三角形中线高角平分线的30题有答案okdocx.docx

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三角形高中线角平分线专项练习30题（有答案）

1．如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F．

（1）试说明∠BCD=∠ECD；

（2）请找出图中所有与∠B相等的角（直接写出结果）．

2．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，

（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；

（2）在△BED中作BD边上的高；

（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少

3．在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD和△ADC的周长之差为4（AB＞AC），AB与AC的和为14，求AB和AC的长．

4．如图△ABC中，∠A=20°，CD是∠BCA的平分线，△CDA中，DE是CA边上的高，又有∠EDA=∠CDB，求∠B的大小．

5．△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．

（1）∠B=30°，∠C=70°，求∠EAD的大小．

（2）若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C﹣∠B是否相等若相等，请说明理由．

6．在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=20°，∠C=60°，求∠CAD和∠DAE的度数．

7．在△ABC中．

（1）若∠A=60°，AB、AC边上的高CE、BD交于点O．求∠BOC的度数．（如图）

（2）若∠A为钝角，AB、AC边上的高

CE、BD所在直线交于点

O，画出图形，并用量角器量一量

∠BAC+∠BOC=

_________（3）由（

°，再用你已学过的数学知识加以说明．

1）

（2）可以得到，无论∠A为锐角还是钝角，总有

∠BAC+∠BOC=_________

°．

8．在△ABC中，已知∠ABC=60°，∠ACB=50°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．

求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．

9．如图，△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．

（1）试说明CD是△ABC的高；

（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长．

10．如图，已知△ABC的高AD，角平分线AE，∠B=26°，∠ACD=56°，求∠AED的度数．

11．如图，△ABC中，∠ABC=40°，∠C=60°，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分线．

（1）求∠DAE的度数；

（2）指出AD是哪几个三角形的高．

12．如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、

∠ACF和∠BHC的度数．

13．如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=20°，AD为△ABC的高，AE为角平分线

（1）求∠EAD的度数；

（2）寻找∠DAE与∠B、∠C的关系并说明理由．

14．如图，已知：

AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．

15．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，

（1）若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．

（2）若∠B=α°，∠C=β°（α＜β），求∠DAE的度数（用含α、β的代数式表示）

16．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B=60°，∠C=45°，求∠ADB和∠ADC的度数．

17．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：

∠CFE=∠CEF．

18．如图

（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．

（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．

（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．

（3）．如图

（2）若将点A在AD上移动到A′处，A′E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA′E，

（2）中的结论还正确吗为什么

19．如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长．

20．我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC的三条内角平分线相交于点I，过

I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E．

（1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）

（2）从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理．

∠BAC的度数40°

60°

90°

120°

∠BIC的度数

∠BDI的度数

21．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．

22．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，填空：

（1）BE=_________=_________

（2）∠BAD=__________________

（3）∠AFB=_________=90°

（4）S△ABC=_________S△ABE．

23．如图，BM是△ABC的中线，AB=5cm，BC=3cm，那么△ABM与△BCM的周长是差是多少

24．在△ABC中，AB=AC，AD是中线，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为30cm，求AD的长．

25．如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5，你能求出AC与AB的边长的差吗

26．如图，在△ABC中，AC=AB，AD是BC边上的中线，则AD⊥BC，请说明理由．

27．如图，∠BAD=∠CAD，则AD是△ABC的角平分线，对吗说明理由．

28．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．

29．如图所示，AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线，已知DE=2cm，求BD，BE，BC的长．

30．如图所示，AD是△ABC的中线，AB=6cm，AC=5cm，求△ABD和△ADC的周长的差．

参考答案：

1．

（1）∵∠B=70°，CD⊥AB于D，

∴∠BCD=90﹣°70°=20，°

在△ABC中，∵∠A=30°，∠B=70°，

∴∠ACB=180﹣°30°﹣70°=80，°

∵CE平分∠ACB，

∴∠BCE=∠ACB=40，°

∴∠ECD=∠BCE﹣∠BCD=40﹣°20°=20，°∴∠BCD=∠ECD；

（2）∵CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，∴∠CED=90﹣°∠ECD=90﹣°20°=70，°

