x∈a,b,x≠x那么
212
f（x）−f（x）
（x−x）[f（x）−f（x）]>0⇔fx[ab]
0（）,上是增函数；1>⇔在
2
1212
12
x−x
f（x）−f（x）
（x−x）[f（x）−f（x）]<0⇔12<0⇔f（x）在[a,b]
上是减函数.
1212
12
x−x
（2）设函数y=f（x）在某个区间内可导，如果f′（x）>0，则f（x）为增函数；如
果f′（x）<0，则f（x）为减函数.
11．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一
个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于
y轴对称，那么这个函数是偶函数．
12.对于函数y=f（x）（x∈R）,f（x+a）=f（b−x）恒成立,则函数f（x）的对称轴
a+b
是函数x=;两个函数y=f（x+a）与y=f（b−x）的图象关于直线
2a+b
x=对称.
2
13.两个函数图象的对称性
（1）函数y=f（x）与函数y=f（−x）的图象关于直线x=0（即y轴）对称.
（2）函数y=f（mx−a）与函数y=f（b−mx）的图象关于直线
（3）函数y=f（x）和y=f−1（x）的图象关于直线y=x对称.
x
a+b
=对称.
2m
14.若将函数y=f（x）的图象右移a、上移b个单位，得到函数y=f（x−a）+b的
图象；若将曲线f（x,y）=0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线
f（x−a,y−b）=0的图象.
15.几个常见的函数方程
（1）正比例函数f（x）=cx,f（x+y）=f（x）+f（y）,f
（1）=c.
（2）指数函数f（x）=ax,f（x+y）=f（x）f（y）,f
（1）=a≠0.
（3）对数函数f（x）=logx,f（xy）=f（x）+f（y）,f（a）=1（a>0,a≠1）.
a
（4）幂函数f（x）=xα,f（xy）=f（x）f（y）,f'
（1）=α.
16．有理指数幂的运算性质
（1）ar⋅as=ar+s（a>0,r,s∈Q）.
（2）（ar）s=ars（a>0,r,s∈Q）.
（3）（ab）r=arbr（a>0,b>0,r∈Q）.
注：
若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用
.
三、指数式与对数式
17.指数式与对数式的互化式
logb
aN=b⇔a=N（a>0,a≠1,N>0）
.
18.对数的换底公式
log
a
N
logN
=m（a>0,且a≠1,m>0,且m≠1,N>0）.
loga
m
n
推论log=log（a>0,且a>1,m,n>0,且m≠1,n≠1,N>0）.
bb
n
ma
a
m
19．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
（1）loga（MN）=logaM+logaN;
M
（2）log=logM−logN;
aaa
N
（3）logaMn=nlogaM（n∈R）.
四、等差数列和等比数列
20.等差数列的通项公式
a=a1+（n−1）d=dn+a1−d（n∈N）；
*n
其前n项和公式为
n（a+a）n（n−1）
s=n
1=na+dn1
22d1
=2+−.
n（ad）n
1
22
21.等比数列的通项公式
a
a=a1q=⋅q（n∈N）；
n−11n*n
q
其前n项的和公式为
−n
a（1q）
1
s=−q
1
n
=
na,q1
1
q≠1
五、三角函数
22．常见三角不等式
π
（1）若x∈（0,），则sinx2π
（2）若x∈（0,），则12
（3）|sinx|+|cosx|≥1.
23.同角三角函数的基本关系式
sinθ
sin2θ+cos2θ=1，tanθ=
cosθ
24.正弦、余弦的诱导公式
奇变偶不变符号看象限
，tanθ⋅cotθ=1.
25.和角与差角公式
sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ;
cos（α±β）=cosαcosβsinαsinβ;
tanα±tanβ
tan（α±β）=
1tanαtanβ
aα+bα=a2+b2sin（α+ϕ）（辅助角ϕ所在象限由点（a,b）的象限决
sincos
b
定,tanϕ=）.
a
26.二倍角公式
sin2α=sinαcosα.
cos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1=1−2sin2α.
2tanα
tan2α=
.
1−tanα
2
.
