单元测验第11章 全等三角形历年中考真题参考答案与试题解析.docx

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单元测验第11章全等三角形历年中考真题参考答案与试题解析

【单元测验】第11章全等三角形

一、选择题（共10小题）

1．（2008•潍坊）如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（　　）

A．

AB=BF

B．

AE=ED

C．

AD=DC

D．

∠ABE=∠DFE

2．（2001•湖州）根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（　　）

A．

AB=3，BC=4，AC=8

B．

AB=4，BC=3，∠A=30°

C．

∠A=60°，∠B=45°，AB=4

D．

∠C=90°，AB=6

3．（2006•贵港）已知：

如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：

AC=

：

，则△ABD与△ACD的面积之比为（　　）

A．

3：

2

B．

：

C．

2：

3

D．

：

4．（2008•新疆）如图，△ABC中BC边上的高为h1，△DEF中DE边上的高为h2，下列结论正确的是（　　）

A．

h1＞h2

B．

h1＜h2

C．

h1=h2

D．

无法确定

5．（2000•天津）如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（　　）

A．

全部正确

B．

仅①和②正确

C．

仅①正确

D．

仅①和③正确

6．（2005•乌兰察布）如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上．下列条件中不能推出AB=AB′的是（　　）

A．

BB′⊥AC

B．

BC=B′C

C．

∠ACB=∠ACB′

D．

∠ABC=∠AB′C

7．（2005•威海）在△ABC和△FED中，已知∠C=∠D，∠B=∠E，要判定这两个三角形全等，还需要条件（　　）

A．

AB=ED

B．

AB=FD

C．

AC=FD

D．

∠A=∠F

8．（2009•临沂）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（　　）

A．

PA=PB

B．

PO平分∠APB

C．

OA=OB

D．

AB垂直平分OP

9．（2008•鄂州）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（　　）

A．

B．

4

C．

D．

5

10．（2006•十堰）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：

①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（　　）

A．

4个

B．

3个

C．

2个

D．

1个

二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）

11．（2007•哈尔滨）如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果PC=6，那么PD等于　_________　．

12．（2001•黑龙江）已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边上的中线长x的取值范围是　_________　．

13．（2004•常州）有两块同样大小且含角60°的三角板，把它们相等的边拼在一起（两块三角板不重叠），可以拼出　_________　个四边形．

14．（2004•河南）到一个三角形三条边所在直线等距离的点有　_________　个．

15．（2005•天津）如图，OA=OB，OC=OD，∠O=60°，∠C=25°，则∠BED等于　_________　度．

16．（2007•南宁）如图是用七巧板拼成的一艘帆船，其中全等的三角形共有　_________　对．

17．（2011•资阳）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=　_________　度．

18．（2001•宁夏）如图所示，已知AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，那么图中的全等三角形共有　_________　对．

19．（2006•中山）如图，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=　_________　度．

20．（2005•荆门）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3=　_________　度．

三、解答填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）

21．已知：

如图，CD平分∠ACB，BF是△ABC的高，若∠A=80°，∠ABC=50°，则∠BMC=　_________　．

22．附加题：

如图，∠1=∠2，AB=CD，BC=5cm，则AD=　_________　cm．

23．如图，△ABC≌△DEF，∠A=25°，∠B=65°，BF=3cm，∠DFE=　_________　，EC=　_________　cm．

24．如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，则△ABC的面积是　_________　cm2．

25．如图，△ABC≌△ADE，∠B=40°，∠E=30°，∠BAE=80°，则∠BAC=　_________　、∠DAC=　_________　．

26．附加题：

如图△ABC≌△DBC，∠A=110°则∠D=　_________　．

27．如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，则∠DFB=　_________　，∠DGB=　_________　．

28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC边于点E、若BE=2，∠B=22.5°．则：

AE=　_________　、AC=　_________　，∠AEC=　_________　．

29．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，

（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=　_________　；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=　_________　；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=　_________　；