∠CDF=90﹣°∠ECD=90﹣°20°=70°，

所以，与∠B相等的角有：

∠CED和∠CDF．

2．

（1）∵∠BED是△ABE的一个外角，∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15+35°=50°．°

（2）如图所示，EF即是△BED中BD边上的高．

（3）∵AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，

∴S△BED=S△ABC=×60=15；

∵BD=5，

∴EF=2S△BED÷BD=2×15÷，5=6

即点E到BC边的距离为6．

3．∵AD是BC边上的中线，

∴BD=CD，

∴△ABD的周长﹣△ADC的周长=（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC=4，（2分）

即AB﹣AC=4①，又AB+AC=14②，

①+②得．2AB=18，解得AB=9，

②﹣①得，2AC=10，

解得AC=5，

∴AB和AC的长分别为：

AB=9，AC=5．

4．∵DE是CA边上的高，

∴∠DEA=∠DEC=90，°

∵∠A=20，°

∴∠EDA=90﹣°20°=70°，

∵∠EDA=∠CDB，

∴∠CDE=180﹣°70°×2=40，°

在Rt△CDE中，∠DCE=90°﹣40°=50°，∵CD是∠BCA的平分线，

∴∠BCA=2∠DCE=2×50=100°，°

在△ABC中，∠B=180°﹣∠BCA﹣∠A=180°﹣100°﹣

20°=60°．

故答案为：

60

5．

（1）∵∠B=30°，∠C=70°∴∠BAC=180﹣°∠B﹣∠C=80°∵AE是角平分线，

∴∠EAC=∠BAC=40°

∵AD是高，∠C=70°∴∠DAC=90﹣°∠C=20°

∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=40﹣°20°=20；°

（2）由

（1）知，∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=∠BAC﹣（90°

﹣∠C）①

把∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C代入①，整理得

∠EAD=∠C﹣∠B，

∴2∠EAD=∠C﹣∠B．

6．∵AD是高，∠C=60°，

∴∠CAD=90﹣°∠C=90﹣°60°=30；°∵∠B=20，°∠C=60，°

∴∠BAC=180﹣°∠B﹣∠C=180﹣°20°﹣60°=100，°∵AE是角平分线，

∴∠CAE=∠BAC=×100=50°，°

∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=50﹣°30°=20．°

7．

（1）∵BD、CE分别是边AC，AB上的高，

∴∠ADB=∠BEC=90，°

又∵∠BAC=60°，

∴∠ABD=180﹣°∠ADB﹣∠A=180﹣°90°﹣60°=30°，∴∠BOC=∠EBD+∠BEO=90+30°°=120；°

（2）如图所示：

∠BAC+∠BOC=180；°

理由如下：

∵BD、CE分别是边AC，AB上的高，

∴∠ADB=∠BEC=90，°

∵∠ABD=180﹣°∠ADB﹣∠BAD=180﹣°90°﹣∠BAD=90°﹣∠BAD，

∠O=180﹣°∠BEO﹣∠DBA=90﹣°∠DBA=90﹣°（90°﹣

∠BAD）=∠BAD，

∵∠BAC=180﹣°∠DAB，

∴∠BAC=180﹣°∠O，

∴∠BAC+∠O=180；°

（3）由

（1）

（2）可得∠BAC+∠BOC=180°．

8．∵BE是AC上的高，

∴∠AEB=90，°

∵∠ABC=60，°∠ACB=50，°∴∠A=180﹣°60°﹣50°=70，°∴∠ABE=180﹣°90°﹣70°=20°，

∵CF是AB上的高，∴∠AFC=90，°

∴∠ACF=180﹣°90°﹣70°=20，°

∵∠ABE=20，°

∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=60﹣°20°=40，°

∵∠ACF=20，°∠ACB=50，°

∴∠BCH=30，°

∴∠BHC=180﹣°40°﹣30°=110．°

9．

（1）∵∠1+∠BCD=90°，∠1=∠B∴∠B+∠BCD=90°

∴△BDC是直角三角形，即CD⊥AB，

∴CD是△ABC的高；

（2）∵∠ACB=∠CDB=90°∴S△ABC=ACBC=ABCD，

∵AC=8，BC=6，AB=10，

∴CD===

10.∵∠B=26°，∠ACD=56°

∴∠BAC=30°

∵AE平分∠BAC

∴∠BAE=15°

∴∠AED=∠B+∠BAE=41°

11．

（1）∵AD⊥BC于D，

∴∠ADB=∠ADC=90，°

∵∠ABC=40，°∠C=60，°

∴∠BAD=50，°∠CAD=30，°

∴∠BAC=50+30°=80°，°

∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=40，°

∴∠DAE=50﹣°40°=10．°

（2）AD是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC

的高．

12．∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，

∴∠A=180﹣°∠ABC﹣∠ACB=180﹣°66°﹣54°=60．°又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，

∴∠ABE=180﹣°∠BAC﹣∠AEB=180﹣°90°﹣60°=30．°同理，∠ACF=30°，

∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90+30°=120°．°

13．

（1）∵在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠C﹣∠B=180°

﹣20°﹣60°=100°，又∵AE为角平分线，

∴∠EAB=∠BAC=50，°

在直角△ABD中，∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°，∴∠EAD=∠EAB﹣∠BAD=50﹣°30°=20；°

