v≥5
F/N
2
6
3
(1)小物体P从开始运动至速率为2m/s所用的时间;
(2)小物体P从A运动至D的过程,电场力做的功.
归纳
带电体通常是指需要考虑重力的物体,如带电小球、带电液滴、带电尘埃等.带电体在电场中运动的研究方法与力学综合题的分析方法相近,一般应用牛顿运动定律、运动学规律、动能定理和能量守恒定律求解.当带电体同时受重力和电场力时,可以应用等效场的观点处理.
变式1如图69所示,CD左侧存在场强大小E=
、方向水平向左的匀强电场,一个质量为m、电荷量为+q的光滑绝缘小球从底边BC长为L、倾角为53°的直角三角形斜面顶端A点由静止开始下滑,运动到斜面底端C点后进入一竖直半圆形细圆管内(C处为一小段长度可忽略的光滑圆弧,圆管内径略大于小球直径,半圆直径CD在竖直线上),恰能到达细圆管最高点D点,随后从D点离开后落回斜面上某点P.(重力加速度为g,sin53°=0.8,cos53°=0.6)求:
(1)小球到达C点时的速度;
(2)小球从D点运动到P点的时间t.
变式2如图610所示,空间有一水平向右的匀强电场,半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内,O是圆心,AB是竖直方向的直径.一质量为m、电荷量为+q的小球套在圆环上,并静止在P点,且OP与竖直方向的夹角θ=37°.不计空气阻力.已知重力加速度为g,sin37°=0.6,cos37°=0.8.
(1)求电场强度E的大小;
(2)要使小球从P点出发能做完整的圆周运动,求小球初速度v应满足的条件.
4如图611甲所示,一对平行金属板M、N长为L,相距为d,O1O为中轴线.当两板间加电压UMN=U0时,两板间为匀强电场,忽略两极板外的电场,某种带负电的粒子从O1点以速度v0沿O1O方向射入电场,粒子恰好打在上极板M的中点,粒子重力忽略不计.
(1)求带电粒子的比荷
;
(2)若MN间加如图乙所示的交变电压,其周期T=
,从t=0开始,前
内UMN=2U,后
内UMN=-U,大量的上述粒子仍然以速度v0沿O1O方向持续射入电场,最终所有粒子恰好能全部离开电场而不打在极板上,求U的值.
图611
导思
①MN间加交变电压后,粒子在水平方向做什么运动?
运动时间是多少?
②MN间加交变电压后,粒子在竖直方向做什么运动?
可以分成几个阶段?
每阶段的加速度是多少?
归纳
交变电场中粒子的运动往往属于运动的多过程问题,关键是搞清楚电场力或加速度随时间变化的规律,进而分析速度的变化规律,通过绘制vt图像来分析运动过程比较直观简便.
【真题模型再现】平行板电容器中带电粒子的运动
2011·安徽卷
交变电场中粒子的运动
2012·新课标全国卷
带电粒子在电容器中的匀速直线运动
2013·广东卷
加速偏转模型应用
2014·安徽卷带电粒子在电容器中运动的功能关系
2014·天津卷
带电体在复合场中的功能转化
2015·海南卷
带电粒子在电场中加速
(续表)
【真题模型再现】平行板电容器中带电粒子的运动
2015·山东卷
带电体在变化电场中运动
2015·北京卷
带电粒子在电场中的功能转化
2015·全国卷Ⅱ
带电粒子在电场中的动力学问题
【模型核心归纳】
带电体在平行板电容器间的运动,实际上就是在电场力作用下的力电综合问题,依然需要根据力学解题思路求解,解题过程要遵从以下基本步骤:
(1)确定研究对象(是单个研究对象还是物体组);
(2)进行受力分析(分析研究对象所受的全部外力,包括电场力.其中电子、质子、正负离子等基本微观粒子在没有明确指出或暗示时一般不计重力,而带电油滴、带电小球、带电尘埃等宏观带电体一般要考虑其重力);
(3)进行运动分析(分析研究对象所处的运动环境是否存在束缚条件,并根据研究对象的受力情况确定其运动性质和运动过程);
(4)建立物理等式(由平衡条件或牛顿第二定律结合运动学规律求解,对于涉及能量的问题,一般用动能定理或能量守恒定律列方程求解.
例 在真空中水平放置平行板电容器,两极板间有一个带电油滴,电容器两极板间距为d,当平行板电容器的电压为U0时,油滴保持静止状态,如图612所示.当给电容器突然充电使其电压增加ΔU1,油滴开始向上运动;经时间Δt后,电容器突然放电使其电压减少ΔU2,又经过时间Δt,油滴恰好回到原来位置.假设油滴在运动过程中没有失去电荷,充电和放电的过程均很短暂,这段时间内油滴的位移可忽略不计,重力加速度为g.试求:
(1)带电油滴所带电荷量与质量之比;
(2)第一个Δt与第二个Δt时间内油滴运动的加速度大小之比;
(3)ΔU1与ΔU2之比.