（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=　_________　（用含α的式子表示）．

30．实践与探索！

如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，根据下列条件，求∠BIC的度数，

①若∠ABC=40°，∠ACB=60°，则∠BIC=　_________　；

②若∠ABC+∠ACB=80°，则∠BIC=　_________　；

③若∠A=120°，则∠BIC=　_________　．

四、解答题（共1小题）（选答题，不自动判卷）

31．在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流．

原问题：

如图1，已知△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系．

小慧同学的思路是：

过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．

小东同学说：

我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60度．

小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．

请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：

（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；

（2）如图2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原问题中的其他条件不变，你在

（1）中得到的结论是否发生变化？

请写出你的猜想并加以证明；

（3）如图3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在

（1）中得到的结论是否发生变化？

请写出你的猜想并加以证明．

【单元测验】第11章全等三角形

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题）

1．（2008•潍坊）如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（　　）

A．

AB=BF

B．

AE=ED

C．

AD=DC

D．

∠ABE=∠DFE

考点：

全等三角形的判定与性质。

247101

分析：

从已知条件思考，利用角平分线的性质，结合平行线的性质，可得很多结论，然后与选项进行逐个比对，答案可得．

解答：

解：

∵∠BAD+∠ABD=90°，∠ABD+∠C=90°

∴∠BAD=∠C（同角的余角相等）

又∵EF∥AC

∴∠BFE=∠C

∴∠BAD=∠BFE

又∵BE平分∠ABC

∴∠ABE=∠FBE

∴∠BEF=∠AEB，

在△ABE与△FBE中，

∵

∴△ABE≌△FBE

∴AB=BF．

故选A．

点评：

此题考查角平分线的定义，平行线的性质，同角的余角相等，三角形全等的判定等知识点．

2．（2001•湖州）根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（　　）

A．

AB=3，BC=4，AC=8

B．

AB=4，BC=3，∠A=30°

C．

∠A=60°，∠B=45°，AB=4

D．

∠C=90°，AB=6

考点：

全等三角形的判定。

247101

专题：

作图题。

分析：

要满足唯一画出△ABC，就要求选项给出的条件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的图形不一样，也就是三角形不唯一，而各选项中只有C选项符合ASA，是满足题目要求的，于是答案可得．

解答：

解：

A、因为AB+BC＜AC，所以这三边不能构成三角形；

B、因为∠A不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度；

C、已知两角可得到第三个角的度数，已知一边，则可以根据ASA来画一个三角形；

D、只有一个角和一个边无法根据此作出一个三角形．

故选C．

点评：

此题主要考查了全等三角形的判定及三角形的作图方法等知识点；能画出唯一三角形的条件一定要满足三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的三角形不确定，当然不唯一．

3．（2006•贵港）已知：

如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：

AC=

：

，则△ABD与△ACD的面积之比为（　　）

A．

3：

2

B．

：

C．

2：

3

D．

：

考点：

角平分线的性质。

247101

分析：

利用角平分线的性质可知点D到AB、AC的距离相等，即两三角形的高相等，观察△ABD与△ACD，面积比即为已知AB、AC的比，答案可得．

解答：

解：

∵AD是△ABC的角平分线，

∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，

又∵AB：

AC=

：

，

则△ABD与△ACD的面积之比为

：

．

故选B．

点评：

本题考查了角平分线的性质；此题的关键是根据角平分线的性质，求得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即△ABD边AB上的高与△ACD边AC上的高相等．

4．（2008•新疆）如图，△ABC中BC边上的高为h1，△DEF中DE边上的高为h2，下列结论正确的是（　　）

A．

h1＞h2

B．

h1＜h2

C．

h1=h2

D．

无法确定

考点：

全等三角形的判定与性质。

247101

分析：

本题可通过构建全等三角形进行求解．过点A作AM⊥BC交BC于点M，过点F作FN⊥DE交DE的延长线于点N，则有AM=h1，FN=h2；因此只要证明△AMC≌△FNE，即可得出h1=h2．

