专题六概率与统计.docx
《专题六概率与统计.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题六概率与统计.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
专题六概率与统计
专题六概率与统计
第1讲概率
【高考真题感悟】
（2011·山东）甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女。
（1）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
（2）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率。
解
（1）甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示。
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：
（A,D）,（A,E）,（A,F）,（B,D）,（B,E）,（B,F）,（C,D）,（C,E），（C，F），共9种，从中选出的2名教师性别相同的结果为：
（A，D），（B，D），（C，E），（C，F），共4种。
所以选出的2名教师性别相同的概率为
。
（2）从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为（A,B）,（A,C）,（A,D），（A,E）,（A,F）,（B,C）,（B,D）,（B,E）,（B,F）,（C.D）,（C,E）,（C,F）,（D,E）,（D,F）,（E,F），共15种。
从中选出的2名教师来自同一学校的结果为（A,B）,（A,C）,（B.C）,（D,E）,（D,F）,（E,F）共6种。
所以选出的2名教师来自同一学校的概率为
。
【考题分析】本题考查了利用列举法计算随机事件所包含的基本事件数。
以及古典概型概率的求法等基础知识。
考查考生运用概率知识解简单实际问题的能力，题目难度中档。
【易错提醒】
（1）对选取方法理解不清，第
（1）问所选两人来自不同学校。
第
（2）问是从6人中选2人。
（2）基本事件列举不全。
致使计算错误。
（3）解题欠规范，步骤不完整。
主干知识梳理
1．随机事件
（1）必然事件；
（2）不可能事件；
（3）随机事件。
2．频率与概率的关系
概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值。
3．概率的基本性质
（1）随机事件A的概率：
O≤P（A）≤1。
（2）必然事件的概率为1。
（3）不可能事件的概率为0。
（4）如果事件A与事件B互斥，则
（5）如果事件A与事件B互为对立事件，那么
即
。
4．古典概型
（1）特点：
有限性。
等可能性。
（2）概率公式：
5．几何概型
（1）特点：
无限性。
等可能性
（2）概率公式：
热点分析突破
题型一古典概型的概率问题
【例l】新华中学高三
（1）班共有学生50名，其中男生30名、女生20名，采用分层抽样的方法选出5人参加一个座谈会。
（1）求某同学被抽到的概率以及选出的男、女同学的人数；
（2）谈会结束后，决定选出2名同学作典型发言，方法是先从5人中选出1名同学发言，发言结束后再从剩下的同学中选出1名同学发言，求选出的2名同学中恰好有1名为女同
学的概率，
思维启迪
（1）根据抽样的等概率性，总体中每个个体被抽取到的概率都是样本容量与总体容量的比值，这样即可求出某同学被抽到的概率，然后根据抽取比例计算男、女生人数；
（2）在5人中先抽取1人，再在剩下的4人中抽取1人，可以把5名学生用字母表示，列举基本事件个数，以及找出随机事件“选出的2名同学中恰好有1名为女同学”所含有的基本事件个数．
探究提高
（1）有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数．
（2）对于较复杂的题目要注意正确分类，分类时应不重不漏．
变式训练1袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．
（1）试问：
一共有多少种不同的结果？
请列出所有可能的结果；
（2）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．
题型二几何概型的概率问题
【例2】在区间[0,2]上任取两个实数a,b，则函数
在区间[-1，1]上有且仅有一个零点的概率是（）
A．
B．
C．
D．
思维启迪由于
，根据三次函数的性质可知函数
在[-1，1]上单调递增，根据函数的零点定理，实数
应满足
，由此即得实数
所满足的不等式组，把问题转化为平面上的区域面积之比。
探究提高当影响问题的是两个互不相关的连续变化的量时，可以以这两个连续变化的量分别为点的横坐标和纵坐标，这样就可把这两个连续变化的量几何化，基本事件就是平面上的区域，然后再根据随机事件的特点找到这两个变量满足的条件，即可把问题转化为平面上的区域面积之比。
变式训练2（2011·山东青岛一模）已知区域
，
若向区域
上随机投1个点，则这个点落入区域A的概率P（A）=。
题型三互斥事件、对立事件的概率
【例3】（2011·江西）某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料。
若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
（1）求此人被评为优秀的概率；
（2）求此人被评为良好及以上的概率．
探究提高求解互斥事件、对立事件的概率问题时，一要先利用条件判断所给的事件是互斥事件，还是对立事件；二要将所求事件的概率转化为互斥事件、对立事件的概率；三要准确利用互斥事件、对立事件的概率公式去计算所求事件的概率。
变式训练3（2011·广东广州模拟）现有7名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀，从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛。
（1）求C1被选中的概率；
（2）求A1和B1不全被选中的概率。
1．互斥事件与对立事件的关系：