展如图613所示,A、B为平行金属板,两板相距为d,分别与电源两极相连,两板的中央各有一小孔M和N.今有一带电质点,自A板上方相距为d的P点由静止自由下落(P、M、N在同一竖直线上),空气阻力忽略不计,到达N孔时速度恰好为零,然后沿原路返回.若保持两极板间的电压不变,则不正确的是( )
图613
A.把A板向上平移一小段距离,质点自P点自由下落后仍能返回
B.把A板向下平移一小段距离,质点自P点自由下落后将穿过N孔继续下落
C.把B板向上平移一小段距离,质点自P点自由下落后仍能返回
D.把B板向下平移一小段距离,质点自P点自由下落后将穿过N孔继续下落
第7讲 带电粒子在磁场及复合场中的运动
1.(多选)[2014·新课标全国卷Ⅱ]图71为某磁谱仪部分构件的示意图.图中,永磁铁提供匀强磁场,硅微条径迹探测器可以探测粒子在其中运动的轨迹.宇宙射线中有大量的电子、正电子和质子.当这些粒子从上部垂直进入磁场时,下列说法正确的是( )
图71
A.电子与正电子的偏转方向一定不同
B.电子与正电子在磁场中运动轨迹的半径一定相同
C.仅依据粒子运动轨迹无法判断该粒子是质子还是正电子
D.粒子的动能越大,它在磁场中运动轨迹的半径越小
【考题定位】
难度等级:
中等
出题角度:
本题主要考查学生对左手定则、带电粒子在匀强磁场中运动规律的掌握情况.
2.[2015·全国卷Ⅰ]两相邻匀强磁场区域的磁感应强度大小不同、方向平行.一速度方向与磁感应强度方向垂直的带电粒子(不计重力),从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后,粒子的( )
A.轨道半径减小,角速度增大 B.轨道半径减小,角速度减小
C.轨道半径增大,角速度增大D.轨道半径增大,角速度减小
【考题定位】
难度等级:
容易
出题角度:
本题主要考查学生对带电粒子在匀强磁场中运动结论的掌握情况,属于较简单题目.
3.(多选)[2015·全国卷Ⅱ]两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ,Ⅰ的磁感应强度是Ⅱ的k倍,两个速率相同的电子分别在两磁场区域做圆周运动.与Ⅰ中运动的电子相比,Ⅱ中的电子( )
A.运动轨迹的半径是Ⅰ中的k倍
B.加速度的大小是Ⅰ中的k倍
C.做圆周运动的周期是Ⅰ中的k倍
D.做圆周运动的角速度与Ⅰ中的相等
【考题定位】
难度等级:
容易
出题角度:
本题主要考查学生对带电粒子在匀强磁场中运动规律的掌握情况,考查了应用牛顿运动定律、圆周运动的规律解决物理问题的能力.
考点一 通电导体在磁场中的安培力问题
1[2015·重庆卷]音圈电机是一种应用于硬盘、光驱等系统的特殊电动机.图72是某音圈电机的原理示意图,它由一对正对的磁极和一个正方形刚性线圈构成,线圈边长为L,匝数为n,磁极正对区域内的磁感应强度方向垂直于线圈平面竖直向下,大小为B,区域外的磁场忽略不计.线圈左边始终在磁场外,右边始终在磁场内,前后两边在磁场内的长度始终相等.某时刻线圈中电流从P流向Q,大小为I.
(1)求此时线圈所受安培力的大小和方向.
(2)若此时线圈水平向右运动的速度大小为v,求安培力的功率.
导思
①单根通电直导线垂直磁场放置,安培力的大小、方向如何?
n根呢?
②安培力的功率与哪些因素有关?
归纳
安培力与动力学综合问题已成为高考的热点,解决这类问题的关键是把电磁学问题力学化,把立体图转化为平面图,即画出平面受力分析图,其中安培力的方向切忌跟着感觉走,要用左手定则来判断,注意F安⊥B、F安⊥I.其次是选用牛顿第二定律或平衡条件建立方程解题.
