三年高考各地文科数学高考真题分类汇总椭圆.docx
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三年高考各地文科数学高考真题分类汇总椭圆
椭圆
1.（2019全国1文12）已知椭圆C的焦点为
F1（1,0）,F2（1,0），过F2的直线与C交于A，B
C的方程为
两点.若|AF2|2|F2B|，|AB||BF1|，则
2
x2
A．y1
2
22
xy
B．1
32
2
C．x
4
2
x
D．
5
2y214
2.（2019全国II文9）若抛物线y2=2px
p>0）的焦点是椭圆
2
x
3p
1的一个焦点，则
p=
A．2B．3C．4D．
Ⅰ）求椭圆C的方程；
为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:
（x1）2y24a2
22
5.（2019浙江15）已知椭圆xy1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若
95
线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是.
2
by21（ab0）的两个焦点，P为C上
围.
Ⅰ）求椭圆的离心率；
直线l相切，圆心C在直线x4上，且OC∥AP，求椭圆的方程
PF2F160，则C的离心率为
2x6.（2019全国II文20）已知F1,F2是椭圆C:
2a
一点，O为坐标原点．
1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
则当m=___时，点B横坐标的绝对值最大．
1
16．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（3,），焦点2
F1（3,0）,F2（3,0），圆O的直径为F1F2．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于A,B两点．若△OAB的面积为26，求直线l的方程．7
4
3
AB的中点为M（1,m）（m
0）．
1
（1）证明：
k；
2
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且
uuurFP
uuur
FA
uuurFB0
．证明：
uuuruuuruuur2|FP||FA||FB|．
18．（2018北京）已知椭圆M
2
x:
2
a
2by21（ab
b
0）的离心率为
6，焦距为22．斜
3
率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点
A，
B．
22
xy
17．（2018全国卷Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：
1交于A，B两点．线段
（1）求椭圆M的方程；
（2）若k1，求|AB|的最大值；
（3）设P（2,0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交
71
点为D．若C，D和点Q（,）共线，求k．
42
22xy
19．（2018天津）设椭圆221（ab0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离ab
心率为5，|AB|13．
3
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l:
ykx（k0）与椭圆交于P,Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M
均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．
2
x2
20．（2017新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：
y21上，过M做x轴
2
uuuruuuur
的垂线，垂足为N，点P满足NP2NM．
（1）求点P的轨迹方程；
uuuruuur
（2）设点Q在直线x3上，且OPPQ1．证明：
过点P且垂直于OQ的直线l过
C的左焦点F．
22
xy
21．（2017天津）已知椭圆221（ab0）的左焦点为F（c,0），右顶点为A，点Eab
的坐标为（0,c），
b2
△EFA的面积为b．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
3
（Ⅱ）设点Q在线段AE上，|FQ|c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N2
在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．
（i）求直线FP的斜率；
（ii）求椭圆的方程．
x2y222．（2017山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:
221（ab0）的离心率ab
2
为2，椭圆C截直线y1所得线段的长度为22．
2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）动直线l：
ykxm（m0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M
关于O的对称点，eN的半径为|NO|．设D为AB的中点，DE，DF与eN分别相切于点E，F，求EDF的最小值．
23．（2017北京）已知椭圆C的两个顶点分别为A（2,0），B（2,0），焦点在x轴上，离心
率为3．
2（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作
AM的垂线交BN于点E．求证：
BDE与BDN的面积之比为4:
5．
2224．（2017江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：
x2y21（ab0）的左、a2b2
1右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位
于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
答案
1.如图所示，设BF2
x，则AF22x，所以BF2
AB3x.
由椭圆定义BF1BF22a，即4x2a.
又AF1AF22a4x，AF22x，所以AF12x.
因此点A为椭圆的上顶点，设其坐标为0,b.
