三、解答题
18．分解因式：
2x2﹣8y2．
19．
．
20．解不等式
，并把解集在数轴上表示出来．
21．如图，在由小正方形组成的网格中，点O、M和四边形ABCD的顶点都在格点上．
（1）画出与四边形ABCD关于直线CD对称的图形；
（2）平移四边形ABCD，使其顶点B与点M重合，画出平移后的图形；
（3）把四边形ABCD绕点O逆时针旋转180°，画出旋转后的图形．
22．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD，AB上的点，且DE=BF，求证：
（1）CE=AF；
（2）四边形AFCE是平行四边形．
23．已知：
如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，作∠EAB=∠BAD，AE边交CB的延长线于点E，延长AD到点F，使AF=AE，连结CF．
求证：
BE=CF．
24．甲、乙两地相距60km，A骑自行车从甲地到乙地，出发2小时40分钟后，B骑摩托车也从甲地去乙地．已知B的速度是A的速度的3倍，结果两人同时到达乙地．求A，B两人的速度．
25．将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．
（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：
CP1=CQ；
（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？
参考答案
1．D
【解析】
分析：
根据不等式的基本性质判断，不等式的性质运用时注意:
必须是加上,减去或乘以或除以同一个数或式子;另外要注意不等号的方向是否变化.
详解：
A、不等式两边加（或减）同一个数（或式子）,不等号的方向不变,a>b两边同时减3,不等号的方向不变,所以a-3>b-3正确;
B、C、不等式两边乘（或除以）同一个正数,不等号的方向不变,所以3a>3b和
正确;
D、不等式两边乘（或除以）同一个负数,不等号的方向改变,a>b两边同乘以-1得到-a<-b,所以-a>-b错误;故选D.
点睛：
不等式的性质运用时注意：
必须是加上，减去或乘以或除以同一个数或式子；另外要注意不等号的方向是否变化．
2．D
【分析】
直接利用公因式的定义进而得出答案．
【详解】
解：
多项式3x3﹣12x2的公因式是：
3x2．
故选：
D．
【点睛】
此题主要考查了公因式，正确掌握公因式的定义是解题关键．
3．C
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
第一个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；
第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；
第四个图形是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：
C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．B
【解析】
试题分析：
根据分式有意义的条件是分母不为0得，x﹣y≠0，
解得x≠y．
故选B．
考点：
分式有意义的条件．
5．D
【分析】
根据能用平方差公式的结构特点，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：
A、a2+（﹣b）2，两平方项的符号相同，无法分解因式，故本选项错误；
B、a2﹣4ab，无法运用平方差公式分解因式，故本选项错误；
C、﹣x2﹣y2，两平方项的符号相同，无法分解因式，故本选项错误；
D、﹣x2+9＝（3﹣x）（3+x），符合平方差公式，正确．
故选：
D．
【点睛】
本题考查了公式法分解因式，有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式分解因式．
6．C
【详解】
，
去分母得，3（x-1）=2x,
解得x=3.
经检验，x=3是方程解.
故选C.
7．C
【分析】
根据旋转和平移的性质对各选项进行判断．
【详解】
解：
A、平移和旋转都不改变图形的形状和大小，它们是全等变换，所以A选项的说法正确；
B、平移和旋转能改变图形的位置，所以B选项的说法正确；
C、平移和旋转可改变图形的位置，所以C选项的说法不正确；
D、平移和旋转能改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小，所以D选项的说法正确．
故选：
C．
【点睛】
此题主要考查平移和旋转的特点，解题的关键是熟知平移和旋转的定义．
8．B
【分析】
根据平行四边形的判定定理进行判断即可．
【详解】
A.两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误；
B.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确；
C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误；
D.对角线互相平分的四边形才是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故本选项错误.
故选B.
【点睛】
本题考查平行四边形的判定，定理有：
①两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③对角线互相平分的四边形是平行四边形，④有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形.
9．D
【分析】
根据平行四边形的周长求出BC+CD＝20，再根据平行四边形的两种面积计算方法求出BC＝
CD，由此可以求出CD的值，进而具体求得平行四边形的面积．
【详解】
解：
∵▱ABCD的周长＝2（BC+CD）＝40，
∴BC+CD＝20①，
∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝4，AF＝6，
∴S▱ABCD＝4BC＝6CD，
整理得，BC＝
CD②，
联立①②解得，CD＝8，
∴▱ABCD的面积＝AF•CD＝6CD＝6×8＝48．
故选：
D．
【点睛】
本题考查平行四边形的面积计算，利用方程的思想方法求得平行四边形的底是解题关键．
10．B
【分析】
当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，面积为8cm2．
【详解】
解：
如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，
∵∠BAC=90°∠ACB=45°
∴AB=AC=4cm，
故选B.
【点睛】
本题考查了折叠的性质，发现当AC⊥AB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键．
11．2b（a+2）（a-2）
【分析】
先提取公因式2b，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可求得答案．
【详解】
解：
2a2b-8b
=2b（a2-4）
=2b（a+2）（a-2）．
故答案为2b（a+2）（a-2）．
【点睛】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．注意一个多项式有公因式要首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．1
【分析】
根据分式值为0的条件直接求解即可.
【详解】
解：
令
且
∴
即
时，分式
的值为0.
故答案为：
1.
【点睛】
本题考查了分式的值，分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
13．2
【分析】
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出整数解．
【详解】
解：
解不等式①，得x＞1；
解不等式②，得x＜3，
∴不等式组的解集为1＜x＜3，
则不等式组的整数解是2，
故答案为2．
【点睛】
本题考查一元一次不等式组整数的求法，在求出一元一次不等式组解集的基础上找出其整数解是解题关键．
14．2
【解析】
去分母得，m-1-x=0.