（1）对立一定互斥，互斥未必对立；
（2）可将所求事件化为互斥事件A、B的和，再利用公式P（A+B）=P（A）+P（B）来求，也可通过对立事件公式
来求
．
2．古典概型与几何概型
古典概型
特点
①有限性②等可能性
计算公武
几何概型
特点
①无限性②等可能性
计算
公式
名师押题我来做
1．如图所示，墙上挂有一边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，以要为半径的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则此人击中阴影部分的概率是。
2．已知向量a=（2，1），b=（x，y）．
（1）若x∈{-1,0,1,2），y∈{-1,0,1），求向量a∥b的概率；
（2）若x∈[-1,2]，y∈[-1,1]，求向量a,b的夹角是钝角的概率
预测高考
押题依据几何概型是新增加的热点内容之一，有关几何概型的题目难度不大．在高考中多以小题的形式出现．
押题级别★★★★
押题依据本题以向量为背景考查概率问题，体现了在知识的交汇处出题的基本理念，突出了对考生能力的考查，且题目难度适中，故押此题．
押题级别★★★★★
第2讲统计、统计案例
【高考真题感悟】
（2011·辽宁）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙。
（1）假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率；
（2）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量（单位：
kg/hm2）如下表
品种甲
403
397
390
404
388
400
412
406
品种乙
419
403
412
418
408
423
400
413
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差，根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
附：
样本数据x1,x2,…,xn的样本方差
，其中
为样本平均数。
解
（1）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4．令事件A为“第一大块地都种植品种甲”。
从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个，分别为（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4）。
而事件A包含1个基本事件：
（1,2），所以P（A）=
。
（2）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为
（403+397+390+404+388
+400+412+406）=400，
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为
（419+403+412+418+408+423+400+413）=412，
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且品种乙的样本方差小于品种甲的样本方差，故应该选择种植品种乙。
【考题分析】本题考查了概率的求法和给定数据的平均数、方差的求法及其应用，将概率问题和统计问题综合考查，这是近年来高考对概率统计考查的一个方向，
【易错提醒】
（1）基本事件列举不全是概率常出现错误的内容之一。
（2）不会对问题进行评价，找不准参照量。
（3）平均数和方差计算不准确。
（4）解题不规范．缺少明确的结论表述。
主干知识梳理
1．统计
（1）抽样方法：
简单随机抽样、系统抽样、分层抽样
（2）利用样本频率分布估计总体分布
①频率分布表和频率分布直方图。
②总体密度曲线。
③茎叶图。
（3）用样本的数字特征估计总体的数字特征
①众数、中位数。
②平均数
。
③方差与标准差
方差
标准差
2．两个变量间的相关关系
两个变量间的相关关系中，主要是能作出散点图，了解最小二乘法的思想；能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，体会回归分析及独立性检验的基本思想。
3．独立性检验
（1）2×2列联表
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为
（x1，x2）和（x2，y2），其样本频数列联表为：
y1
y2
总计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
（其中n=a+b+c+d为样本容量）
（2）独立性检验的步骤
①提出假设；②计算K2的值；③查临界值，作出判断．
热点分类突破
题型一频率分布直方图或频率分布表问题
【例1】为普及校园安全知识，某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试，从中抽出60名学生，将其成绩分成六段[40,50）,[50,60）,…,[90,100）后，画出如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）为；平均分为。
思维启迪用样本中及格的频率估计总体的及格率，以样本的平均数估计总体的平均数，即以各组的中点值乘以各组的频率之和估计总体的平均数．
探究提高用样本估计总体时，如果已知频率分布直方图，那么就用样本在各个小组的频率估计总体在相应区间内的频率，用样本的均值估计总体的均值，根据频率分布表估计样本均值的方法是取各个小组的中点值乘以各个小组的频率之和进行的．
变式训练1．某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：
克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96,98）,[98,100）,1100,102）,[102,104）,[104,106l.已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是.