27.三角函数的周期公式
函数y=sin（ωx+ϕ），x∈R及函数y=cos（ωx+ϕ），x∈R（A,ω,ϕ为常数，
2π
且A≠0，ω＞0）的周期T=；
ω
π
函数y=tan（ωx+ϕ），x≠kπ+,k∈Z（A,ω,ϕ为常数，且A≠0，ω＞0）
2π
的周期T=.
ω
28.正弦定理
abc
===2R.（R是外接圆的半径）
sinAsinBsinC
29.余弦定理
a2=b2+c2−2bccosA;
b2=c2+a2−2cacosB;
c2=a2+b2−2abcosC.
30.面积定理
（1）
（2）
111
S=ah=bh=ch（h、h、h分别表示a、b、c边上的高）.
abcabc
222
111
S=absinC=bcsinA=casinB.
222
31.三角形内角和定理
在△ABC中，有A+B+C=π⇔C=π−（A+B）
CπA+B
⇔=−⇔2C=2π−2（A+B）.
222
六、向量和数量积
32.向量的数量积的运算律：
（1）a·b=b·a（交换律）;
（2）（λa）·b=λ（a·b）=λa·b=a·（λb）;
（3）（a+b）·c=a·c+b·c.
33.平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一
向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
34.a与b的数量积（或内积）
a·b=|a||b|cosθ．数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影
|b|cosθ的乘积．
35.平面向量的坐标运算
（1）设a=（x,y）,b=（x,y），则a+b=
（x+x,y+y）.11221212
（2）设a=（x,y）,b=（x,y），则a-b=（x−x,y−y）.
11221212
（3）设A（x,y），B（x,y）,则（,）.
AB=OB−OA=x−xy−y11222121
（4）设a=（x,y）,λ∈R，则λa=（λx,λy）.
（5）设a=（x,y）,b=（x,y），则a·b=（xx+yy）.
11221212
36.两向量的夹角公式
θ=+
xxyy
cos
1212
x+y⋅x+y
2222
1122
（a=（x,y）,b=（x,y））.
1122
37.平面两点间的距离公式
d=|AB|=AB⋅AB
A,B
=（x−x）2+（y−y）2（A
（x,y），B（x,y））.21211122
38.向量的平行与垂直
设a=（x,y）,b=
（x,y），且b≠0，则1122
a||b⇔b=λax1y2x2y10
⇔−=.
⇔xx+yy=.
a⊥b（a≠0）⇔a·b=012120
39.线段的定比分点公式
设
P1（x1,y1），2（2,2）
Pxy，P（x,y）是线段
PP的分点,λ是实数，且
12
PP=λPP，则
12
=
x+λx
x12
++λ
1λOPOP
⇔OP=12
+
yλy1+λ
=
y12
+
λ
1
⇔
OP=tOP+−tOP（1
1
（1）2t=
1+λ
）.
40.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为A（x,y）、
11
x+x+xy+y+y
心的坐标是G（123,123）
33
.
O为∆ABC的重心⇔OA+OB+OC=0.
B（x,y）、C（x,y）,则△ABC的重
2233
41.点的平移公式
=+=−
''
xxh⇔xxh
y'=y+ky=y'−k
⇔'=+'
OPOPPP
.
注:
图形F上的任意一点P（x，y）在平移后图形F'上的对应点为P'（x',y'），
且PP'的坐标为（h,k）.
42.“按向量平移”的几个结论
（1）点P（x,y）按向量a=（h,k）平移后得到点P'（x+h,y+k）.
（2）函数y=f（x）的图象C按向量a=（h,k）平移后得到图象C',则C'的函数
解析式为y=f（x−h）+k.
（3）图象C'按向量a=（h,k）平移后得到图象C,若C的解析式y=f（x）,则
C'的函数解析式为y=f（x+h）−k.
（4）曲线C:
f（x,y）=0按向量a=（h,k）平移后得到图象C',则C'的方程为
f（x−h,y−k）=0.
（5）向量m=（x,y）按向量a=（h,k）平移后得到的向量仍然为m=（x,y）.
43.常用不等式：
（1）a,b∈R⇒a2+b2≥2ab（当且仅当a＝b时取“=”号）．
ab
+≥（当且仅当a＝b时取“=”号）．
（2）a,b∈R+⇒
ab
2
（3）a3+b3+c3≥3abc（a>0,b>0,c>0）.