∵方程有增根，∴x=1,∴m-1-1=0,∴m=2.
15．10
【分析】
根据平行四边形的性质可知BC+CD＝12，以及OD＝
BD＝4，再根据中位线性质可知OE与BC关系，从而可求OE+DE整体值，最后加上OD即可．
【详解】
解：
因为平行四边形ABCD的周长为24，
所以BC+CD＝12．
∵O是BD中点，E是CD中点，
∴OE＝
BC，DE＝
CD，OD＝
BD＝4，
∴△DOE周长＝OE+DE+OD＝6+4＝10．
故答案为：
10．
【点睛】
此题主要考查平行四边形内的线段求解，解题的关键是熟知中位线的性质．
16．30°
【解析】
试题分析：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∴∠CAD=∠BAD=∠B，
∵∠C=90°，
∴∠CAD+∠BAD+∠B=90°，
∴∠B=30°．
考点：
1．线段垂直平分线的性质；2．角平分线的性质．
17．-3,3
【解析】
所以
解得
.
18．2（x+2y）（x﹣2y）．
【分析】
先提公因式2x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】
解：
2x2﹣8y2，
＝2（x2﹣4y2），
＝2（x+2y）（x﹣2y）．
【点睛】
本题考查整式的分解因式，熟练应用提公因式法和公式法是解题的关键．
19．
．
【分析】
先通分，最简公分母为（m+3）（m﹣3），把异分母分式加减化成同分母分式进行加减．
【详解】
解：
原式＝
＝
＝
．
【点睛】
此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
20．x＜3．
【解析】
试题分析：
按照解不等式的步骤逐步计算求解，再表示解集．
试题解析：
去分母，得2x﹣4＜x﹣1
移项，合并同类项，得x＜3．
在数轴上表示解集为：
考点：
1．解一元一次不等式；2．在数轴上表示不等式的解集．
21．
（1）见解析；
（2）见解析；（3）见解析．
【分析】
（1）根据轴对称的性质即可画出与四边形ABCD关于直线CD对称的图形；
（2）根据平移的性质即可平移四边形ABCD，使其顶点B与点M重合，画出平移后的图形；
（3）根据旋转的性质即可把四边形ABCD绕点O逆时针旋转180°，画出旋转后的图形．
【详解】
（1）如图，四边形A′B′CD即为四边形ABCD关于直线CD对称的图形；
（2）如图，四边形MNGH即为平移后的图形；
（3）如图，四边形EFPQ即为旋转后的图形．
【点晴】
本题考查了作图-旋转变换、作图-轴对称变换、作图-平移变换，解决本题的关键是掌握旋转、轴对称、平移的性质．
22．
（1）证明见解析,
（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：
（1）根据平行四边形的对边相等得AB=CD，已知DE=BF，再作线段的差可得CE=AF；
（2）利用CE与AF平行且相等，可证四边形AFCE是平行四边形．
试题解析：
（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD．
又∵DE=BF，
∴AB-BF=CD-DE．
即AF=CE．
（2）∵AF=CE，AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
考点：
平行四边形的判定．
23．证明见解析.
【解析】
试题分析：
根据等腰三角形的性质可得∠CAD=∠BAD，由等量关系可得∠CAD=∠EAB，有SAS可证△ACF≌△ABE，再根据全等三角形的对应边相等即可得证．
试题解析：
证明：
∵AB=AC，点D是BC的中点，∴∠CAD=∠BAD．
又∵∠EAB=∠BAD，∴∠CAD=∠EAB．
在△ACF和△ABE中，∵AC=AB，∠CAF=∠BAE，AF=AE，∴△ACF≌△ABE（SAS），∴BE=CF．
点睛：
此题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度中等，注意掌握数形结合思想的应用．
24．A的速度为15km/h，B的速度为45km/h．
【分析】
设A的速度为xkm/h，则B的速度为3xkm/h，根据时间＝路程÷速度结合A比B多用了2小时40分钟（2
小时），即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】
解：
设A的速度为xkm/h，则B的速度为3xkm/h，
依题意，得：
﹣
＝2
，
解得：
x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
∴3x＝45．
答：
A的速度为15km/h，B的速度为45km/h．
【点睛】
此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程求解．
25．
（1）证明见解析；
（2）CQ=
【解析】
分析：
（1）利用△A1CB1≌△ACB得到CA1=CA，再根据旋转的性质得∠B1CB=∠A1CA=45°，则∠BCA1=45°，于是根据“ASA”判断△CQA1≌△CP1A，所以CP1=CQ；
（2）过点P1作P1P⊥AC于点P，如图②，先在Rt△AP1P中根据含30度的直角三角形三边的关系得到P1P=
AP1=
×2=1，然后在Rt△CP1P中利用等腰直角三角形的性质得CP=P1P=1，CP1=
PP1=
，由
（1）得CQ=CP1=
．
详解：
（1）∵△A1CB1≌△ACB，∴CA1=CA．
∵图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，∴∠B1CB=∠A1CA=45°，∴∠BCA1=45°．
在△CQA1和△CP1A中，∵
，∴△CQA1≌△CP1A，∴CP1=CQ；
（2）过点P1作P1P⊥AC于点P，如图②．在Rt△AP1P中，∵∠A=30°，∴P1P=
AP1=
×2=1．在Rt△CP1P中，∵∠P1CP=45°，∴CP=P1P=1，∴CP1=
PP1=
，∴CQ=CP1=
．
点睛：
本题考查了旋转的性质：
对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．旋转有三要素：
旋转中心；旋转方向；旋转角度．也考查了等腰直角三角形的性质．
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