题型二茎叶图及数字特征
【例2】随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：
cm），获得身高数据的茎叶图如图所示．
（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
（2）计算甲班的样本方差；
（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高176cm的同学被抽中的概率．
思维启迪根据茎叶图读出各数据，然后根据公式计算平均值和方差．
探究提高
（1）本题考查了茎叶图的识图问题和平均数的计算，其中从茎叶图中读出数据是关键，为此，首先要弄清“茎”和“叶”分别代表什么．
（2）要熟练掌握众数、中位数、平均数、方差、标准差的计算方法，
变式训练2．为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：
00-10：
00间各自的点击量，得如图所示的统计图，根据统计图：
（1）甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？
（2）甲网站点击量在[10，40]间的频率是多少？
（3）甲、乙两个网站哪个更受欢迎？
并说明理由。
题型三线性回归方程
【例3】某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
温差x（℃）
10
11
13
12
8
发芽数y（颗）
23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是：
先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于z的线性回归方程
;
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问
（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
思维启迪
（1）问题属古典概型，可先求两组数据相邻的概率，利用对立事件的概率和为1，求出两组数据恰好是不相邻2天的概率．
（2）求线性回归方程，再验证线性回归方程的可靠性．
探究提高
（1）正确理解计算
、
的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键．
（2）在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．
变式调练3某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
2002
2004
2006
2008
2010
需求量（万吨）
235
246
257
276
286
（1）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程
;
（2）利用
（1）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量。
题型四独立性检验
【例4】通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由
附表：
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.004
K
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是（）
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
探究提高独立性检验的关键是说明两个分类变量之间是否有关，所描述的结论是我们有多大把握认为两个变量有关系，而不是说它们的相关关系有多大．
变式训练4为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下
性别
是否需要志愿者
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例．
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据
（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？
说明理由，
规律方法总结
1．用样本估计总体
（1）在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为1．
（2）众数、中位数及平均数的异同
众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．
（3）当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布；当总体容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布，以此估计总体分布，
①总体期望的估计，计算样本平均值
；
②总体方差（标准差）的估计：
方差=
，标准差=
，
方差（标准差）较小者较稳定．
2．线性回归直线方程
过样本点中心（
，
），这为求回归直线方程带来很多方便．
3．独立性检验
（1）作出2×2列联表；
（2）计算随机变量K2的观测值；
（3）查临界值，检验作答．
名师押题我来做：
1.某调查机构统计了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率
分布直方图如图所示，则新生婴儿的体重在[3.2，4．0）（kg）的有人．
2．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
（1）求x的值；
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
（3）已知y≥245，z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．
预测高考
押题依据要求考生能通过样本的分布，估计总体的分布；根据样本的特征数，估计总体的特征数．考查学生的读图能力，概括能力．
押题级别★★★★
押题依据以概率与统计相结合的解答题是高考的一个热点题型．本题考查了抽样方法、古典概型，突出了知识和能力的考查．
押题级别★★★★★
第10讲概率与统计
高考要点回扣
1、随机事件的概率
（1）随机事件的概率
0≤P（A）≤1（若事件A为必然事件，则P（A）=1，若事件A为不可能事件，则P（A）=0.
（2）古典概型
P（A）=
（其中，n为一次试验中可能出现的结果总数，m为事件A在试验中包含的基本事件个数）。
2、互斥事件有一个发生的概率
P（A+B）=P（A）+P（B）
（1）公式适合范围：
事件A与B互斥。
（2）P（
）=1-P（A）
推广：
若事件A1，A2，…An两两互斥，则P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）
3、几何概型
一般地，在几何区域D内随机地取一点，记事件“改点在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为P（A）=
。
此处D的度量不为0，其中“度量”的意义依D
确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等。
构成事件A的区域长度（面积和体积）
即
。
4．随机抽样
（1）简单随机抽样
实现简单随机抽样，主要有两种方法：
抽签法和随机数表法。
（2）系统抽样
①采用随机的方法将总体中的个体编号。
②确定分段间隔。
③在第1段用简单随机抽样确定起始的个体编号。
④按照事先确定的规则抽取样本．
（3）分层抽样
当已知总体由差异明显的几部分组成时常用分层抽样。
5．利用样本频率估计总体分布
（1）当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取的样本不同数值及相应的频率表示，其几何表示就是相应的条形图。
（2）当总体中的个体取不同数值较多时，用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布．
6．标准差和方差的关系计算
标准差的平方就是方差，方差的计算
（1）基本公式
（2）简化计算公式（Ⅰ）
，或写成
，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方。
（3）简化计算公武（Ⅱ
当一组数据中的数据较大时，可依照简化平均数的计算方法，将每个数同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据
，
，…，
，即得上述公式。
如甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位：
环）
甲
10
8
9
9
9
乙
10
10
7
9
9
如果甲、乙两人中只有1人入选，则人选的应是
自我校对
6．甲
1．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下
组别
（0,10]
（10,20]
（20,30]
（30,40]
（40,50]
（50,60]
（60,70]
频数
12
13
24
15
16
13
7
则样本数据落在（10，40]上的频率为（）
A．0．13B．0．39C．0．52D．0．64
2．（2010·福建）若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（）
A.91.5和91.5B．91.5和92C．91和91.5D．92和92
3．（2011．四川）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5,15.5）2[15,5,19.5）4[19.5,23.5）9[23.5,27.5）18[27.5,31.5）11
[31.5,35.5）12[35.5,39.5）7[39.5,43.5）3
根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5）的概率约是（）
A．
B．
c．
D．
4．（2011·浙江）从装有3个红球，2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（）
A．
B．
C．
D．
5．从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率是（）
A．
B．
C．
D．
6．（2011·天津）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人．若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为____．
7．（2011·江苏）从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是____．
8．（2011．广东）为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间
（单位：
小时）与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x
1
2
3
4
5
命中率y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
小李这5夭的平均投篮命中率为；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为.
9．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
学生
1号
2号
3号
4号
5
升级会员 