（4）柯西不等式：
（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2,a,b,c,d∈R.
（5）a−b≤a+b≤a+b.
44.最值定理（积定和最小）
已知x,y都是正数，则有
（1）若积xy是定值p，则当x=y时和x+y有最小值2p；
1
（2）若和x+y是定值s，则当x=y时积xy有最大值s2.
4
推广已知x,y∈R，则有（x+y）2=（x−y）2+2xy
（1）若积xy是定值,则当|x−y|最大时,|x+y|最大；
当|x−y|最小时,|x+y|最小.
（2）若和|x+y|是定值,则当|x−y|最大时,|xy|最小；
当|x−y|最小时,|xy|最大.
45.指数不等式与对数不等式
（1）当a>1时,
a（）>a（）⇔f（x）>g（x）;
fxgx
f（x）>0
logf（x）>logg（x）⇔g（x）>0
aa
>
f（x）g（x）
（2）当0af（x）>ag（x）⇔f（x）f（x）>0
logf（x）>logg（x）⇔g（x）>0
aa
<
f（x）g（x）
.
46.斜率公式
y−y
k=21
x−x
21
（
Pxy、
1（1,1）
Pxy）.
2（2,2）
七、几何公式
47.直线的五种方程
（1）点斜式y−y1=k（x−x1）（直线l过点1（1,1）
Pxy，且斜率为k）．
（2）斜截式y=kx+b（b为直线l在y轴上的截距）.
yyxx
−=−
（3）两点式11
y−yx−x
2121
（
y≠y）（
12
Pxy、
1（1,1）
Pxy（
2（2,2）
x≠x））.
12
xy
（4）截距式+=1（a、b分别为直线的横、纵截距，a、b≠0）
ab
（5）一般式Ax+By+C=0（其中A、B不同时为0）.
48.两条直线的平行和垂直
l1:
y=k1x+b1，ly=kx+b
若2:
22
①l1||l2⇔k1=k2,b1≠b2;
l⊥l⇔kk=−.
②12121
49.
l到l的倒角公式
12
α=k−k
（1）tan21.
1+kk
21
（1:
11kk≠−）
ly=kx+b，
l2:
y=k2x+b2,
121
50．两种常用直线系方程
（1）平行直线系方程：
与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是
Ax+By+λ=0（λ≠0），λ是参变量．
（2）垂直直线系方程：
与直线Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）垂直的直线系
方程是Bx−Ay+λ=0,λ是参变量．
51.点到直线的距离
|Ax+By+C|
d=
00
A+B
22
（点
P（x,y）,直线l：
Ax+By+C=0）.
00
52.Ax+By+C>0或<0所表示的平面区域
设直线l:
Ax+By+C=0，则Ax+By+C>0或<0所表示的平面区域是：
（1）若B≠0，当B与Ax+By+C同号时，表示直线l的上方的区域；当B与
Ax+By+C异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
（2）若B=0，当A与Ax+By+C同号时，表示直线l的右方的区域；当A与
Ax+By+C异号时，表示直线l的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.
53.圆的四种方程
（1）圆的标准方程（x−a）2+（y−b）2=r2.
（2）圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2−4F＞0）.
（3）圆的参数方程
（4）圆的直径式方程
=+θ
xarcos
=+
.
ybrsinθ
（x−x）（x−x）+（y−y）（y−y）=0（圆的直径的端点是
1212
A（x,y）、
11
B（x,y））.
22
54.直线与圆的位置关系
直线Ax+By+C=0与圆（x−a）2+（y−b）2=r2的位置关系有三种:
d>r⇔相离⇔∆<0;d=r⇔相切⇔∆=0;d0.
其中d
Aa+Bb+C
=.
A2+B
2
55.椭圆
xy
22
2+2=1（>>0）的参数方程是
ab
ab
x=acosθ
=
ybsinθ
.
xy
22
椭圆221（0）
+=a>b>焦半径公式
ab
aa
22
PF=e（x+，2e（x）
）PF=−.
1c
c
椭圆的的内外部
（1）点
P（x,y）在椭圆
00
xy
22
221（ab0）
+=>>的内部
ab
xy
22
⇔0+0<.
221
ab
（2）点
P（x,y）在椭圆
00
xy
22
221（ab0）
+=>>的外部
a
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