（2）根据

（1）可以得到：

∠EAB=∠BAC=（180°﹣

∠B﹣∠C）

∠BAD=90﹣°∠B，

则∠EAD=∠EAB﹣∠BAD=（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°

﹣∠B）=（∠B﹣∠C）．

14．∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，

∴∠DAC=∠BAD=30，°

∵CE是△ABC的高，∠BCE=40，°∴∠B=50，°

∴∠ADB=180﹣°∠B﹣∠BAD=180﹣°30°﹣50°=100°

15．

（1）∵∠B=47°，∠C=73°，∴∠BAC=180﹣°47°﹣73°=60，°

∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠BAD=90﹣°47°=43°，

∵AE是∠BAC的角平分线，

∴∠BAE=∠BAC=30，°

∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=43﹣°30°=13；°

（2））∵∠B=α°，∠C=β°，

∴∠BAC=180﹣°α°﹣β°，

∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠BAD=90﹣°α°，

∵AE是∠BAC的角平分线，

∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣α°﹣β°），

∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=90﹣°α°﹣（180°﹣α°﹣β°），

=90°﹣α°﹣90°+α°+β°，

=（β﹣α）°

16．∵∠B=60°，∠C=45°，

∴∠BAC=180﹣°60°﹣45°=75°，

∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=，°

在△ABD中，∠ADB=180°﹣∠BAD﹣∠B=°，则∠ADC=180°﹣∠ADB=°．

17．

=180°﹣（∠ABC+∠ACB）

∵∠ACB=90，°

∴∠1+∠3=90，°

=180°﹣（180°﹣∠BAC）

∵CD⊥AB，

∴∠2+∠4=90，°

=90+∠BAC；

又∵BE平分∠ABC，

∴∠1=∠2，

∵AI平分∠BAC，

∴∠3=∠4，

∴∠DAI=∠DAE．

∵∠4=∠5，

∴∠3=∠5，

∵DE⊥AI于I，

即∠CFE=∠CEF．

∴∠AID=90．°

∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90+°∠BAC．

∴∠BIC=∠BDI．

18．

（1）在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣50°

﹣80°=50°；

∵AD是角平分线，

∴∠DAC=∠BAC=25；°

在△ADC中，∠ADC=180°﹣∠C﹣∠DAC=75°；在△ADE中，∠DAE=180°﹣∠ADC﹣AED=15°．

（2）∠DAE=180°﹣∠ADC﹣AED=180°﹣∠ADC﹣90°=90°﹣∠ADC=90°﹣（180°﹣∠C﹣∠DAC）=90°﹣（180°﹣∠C

﹣∠BAC）=90°﹣[180°﹣∠C﹣（180°﹣∠B﹣∠C）]=

（∠C﹣∠B）．

（3）

（2）中的结论仍正确．

∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+∠BAC=∠B+（180°﹣∠B﹣

∠C）=90°+∠B﹣∠C；

在△DA′E中，∠DA′E=180﹣°∠A′ED﹣∠A′DE=180﹣°90°

﹣（90°+∠B﹣∠C）=（∠C﹣∠B）．

19．∵AB=6cm，AD=5cm，△ABD周长为15cm，

