焦点弦及其性质.docx

1、焦点弦及其性质焦点弦及其性质1抛物线焦点弦的定义：过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点这两点间的线段叫做抛物线的焦点弦。2抛物线焦点弦的性质：若抛物线的方程为y22px（p0），过抛物线的焦点F（，0）的直线交抛物线与A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则1 y1y2p2；2 x1x2；3 |AB|x1x2p；4 |AB|（其中为直线的倾斜角）；5 ；6 过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为A/、B/，F抛物线的焦点，则A/FB/900；7 以弦AB为直径的圆与准线相切。证明：当直线过焦点且垂直于x轴时，A（，p）、B（，p），因此y1y2p2成立；当直线过焦点且不与x轴垂直时，显然直线的斜

2、率k0，直线AB的方程为：yk（x）；由此的x；把x代入y22px消去x得：ky22pykp20，y1y2p2A（x1，y1）、B（x2，y2）两点都在抛物线y22px（p0）上，y122px1，y222px2；两式相乘得(y1y2)22px12px2p44p2x1x2；从而x1x2过A、B两点作准线x的垂线，垂足分别为A/、B/，则|AB|AF|BF|AA/|BB/|x1x2x1x2p当900时，显然成立；当900时，则直线AB的方程为：yk（x）；把yk（x）代入y22px消去y得：k2x2p(k22)x0；x1x2，x1x2；|AB|x1x2|。A（x1，y1）、B（x2，y2）过A、B两点分别作准线的线，垂足分别为A/、B/， 由于点A、B是抛物线上的点，F是抛物线的焦点，根据抛物线的定义可知，|AF|AA/|，|BF|BB/|B/BF18002B/FB，A/AF18002A/FA由AA/BB/ B/BFA/AF1800xyOAA/B/BF题图 即：18002B/FB18002A/FA1800B/FBA/FA900（7）N为线段AB的中点，过A、B、N分别作准线的垂线， 垂足分别为A/、B/、N/，N为线段AB的中点，则|NN/| 以AB为直径的圆与准线相切。xyOAA/B/BF题图NN/