把区间S,如分成〃个小区间，各小区间的长度依次为AX.=Xi-Xi-yM=1,2,…），在各小区间上任取一点后（£6［x_!
x］）>作乘积=1,2,.・・）并作和S= 记久=max{ATi,
虹1
仪,…,a,},如果不论对［a,b］怎样的分法，也不论在小区间［X...X］上点&怎样的取法，只要当4-0时，和S总趋于确定的极限/，我们称这个极限/为函数/（x）在区间［彩］上的定积分，记为
Cf（x）dx=I=limX/（5）皿
（1）
4 <=1
3. 无穷限的反常积分
设函数/（对在［a,+8）的任何有限子区间上可积，则">a,定积分口Sdx存在。
现把上限3看作变量，考虑积分上限的函数F（b）=fjMdx，则当b-+8时，F（b）可能有极限，也可能没有极限。
为了将这种情况以一般的数学形式表达出来，可借用定积分的记号，引入如下的形式记号：
睥町并把它称为/（x）在无穷区间S,+8）上的反常积分（improperintegral）o
设函数/（x）在（a,+00）的任何有限子区间上可积，如果极限对gdx存在，则称反常积分fjMdx收敛，并把此极限称为反常积分f?
Mdx的值，即有J^fMdx=nrnjT7（x）dxc如果上式表示的极限不存在，则称反常积分f?
Wdx发散。
类似可定义其他形式的反常积分。
二、结合电气学习定积分
电容器作为电气工程应用中的基本元件，具有存储电荷的功能。
对于具有定常电容值C的电容器，其两端所加电压与电容器所存储的电荷的关系为：
mq=Cvo当电容器存储的电荷发生变化时就意味着有电流流动。
从而i=岑。
由此可得电容器中电压与电流at
的基本关系式：
i=C半。
因此，电容器两端的电荷（电压）与电流at
的关系为微积分关系。
已知电荷（电压）变化规律时，通过微分运算，便可得到电流，反之，已知电流时，通过积分运算，可得到电荷（电压"给定时间内电荷（电压）的变化，可通过这段时间内对流过电容器的电流的定积分来求解。
对于定常电流，积分对应矩形面积，很容易计算，而对任意变化的电流，必须借助定积分理论的有关思路和方法进行求解。
一电容值为IOuF的电容器，初值为零，流过典型的整流后的电流（图2）时，求取其上电压的变化规律。
整流后的电流在半周期上的表达式为正弦函数：
»（0=Asin314r,其中A为电流幅值，这里设为100mA。
上述电容的基本电气量关系表明，电容器中累计的电荷量就是对电流积分，对应的就是电流曲线和横坐标在给定时间段的面积。
当起始时间为零，上限时间为变量t时，电荷为一上限函数。
得到电荷量后，电压只需除以常数C。
对于半周期之内，电压可通过下式得到：
v（t）=*/Asincordr=31.85（1—cos314z）（V）
（2）
对于半周期苴后的情景，蚓借助MATLAB进行数值计算。
图2流过电容器的电流曲线
电感是电气工程应用中的另一个基本元件，具有存储磁场能的作用。
对于具有定常电感值L的器件，其线圈所通过的电流与该电流所建立的磁链的关系为：
＜P=Lio当电感中存储的磁链发生变化时就意味着有感应电动势产生。
从而v=摩。
由此可得电感元件中电压与电流的基本关系式：
v=£＜。
因此，电感元件两端的磁at
链（电流）与电压的关系为微积分关系。
已知磁链（电流）变化规律时，通过微分运算，便可得到电压量,反之，已知电压量时.通过积分运算，可得到磁链（电流）。
给定时间内磁链（电流）的变化，可通过这段时间内对加在线圈上的电压的定积分来求解。
对于定常电压，积分对应矩形面积，很容易计算。
而对任意变化的电压，必须借助定积分理论的有关思路和方法进行求解。
超导线圈可被用做储能设备（SMES），在电气工程中具有广阔应用前景。
SMES中所存储的能量与电流的关系式为：
）因此，可通过调节SMES线圈中电流的大小，调节其储能的多少。
而电流的变化规律可通过对电压的定积分运算获得。
一电感值为1H的SMES线圈，初值为零，若加在其上的电压为典型的全波整流后的电压（图3）时，求取SMES^线圈中储能的变化规律。
整流后的电压在半周期上的表达式为正弦函数：
v（r）=Vsin314r,其中V为电压幅值，这里设为100V,