由AF22BF2可得点B的坐标为32,
2
2.解析：
由题意可得：
3ppp，解得p8．故选D．
2
3.解析（I）由题意得，b2=1，c=1．所以a2=b2+c2=2．
2
所以椭圆C的方程为xy21．
2
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
y11
则直线AP的方程为y1x1．
x1
令y=0，得点M的横坐标xMy11
同理，|ON||kx22t1|．
ykxt,
所以|OM|
|ON||kx1x1t1||kx2x2t1
|x1x2|
|22|
k2x1x2k（t1）x1x2（t1）2
k212t2k22k（t1）（
12k2
2t22
12k2
4kt2）（t
12k2
|
1）2
2|11tt|．
又|OM||ON|2，
所以2|1t|2．
1t
解得t=0，所以直线l为y
kx，
所以直线
l恒过定点（0，0）．
4.解析
（1）设椭圆C的焦距为
2c.
因为F1（-1，0），F2（1，0），所以
F1F2=2，c=1.
5
又因为DF1=25，AF2⊥x轴，所以
DF2=DF12F1F2
2（52）22232，
因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.
由b2=a2-c2，得b2=3.
2因此，椭圆C的标准方程为x
4
2
y21.
3
2）解法一：
由
（1）知，椭圆
2
C：
x2
4
2
y21，
3
a=2，
因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为
1.
将x=1代入圆F2的方程（x-1）2+y2=16，
解得
y=±4.
因为点A在x轴上方，所以A（1，4）.
y
2x
1）2
2
2y
，得5x2
16
6x
11
由
（x
解得
x
1或
x
11
5.
将x
11代入y
2x2，得
y
12
5
5
11
12
因此
B（
）
.又F2（1，0），
所以直线
又F1（-1，0），所以直线AF1：
y=2x+2.
0，
BF2：
y
3
34（x
1）.
1）
，得7x26x130，解得x1或x
1
又因为
E是线段BF2与椭圆的交点，所以x1.
将x
3
1代入y（x1），得y
4
因此E（1,
32）.
2x解法二：
由
（1）知，椭圆C：
4
1.如图所示，
因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，
从而∠BF1E=∠B.
因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，
所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.
联结
因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.
x1
因为F1（-1，0），由x2y2，得
1
43
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以
3因此E（1,3）.
2
5.解析：
设椭圆的右焦点为F，连接PF，
线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆，
连接AO，可得PF
2AO4，
2
设P的坐标为（m,n），可得3m
3
4，可得m
15，
2
由F（2,0），可得直线PF的斜率为
15
215．
32
2
6.解：
（1）连结PF1，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，F1PF290，PF2
c，
PF1
是2a
PF1
PF2（31）c，故C的离心率是e
2）
1
由题意可知，满足条件的点P（x,y）存在当且仅当|y|2c16，
2
c31.
a
yy
xcxc
1，
2
x
2
a
y2
b2
1，即c|y|16，
c2，②
2
x
2
a
2yb2
1，
由②③及
b2
c2得y2
b42，又由①知yc
162，故
4.
由②③得
2
a
2
c
2222
c2b2，所以c2b2，从而
b2
2b2
32,故a42.
所以b4，
42时，存在满足条件的点P.a的取值范围为[42,）.
7.解析（Ⅰ）设椭圆的半焦距为
c，由已知有3a
2
2b，又由a2
22
b2c2，消去b得
322，ac，
2
解得c
a
所以，
椭圆的离心率为
由（Ⅰ）知，a2c，
2
b3c，故椭圆方程为x2
4c2
2
y
3c2
1.
3由题意，Fc,0，则直线l的方程为y（xc）.
4
22
x2y21，
22
点P的坐标满足4c3c
3，y（xc），
4
3因为点P在x轴上方，所以Pc,c
2
因为OC∥AP，且由（Ⅰ）知A2c,0
，故t
4
3
c
2，解得t2.
c2c
因为圆C与x轴相切，所以圆的半径为
2，
又由圆
3
34（4c）2
2
3
1
4
C与l相切，得
2，可得
2
y21.
