焦点弦及其性质.docx

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焦点弦及其性质

焦点弦及其性质

1．抛物线焦点弦的定义：

过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点这两点间的线段叫做抛物线的焦点弦。

2．抛物线焦点弦的性质：

若抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），过抛物线的焦点F（

，0）的直线交抛物线与

A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则

1y1y2＝－p2；

2x1x2＝

；

3|AB|＝x1＋x2＋p；

4|AB|＝

（其中θ为直线的倾斜角）；

5

；

6过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为A/、B/，F抛物线的焦点，则∠A/FB/＝900；

7以弦AB为直径的圆与准线相切。

证明：

①当直线过焦点且垂直于x轴时，A（

，p）、B（

，－p），因此y1y2＝－p2成立；当直线过焦点且不与x轴垂直时，显然直线的斜率k≠0，直线AB的方程为：

y＝k（x－

）；由此的x＝

＋

；把x＝

＋

代入y2＝2px消去x得：

ky2－2py－kp2＝0，∴y1y2＝－p2②∵A（x1，y1）、B（x2，y2）两点都在抛物线y2＝2px（p＞0）上，∴y12＝2px1，y22＝2px2；两式相乘得（y1y2）2＝2px1·2px2∴p4＝4p2x1x2；从而x1x2＝

③过A、B两点作准线x＝－

的垂线，垂足分别为A/、B/，

则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA/|＋|BB/|＝x1＋

＋x2＋

＝x1＋x2＋p

④当θ＝900时，显然成立；

当θ≠900时，，则直线AB的方程为：

y＝k（x－

）；把y＝k（x－

）代入y2＝2px消去y得：

k2x2－p（k2＋2）x＋

＝0；x1＋x2＝

，x1x2＝

；|AB|＝

|x1－x2|＝

＝

＝

＝

。

⑤∵A（x1，y1）、B（x2，y2）∴

＝

＝

＝

＝

⑥过A、B两点分别作准线的线，垂足分别为A/、B/，由于点A、B是抛物线上的点，F是抛物线的焦点，根据抛物线的定义可知，|AF|＝|AA/|，|BF|＝|BB/|∴∠B/BF＝1800－2∠B/FB，∠A/AF＝1800－2∠A/FA由∵AA/∥BB/∴∠B/BF＋∠A/AF＝1800

x

y

O

A

A/

B/

B

F

⑥题图

即：

1800－2∠B/FB＋1800－2∠A/FA＝1800∴∠B/FB＋∠A/FA＝900

（7）N为线段AB的中点，过A、B、N分别作准线的垂线，

垂足分别为A/、B/、N/，

∵N为线段AB的中点，则|NN/|＝

＝

＝

∴以AB为直径的圆与准线相切。

x

y

O

A

A/

B/

B

F

⑦题图

N

N/