上述电感元件的基本电气量关系表明，电感中累计的磁链量就
图3加在电感线圈上的电压曲线
是对电压的积分,对应的就是电压曲线和横坐标在给定时间段的面积。
当起始时间为零，上限时间为变量t时，磁链为一上限函数，得到磁链量后，除以常数L便得到电流量，然后根据SMES储能关系式、uf得到储能的变化规律。
对于半周期之内，储能可通过下式得到：
£（/）=yZ,i2=2^/Vsincordr=0.05（1—cos314/）2（J）⑶对于半周期以后的情景，可借助MATLAB进行数值计算图4所示电路包括一个储能元件，称为一阶电路。
m开关k合上后，电容器开始充电。
充电电流的变化规律符合一阶电路中电流的变化规律，如F式所示：
i（t）= >0 （4）
即，i（t）依据指数规律衰减，+8时，电流衰减到零“因此，电容器中存储的电荷为电流的反常积分。
定义为：
=f=CE（\-e （5）
显然，该反常积分血敛，~+8,q=CE。
事实上,该一阶电路充电的最终结果必然是电容电压与电源电压相等。
通过电容器的电压电荷关系同样町以得到上述结论。
学生通过该示例，可对反常积分的实际应用有更具体的认识。
图4包含电容器件的一阶电路示例
三、电气工程应用示例在MATLAB中的实现
MATLAB是一种集数学计算、分析、可视化、算法开发与发布等于一体的软件平台，网通过MATLAB及相关工具箱,可以在统一的平台下完成相应的科学计算工作。
01984年mathwcrks公司推出以来，MATLAB已广泛应用于电气、自动化、汽车、电子、仪器仪表和通汛等领域与行业。
本文结合定积分在电气T.程中的实际应用，在simulink环境下建立相关模型，通过MATLAB仿真计算定积分。
图5为例1在MATLAB中建立的基于数学描述的模型，模型利用SineWave及Abs模块产生典型的整流后的电流，由Integrator模块对整流后的电流积分，通过增益Gain最终形成电容器两端的电压波形。
利用示波器Sspel观察波形。
SineWaveAbsIntegratorGain
图5例1在MATLAB中的仿真模型
设仿真时间为0.03秒，运行仿真模型.即图5所示的电路，通过积分模块计算后得到电容器两端的电压波形如图6所示。
通过对比可以发现，图6的波形与式
（2）的描述完全一致由于论文篇幅所限，学生自己也可自行将上一节中的其余两个示例在MATLAB中实现。
四、结论
本文针对电气「.程类学生学习定积分理论及其应用的实际需求，结合电气T.程的具体应用示例，展示了定积分的概念及其应用（下转第172页）
2
图2三相电压型桥式逆变电路仿真电路
（4） 在Measurements模块库中选择电流测景:
模块（CurrentMeasurement）和万用表模块（Multimeter）,万用表模块中选择测量值分别为三相交流输出A相的相电压，A、B相间的线电压和A相的相电流3个测量参数。
（5） 在Simulink模型库中的信号与系统模块库中选择信号合成与信号分解模块，选择输入数量为6、输出数量为3;在仪器仪表模块库中选择示波器，在常用标签页选择坐标系数为4、仿真时间为0.0001s,在数据历史标签页中，勾选保存数据到工作区；在信号源模块库中选择6个脉冲发生器，设置参数分别为：
幅值IV、周期0.02s,脉冲宽度50%,相位依次延迟0.02/6so
（6） 设置仿真时长为0.08s,采用变步长算法“de23tb（stiff/TR-BDF2）求解，其他参数采用默认值。
三、仿真结果分析
仿真结果如图3所示,4个波形自上而下分别为三相交流输出A、B相间的线电压、A相的相电压、A相的相电流和输入直流侧的电流。
从波形可以看出，输出三相交流相电压和线电压均为阶梯波,周期为0.02s,相电流波形也不是正弦波，其形状和相位与负载有关，直流输入电流在0.02s内脉动6次。
可见仿真结果与课本结论一致。
Simulink提供的Powergui具有很强大的功能，利用Powergui可以
图3三相电压型桥式逆变电路仿真波形
（上接第166页）
图6电容器两端的电压
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