快速幂算法C语言版(超详细).doc

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快速幂取模算法

在网站上一直没有找到有关于快速幂算法的一个详细的描述和解释，这里，我给出快速幂算法的完整解释，用的是C语言，不同语言的读者只好换个位啦，毕竟读C的人较多~

所谓的快速幂，实际上是快速幂取模的缩写，简单的说，就是快速的求一个幂式的模（余）。

在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。

我们先从简单的例子入手：

求=几。

算法1.首先直接地来设计这个算法：

intans=1;

for（inti=1;i<=b;i++）

{

ans=ans*a;

}

ans=ans%c;

这个算法的时间复杂度体现在for循环中，为O（b）.这个算法存在着明显的问题，如果a和b过大，很容易就会溢出。

那么，我们先来看看第一个改进方案：

在讲这个方案之前，要先有这样一个公式：

.这个公式大家在离散数学或者数论当中应该学过，不过这里为了方便大家的阅读，还是给出证明：

引理1：

上面公式为下面公式的引理，即积的取余等于取余的积的取余。

证明了以上的公式以后，我们可以先让a关于c取余，这样可以大大减少a的大小，

于是不用思考的进行了改进：

算法2：

intans=1;

a=a%c;//加上这一句

for（inti=1;i<=b;i++）

{

ans=ans*a;

}

ans=ans%c;

聪明的读者应该可以想到，既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变，那么新算得的ans也可以进行取余，所以得到比较良好的改进版本。

算法3：

intans=1;

a=a%c;//加上这一句

for（inti=1;i<=b;i++）

{

ans=（ans*a）%c;//这里再取了一次余

}

ans=ans%c;

这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O（b），不过已经好很多的，但是在c过大的条件下，还是很有可能超时，所以，我们推出以下的快速幂算法。

快速幂算法依赖于以下明显的公式，我就不证明了。

我们可以看到，如果我们在上式中把a=amodc;改成a=（a*a）modc;便可以把时间复杂度变成O（b/2）,当然，这样子治标不治本，但是，如果我们每次都把a平方一次取余，便可以显著减少要运算的次数，即进行以下的迭代：

形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。

于是便可以在O（logb）的时间内完成了。

于是，有了最终的算法：

快速幂算法。

算法4：

快速幂算法

intans=1;

a=a%c;

while（b>0）

{

if（b%2==1）

ans=（ans*a）%c;

b=b/2;

a=（a*a）%c;

}

将上述的代码结构化，也就是写成函数：

intPowerMod（inta,intb,intc）

{

intans=1;

a=a%c;

while（b>0）

{

if（b%2==1）

ans=（ans*a）%c;

b=b/2;

a=（a*a）%c;

}

returnans;

}

本算法的时间复杂度为O（logb），能在几乎所有的程序设计（竞赛）过程中通过，是目前最常用的算法之一。

以下内容仅供参考：

扩展：

有关于快速幂的算法的推导，还可以从另一个角度来想。

=？

求解这个问题，我们也可以从进制转换来考虑：

将10进制的b转化成2进制的表达式：

那么，实际上，.

所以

注意此处的要么为0，要么为1，如果某一项，那么这一项就是1，这个对应了上面算法过程中b是偶数的情况，为1对应了b是奇数的情况（不要搞反了哦，读者自己好好分析，可以联系10进制转2进制的方法），我们先计算依次到中的项。

计算后一项的结果时用前一项的结果的平方取余，为0项时ans不用再算，为1项时要乘以此项再取余。

这个算法和上面的算法在本质上是一样的，读者可以自行分析，这里我说不多说了，希望本文有助于读者掌握快速幂算法的知识点，当然，要真正的掌握，不多练习是不行的。

By夜せ︱深