关于整数矩阵初等变换的一些应用.docx

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关于整数矩阵初等变换的一些应用关于整数矩阵初等变换的一些应用关于整数矩阵初等变换的一些应用宾客市兴宾区第二中学黄加望【摘要】：

本文要紧介绍在整数环Z及整系数多项式环Zx利用整数矩阵的初等变换来求出整数的最大公因数及的最大公因式并利用整数矩阵初等变换求解线性不定方程的方式。

【关键词】：

整数矩阵;矩阵初等变换;最大公因数（式）;线性不定方程引言整数矩阵除具有一样数域F上的矩阵的一些一起的性质如：

矩阵的加法、乘法等性质外它还具有不同于F上的矩阵的性质，例如，在F上的矩阵A只需要A的行列式不等于零，A即为可逆的，但在整数矩阵里，A可逆当且仅当A的行列式等于1。

另外，二者的初等变换也是不尽相同。

本文将在前人的基础上利用整数矩阵的初等变换来解决一些问题，在这一进程中需要用到的相关知识均是从参考文献1-5而得。

为了方便起见，下文中所提到的矩阵均指整数矩阵。

一、整数矩阵的概念第1页/共10页由单位矩阵通过一次初等变换的矩阵称为初等矩阵，那么与单位矩阵相应的初等矩阵为：

第2页/共10页结论1：

对一的矩阵A作一次初等行变换就相当于在A左侧乘以相应的初等阵，对A作一次初等列变换就相当于在A右边乘以相应的初等阵。

（由整数矩阵的乘法概念即可得。

）结论2：

矩阵A可逆的充要条件是A能够表示成一系列初等阵的乘积。

二、性质及应用引理1设可逆，那么A可通过系列整变换化为对角形。

引理2任一模方阵A必与形如的矩阵相似，其中。

1、利用初等变换求整数的最大公因数第3页/共10页第3页/共10页解：

作矩阵A，并对A作初等列变换：

第4页/共10页例2求115，570，935的最大公因数并表成其线性组合。

2、利用初等变换求整系数多项式的最大公因式第5页/共10页解：

作矩阵,并对实施初等列变换第6页/共10页从上所述来看，利用矩阵的初等变换能较方便快捷地求出各个多项式的最大公因式及最大公因式由原多项式组成的表达式。

3、利用初等变换解线性不定方程第7页/共10页例4求四元不定方程的所有整数解。

解：

作（n+1）n矩阵A，并对A作初等列变换第8页/共10页第9页/共10页参考文献：

1张禾瑞郝柄新高等代数M高等教育出版社1999年第四版，P194、P197。

2刘文斌可逆整数阵的一种标准形及其应用J高等数学研究2003年9月，P40-P42。

3华罗庚数论导引M第十四章整数矩阵及其应用,P40八、P416。

4黄朝军矩阵初等变换的一个应用J黔东南民族高等专科学校学报2004年12月，22卷第6期。

5陈碧琴矩阵初等变换在数论中的两个应用J云南师范大学学报（自然科学版）2004年9月，第24卷。