变式如图73所示,一劲度系数为k的轻质弹簧下面挂有匝数为n的矩形线框abcd.bc边长为l,线框的下半部分处在匀强磁场中,磁感应强度大小为B,方向垂直线框平面向里.线框中通以电流I,方向如图所示,开始时线框处于平衡状态,弹簧处于伸长状态.令磁场反向,磁感应强度的大小仍为B,线框达到新的平衡.则在此过程中线框位移的大小Δx及方向是( )
A.Δx=
,方向向上
B.Δx=
,方向向下
C.Δx=
,方向向上
D.Δx=
,方向向下
考点二 带电粒子在有界磁场中的运动
2如图74所示,在xOy平面内以O为圆心、R0为半径的圆形区域Ⅰ内有垂直于纸面向外、磁感应强度为B1的匀强磁场.一质量为m、带电荷量为+q的粒子以速度v0从A(R0,0)点沿x轴负方向射入区域Ⅰ,经过P(0,R0)点,沿y轴正方向进入同心环形区域Ⅱ,为使粒子经过区域Ⅱ后能从Q点回到区域Ⅰ,需在区域Ⅱ内加一垂直于纸面向里、磁感应强度为B2的匀强磁场.已知OQ与x轴负方向成30°角,不计粒子重力.求:
(1)区域Ⅰ中磁感应强度B1的大小;
(2)环形区域Ⅱ的外圆半径R的最小值;
(3)粒子从A点出发到再次经过A点所用的最短时间.
导思
①粒子以速度v0从A到P,经过P点的速度方向如何?
②粒子在区域Ⅱ从P到Q,圆心角是多少?
③粒子从A点出发到再次经过A点,经过哪些圆弧?
圆心角分别为多少?
归纳
解答带电粒子在匀强磁场中运动的关键是画粒子运动轨迹的示意图,确定圆心、半径及圆心角.此类问题的解题思路是:
(1)画轨迹:
即确定圆心,用几何方法求半径并画出运动轨迹.
(2)找联系:
轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系,偏转角度与圆心角、入射方向、出射方向相联系,在磁场中运动的时间与周期相联系.
(3)用规律:
即牛顿第二定律和圆周运动的规律,特别是周期公式和半径公式.
变式1如图75所示,横截面为正方形abcd的有界匀强磁场的磁场方向垂直纸面向里.一束电子以大小不同、方向垂直ad边界的速度飞入该磁场.对于从不同边界射出的电子,下列判断不正确的是( )
图75
A.从ad边射出的电子在磁场中运动的时间都相等
B.从c点离开的电子在磁场中运动时间最长
C.电子在磁场中运动的速度偏转角最大为π
D.从bc边射出的电子的速度一定大于从ad边射出的电子的速度
变式2(多选)如图76所示,ab是匀强磁场的边界,质子(
H)和α粒子(
He)先后从c点射入磁场,初速度方向与ab边界的夹角均为45°,并都到达d点.不计空气阻力和粒子间的作用.关于两粒子在磁场中的运动,下列说法正确的是( )
图76
A.质子和α粒子运动轨迹相同B.质子和α粒子运动动能相同
C.质子和α粒子运动速率相同D.质子和α粒子运动时间相同
考点三 带电粒子在复合场中的运动
3[2015·福建卷]如图77所示,绝缘粗糙的竖直平面MN左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场,电场方向水平向右,电场强度大小为E,磁场方向垂直纸面向外,磁感应强度大小为B.一质量为m、电荷量为q的带正电的小滑块从A点由静止开始沿MN下滑,到达C点时离开MN做曲线运动.A、C两点间距离为h,重力加速度为g.
(1)求小滑块运动到C点时的速度大小vC;
(2)求小滑块从A点运动到C点过程中克服摩擦力做的功Wf;
(3)若D点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置,当小滑块运动到D点时撤去磁场,此后小滑块继续运动到水平地面上的P点.已知小滑块在D点时的速度大小为vD,从D点运动到P点的时间为t,求小滑块运动到P点时速度的大小vP.
【规范步骤】
[解析]
(1)小滑块沿MN运动过程,水平方向受力满足
qvB+N=qE
小滑块在C点离开MN时,有N=0解得vC=
.
(2)由动能定理,有___________________________________________
解得______________________________________.
(3)如图78所示,小滑块速度最大时,速度方向与电场力、重力的合力方向垂直.撤去磁场后小滑块将做类平抛运动,等效加速度为g′
g′=
且v
=v
+g′2t2解得_______________________________.
归纳
带电粒子在复合场中常见的运动形式:
①当带电粒子在复合场中所受的合力为零时,粒子处于静止或匀速直线运动状态;②当带电粒子所受的合力大小恒定且提供向心力时,粒子做匀速圆周运动;③当带电粒子所受的合力变化且与速度方向不在一条直线上时,粒子做非匀变速曲线运动.
如果带电粒子做曲线运动,则需要根据功能关系求解,需要注意的是洛伦兹力始终不做功.