12
c2.
x2
所以，椭圆的方程为
16
8.解析
设M（m,n），m,n0，椭圆
2
C：
C:
x
36
2
y1的a
20
6，
b25，c2，
32，由于M为C上一点且在第一象限，可得
|MF1||MF2|，
△MF1F2为等腰三角形，可能
|MF1|2c或|MF2|
2c，
2
即有6m8，即
3
2
6m8，即m
3
n15；舍去．可得M（3,15）.
9.C【解析】不妨设a
0，因为椭圆C的一个焦点为（2，0），所以c
2，
所以a2b2c2
448，所以C的离心率为ec2．故选C．a2
10．
D【解析】由题设知F1PF290o，
PF2F1
60，|F1F2|2c，
11．
12．
13．
14．
15．
所以|PF2|c，
所以（31）c
C【解析】
离之和为
B【解析】
A【解析】
由题意
|PF1|3c．由椭圆的定义得
2a，故椭圆C的离心率e
a25，
2a25，故选
2
由题意可知a2
|PF1||PF2|2a，即3cc2a，
c2a31
31．故选D．
a5．由椭圆的定义可知，
P到该椭圆的两个焦点的距
C．
9，b2
4，∴c2
a2
b2
5，∴离心率
c5
ea3，
以线段A1A2为直径的圆是
所以圆心到直线的距离
222即a23a2c2
A【解析】当0
则atan60ob
要使C上存在点
2a2
3，
M满足
x2
a2
直线
bxay2ab
0与圆相切，
2ab
a2b2
，整理为
3b2，
2
3c，即c2a
焦点在
36，故选A．
3
x轴上，要使
C上存在点
3，得0m1；当m
AMB120o，则a
b
tan60o
M满足AMB120o，
3，焦点在y轴上，
3，即m
3，
得m9，故m的取值范围为（0,1]U[9,
），
uuur
5【解析】设A（x1,y1），B（x2,y2），由AP
uuur
2PB，得
x1
y1
2x2
2（y2
1）
即x1
2x2，y132y2．因为点A，B在椭圆上，所以
4x22
4
2
x22
4
（3
2
y2
x2）2
m
，得
1
y2m
4
所以当m
32，所以x22
4
5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为
2
m（32y2）2
12
m
4
2．
1（m
4
5）2
16．【解析】
（1）因为椭圆C的焦点为F1（3,0）,F2（3,0），
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
因为x0,y00，所以x02,y01．
因此，点P的坐标为（2,1）．
设A（x1,y1）,B（x2,y2），
所以
AB2
2
16（x022）
3429，即
2x04
45x02100
0，
y
B
P
F1O
F1O
F2x
2A
2222
综上，直线l的方程为y5x32．
17．【解析】
（1）设A（x1,y1），B（x2,y2），则x41y311，x42y321．4343
两式相减，并由y1y2k得x1x2y1y2k0．
x1x243
由题设知x1x21，y1y2m，
22
3
于是k3．①
4m31由题设得0m3，故k1．
22
（2）由题意得F（1,0），设P（x3,y3），则
（x31,y3）（x11,y1）（x21,y2）（0,0）．
由
（1）及题设得x33（x1x2）1，y3（y1y2）2m0．
于是
uuur
|FA|
（x1
22
1）2y12
（x1
1）2
2
3（1x41）
2x21
同理
uuur|FB|
2x2
2
uuur
uuur
1
所以
|FA|
|FB|
412（x1
x2）
3．
uuur
uuur
uuur
故2
|FP|
|FA|
|FB|
18．【解析】
（1）由题意得2c22，所以c2，
6
6，所以a
3
3，所以b2
1，
所以椭圆
M的标准方程为
y21．
（2）设直线AB的方程为y
m，
yxm由x2y2
3y2
消去y可得4x26mx
1
2
3m
0，
则36m2
44（3m23）48
12m20，即
m24，
设A（x1,y1），
B（x2,y2），则x1x2
3m
2，x1x2