∴BD=15﹣6﹣5=4cm，

∵AD是BC边上的中线，

∴BC=8cm，

∵△ABC的周长为21cm，

∴AC=21﹣6﹣8=7cm．故AC长为7cm．

20．

（1）填写表格如下：

∠BAC的度数

40°

60°

90°

∠BIC的度数

110

°

120

°

135°

∠BDI的度数

110

°

120

°

135°

（2）∠BIC=∠BDI，理由如下：

∵△ABC的三条内角平分线相交于点I，

∴∠BIC=180﹣°（∠IBC+∠ICB）

21．∵∠A=50°，∠C=60°

∴∠ABC=180﹣°50°﹣60°=70°，又∵AD是高，

∴∠ADC=90，°

∴∠DAC=180﹣°90°﹣∠C=30，°∵AE、BF是角平分线，

∴∠CBF=∠ABF=35，°∠EAF=25，°∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAF=5，°

∠AFB=∠C+∠CBF=60+35°=95°，°

∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25+95°°=120，°∴∠DAC=30，°∠BOA=120．°

故∠DAE=5°，∠BOA=120°．

22．

（1）∵AE是中线，

∴BE=CE=BC，

（2）∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，

（3）∵AF是高，

∴∠AFB=∠AFC=90，°

（4）S△ABC=，

S△ABE=，

120°

∵BC=2BE150°，

∴S△150ABC°=2S△ABE，

故答案为CE，BC，∠CAD，∠BAC，∠AFC，223．∵BM是△ABC的中线，

∴MA=MC，

∴C△ABM﹣C△BCM=AB+BM+MA﹣BC﹣CM﹣BM

=AB﹣BC=5﹣3=2cm．

答：

△ABM与△BCM的周长是差是2cm．

24．方法1：

由题意知：

AB+AC+BC=34，AB+AD+BD=30，

∵AB=AC，BD=BC，

∴

②×2得：

2AB+2AD+BC=60③，

③﹣①得：

2AD=26，

∴AD=13cm．

方法2：

∵AB=AC，D是中点，且AB+AC+BC=34，

∴BD=BC，AB=（AB+AC），

∴AB+BD=（AB+AC）+BC=（AB+AC+BC）=17cm（周

长的一半）．

∵AB+BD+AD=30cm，

AD=30﹣17=13cm．

25．能．

由题意知：

△ABD的周长=AB+BD+AD，

△ACD的周长=AC+CD+AD，

又因为AD是BC边上的中线，所以BD=CD．

∵△ABD的周长比△ACD的周长小5，

∴AC+CD+AD﹣（AB+BD+AD）=AC﹣AB=5．

即AC与AB的边长的差为5

26．∵AD是BC边上的中线，∴BD=DC，

∵AC=AB，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD（SSS），

∴∠ADB=∠ADC，

∵∠ADB+∠ADC=180，°

∴∠ADB=∠ADC=90，°

∴AD⊥BC．

27．错误．

因为AD虽然是线段，但不符合三角形角平分线定义，这里射线AD是∠BAC的平分线．

28．∵AD是BC边上的中线，

∴D为BC的中点，CD=BD．

∵△ADC的周长﹣△ABD的周长=5cm．

∴AC﹣AB=5cm．

又∵AB+AC=11cm，

∴AC=8cm．即AC的长度是8cm．

29．∵AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线，

∴BD=CD=2DE=4cm，

∴BE=BD+DE=6cm，

∴BC=2BD=8cm．

30．∵AD是△ABC中BC边上的中线，

∴BD=DC=BC，

∴△ABD和△ADC的周长的差=（AB+BC+AD）﹣（AC+BC+AD）=AB﹣A