4如图79所示,直线MN上方有平行于纸面且与MN成45°角的有界匀强电场,电场强度大小未知;MN下方为方向垂直于纸面向里的有界匀强磁场,
磁感应强度大小为B.今从MN上的O点向磁场中射入一个速度大小为v、方向与MN成45°角的带正电粒子,该粒子在磁场中运动时的轨道半径为R.若该粒子从O点出发记为第一次经过直线MN,而第五次经过直线MN时恰好又通过O点.不计粒子的重力.求:
(1)电场强度的大小;
(2)该粒子再次从O点进入磁场后,运动轨道的半径;
(3)该粒子从O点出发到再次回到O点所需的时间.
导思
①粒子从O点出发到第五次经过直线MN,经过哪些运动过程,分别做什么运动?
②粒子第四次经过直线MN,进入电场,沿电场线和垂直电场线方向分别做什么运动?
其位移分别是多少?
③粒子再次从O点进入磁场后,运动的速度是多少?
归纳
电场(或磁场)与磁场各位于一定的区域内并不重叠,或在同一区域电场与磁场交替出现,这种情景就是组合场.粒子在某一场中运动时,通常只受该场对粒子的作用力.
其处理方法一般为:
①分析带电粒子在各场中的受力情况和运动情况,一般在电场中做直线运动或类平抛运动,在磁场中做匀速圆周运动;②正确地画出粒子的运动轨迹图,在画图的基础上注意运用几何知识寻找关系;③注意确定粒子在组合场交界位置处的速度大小与方向,该速度是联系两种运动的桥梁.
【真题模型再现】带电粒子在电磁场中运动的科技应用
2013·重庆卷
霍尔效应原理
2014·浙江卷
离子推进器
2014·福建卷
电磁驱动原理
2015·浙江卷
回旋加速器引出离子问题
2015·重庆卷
回旋加速器原理
2015·江苏卷
质谱仪
(续表)
【模型核心归纳】
带电粒子在电场、磁场中的运动与现代科技密切相关,应重视以科学技术的具体问题为背景的考题.涉及带电粒子在复合场中运动的科技应用主要是速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、质谱仪等,对应原理如下:
装置名称
装置图示
原理及结论
速度选择器
粒子经加速电场加速后得到一定的速度v0,进入正交的电场和磁场,受到的电场力与洛伦兹力方向相反,若使粒子沿直线从右边孔中射出,则有qv0B=qE,即v0=
,故若v=v0=
,粒子必做匀速直线运动,与粒子电荷量、电性、质量均无关.若v<
,电场力大,粒子向电场力方向偏,电场力做正功,动能增加.若v>
,洛伦兹力大,粒子向洛伦兹力方向偏,电场力做负功,动能减少
磁流体发电机
正、负离子(等离子体)高速喷入偏转磁场中,在洛伦兹力作用下,正、负离子分别向上、下极板偏转、积累,从而在板间形成一个场强向下的电场,两板间形成一定的电势差.当qvB=
时,电势差达到稳定,U=dvB,这就相当于一个可以对外供电的电源
电磁流量计
一圆形导管直径为d,用非磁性材料制成,其中有可以导电的液体向左流动.导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力作用下纵向偏转,a、b间出现电势差.当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时,由Bqv=Eq=
,可得v=
,则流量Q=Sv=
质谱仪
选择器中v=
;偏转场中d=2r,qvB2=
,解得比荷
=
,质量m=
.作用:
主要用于测量粒子的质量、比荷,研究同位素
霍尔效应
在匀强磁场中放置一个矩形截面的载流导体,当磁场方向与电流方向垂直时,导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现了电势差,这种现象称为霍尔效应
例 [2015·浙江卷]使用回旋加速器的实验需要把离子束从加速器中引出,离子束引出的方法有磁屏蔽通道法和静电偏转法等.质量为m,速度为v的离子在回旋加速器内旋转,旋转轨道是半径为r的圆,圆心在O点,轨道在垂直纸面向外的匀强磁场中,磁感应强度为B.
为引出离子束,使用磁屏蔽通道法设计引出器.引出器原理如图710所示,一对圆弧形金属板组成弧形引出通道,通道的圆心位于O′点(O′点图中未画出).引出离子时,令引出通道内磁场的磁感应强度降低,从而使离子从P点进入通道,沿通道中心线从Q点射出.已知OQ长度为L,OQ与OP的夹角为θ.
(1)求离子的电荷量q并判断其正负;
(2)离子从P点进入,Q点射出,通道内匀强磁场的磁感应强度应降为B′,求B′;
(3)换用静电偏转法引出离子束,维持通道内的原有磁感应强度B不变,在内外金属