3m23
4
则|AB|1k2|x1x2|1k2（
x2
x1x2）24x1x2
64m2，
2，
易得当m20时，|AB|max6，故|AB|的最大值为6
（3）设A（x1,y1），B（x2,y2），C（x3,y3），D（x4,y4），
则x12
3y12
3①，
2
x2
3y22
3②，
又P（
2,0），
所以可设
k1
y1
x12
，直线PA的方程为
yk1（x2），
y
由x2
3
k1（x
2）
消去
1
y可得（1
3k12）x2
12k12x12k12
0，
则x1
x3
12k122，即x3
13k123
12k12
3k12
x1，
又k1
y1
x12
，代入①式可得
x3
7x1
4x17
12，所以y3
y1，
4x17
所以C（
7x112
4x1
y1），同理可得
4x17
D（7x212
y2
4x274x27）．
uuur
故QC（x3
1uuur
y3），QD（x4
44
71
4,y44），
因为Q,C,D三点共线，所以（x37）（y41）
3444
71
（x474）（y341）0，
将点C,D的坐标代入化简可得y1y2
1，即
1．
x1x2
19．【解析】
（1）设椭圆的焦距为2c，由已知得
2
c
2
a
5，
9
又由a2b2c2，可得2a3b.
由|AB|a2b213，从而a3,b
2．
22
所以，椭圆的方程为xy1．
94
（2）设点P的坐标为（x1,y1），点M的坐标为（x2,y2）
，由题意，x2x1
0，
点Q的坐标为（x1,y1）.由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，
可得|PM|=2|PQ|，从而x2x12[x1（x1）]，即x25x1．
易知直线AB的方程为2x3y6，由方程组
2x3yykx,
6,
消去y，
可得x2
6
3k
2
由x2
5x1，可得
解得k
8，
9
或
当k
8时，
9
x2
当k
1时，
2
x2
所以，
k的值为
20．【解析】
k
由方程组
9k24
uuur由NP
0，
12，
x1
2
x
9
y
2
y
41,消去y，可得
kx,
x1
6
9k2
5（3k2），两边平方，整理得
不合题意，舍去；
12，符合题意．
5
uuur
1）设P（x,y）,M（x0,y0）,则N（x0,0），NP（x
uuuur
2NM得
2x0x，y02y．
22
因为M（x0,y0）在C上，所以xy
18k2
x0,y），
25k80，
uuuur
NM（0.y0）．
因此点P的轨迹方程为x2y22．
（2）
由题意知
F（
1,0）
．设Q（
3,t）
，P（m,n），则
uuur
uuur
uuuruuur
OQ
（3,t），
PF
（
1m,
n），
OQPF33mtn，
uuur
uuur
OP
（m,n），
PQ
（
3m,t
n），
uu
uruuur
m2tn
2n
22
1，又由
（1）知m2n22，
由O
PQ1
得3m
故3
3mtn
0．
uuuruuuruuuruuur
所以OQPF0，即OQPF．又过点P存在唯一直线垂直与OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
又由b2a2c2，可得2c2aca20，即2e2e10．
1又因为0e1，解得e1．
2
1所以，椭圆的离心率为1．
2
1（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为xmyc（m0），则直线FP的斜率为1．
m由（Ⅰ）知a2c，可得直线AE的方程为xy1，即x2y2c0，与直线
2ccFP的方程联立，可解得x（2m2）c,y3c，
m2m2
即点Q的坐标为（（2m2）c,3c）．
m2m2
由已知|FQ|=3c，有[（2m2）cc]2（3c）2（3c）2，整理得3m24m0，
2m2m2243所以m，即直线FP的斜率为．
34
22
ii）由a2c，可得b3c，故椭圆方程可以表示为
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