解答：

解：

过点A作AM⊥BC交BC于点M，过点F作FN⊥DE交DE的延长线于点N，则有AM=h1，FN=h2；

在△AMC和△FNE中，

∵AM⊥BC，FN⊥DE，

∴∠AMC=∠FNE；

∵∠FED=115°，

∴∠FEN=65°=∠ACB；

∵又AC=FE，

∴△AMC≌△FNE；

∴AM=FN，

∴h1=h2．

故选C．

点评：

本题主要考查了全等三角形的判定几性质；做题中通过作辅助线构造了全等三角形是解决本题的关键，也是一种很重要的方法，要注意学习、掌握．

5．（2000•天津）如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（　　）

A．

全部正确

B．

仅①和②正确

C．

仅①正确

D．

仅①和③正确

考点：

角平分线的性质；全等三角形的判定与性质。

247101

分析：

判定线段相等的方法可以由全等三角形对应边相等得出；判定两条直线平行，可以由“同位角相等，两直线平行”或“内错角相等，两直线平行”或“同旁内角互补，两直线平行”得出；判定全等三角形可以由SSS、SAS、ASA、AAS或HL得出．

解答：

解：

∵PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，AP=AP

∴△ARP≌△ASP（HL）

∴AS=AR，∠RAP=∠SAP

∵AQ=PQ

∴∠QPA=∠SAP

∴∠RAP=∠QPA

∴QP∥AR

而在△BPR和△QSP中，只满足∠BRP=∠QSP=90°和PR=PS，找不到第3个条件，所以无法得出△BPR≌△QSP

故本题仅①和②正确．

故选B．

点评：

本题涉及到全等三角形的判定和角平分线的判定，需要结合已知条件，求出全等三角形或角平分线，从而判定三个选项的正确与否．

6．（2005•乌兰察布）如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上．下列条件中不能推出AB=AB′的是（　　）

A．

BB′⊥AC

B．

BC=B′C

C．

∠ACB=∠ACB′

D．

∠ABC=∠AB′C

考点：

角平分线的性质。

247101

分析：

根据已知条件结合三角形全等的判定方法，验证各选项提交的条件是否能证△ABC≌△AB′C即可．

解答：

解：

如图：

∵AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，

A：

若BB′⊥AC，

在△ABC与△AB′C中，∠BAC=∠B′AC，AC=AC，∠ACB=∠ACB′，

∴△ABC≌△AB′C，

AB=AB′；

B：

若BC=B′C，不能证明△ABC≌△AB′C，即不能证明AB=AB′；

C：

若∠ACB=∠ACB′，则在△ABC与△AB'C中，∠BAC=∠B′AC，AC=AC，△ABC≌△AB′C，AB=AB′；

D：

若∠ABC=∠AB′C，则∠ACB=∠ACB′∠BAC=∠B′AC，AC=AC，△ABC≌△AB′C，AB=AB′．

故选B．

点评：

本题考查的是三角形角平分线的性质及三角形全等的判定；做题时要结合已知条件在图形上的位置对选项逐个验证．

7．（2005•威海）在△ABC和△FED中，已知∠C=∠D，∠B=∠E，要判定这两个三角形全等，还需要条件（　　）

A．

AB=ED

B．

AB=FD

C．

AC=FD

D．

∠A=∠F

考点：

全等三角形的判定。

247101

分析：

考查三角形全等的判定定理，有AAS，SSS，SAS，ASA四种．根据题目给出的两个已知条件，要证明△ABC≌△FED，需要已知一对对应边相等即可．

解答：

解：

∵∠C=∠D，∠B=∠E，

说明：

点C与D，B与E，A与F是对应顶点，

AB的对应边应是FD，

根据三角形全等的判定，当AC=FD时，有△ABC≌△FED．

故选C．

点评：

本题考查了全等三角形的判断方法；一般三角形全等判定的条件必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等，要找准对应边是解决本题的关键．

8．（2009•临沂）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（　　）

A．

PA=PB

B．

PO平分∠APB

C．

OA=OB

D．

AB垂直平分OP

考点：

角平分线的性质。

247101

分析：

本题要从已知条件OP平分∠AOB入手，利用角平分线的性质，对各选项逐个验证，选项D是错误的，虽然垂直，但不一定平分OP．

解答：

解：

∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB

∴PA=PB

∴△OPA≌△OPB

∴∠APO=∠BPO，OA=OB

∴A、B、C项正确

设PO与AB相交于E

∵OA=OB，∠AOP=∠BOP，OE=OE

∴△AOE≌△BOE

∴∠AEO=∠BEO=90°

∴OP垂直AB

而不能得到AB平分OP

故D不成立

故选D．

点评：

本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到△OPA≌△OPB，进而求得△AOE≌△BOE是解决的关键．

9．（2008•鄂州）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（　　）

A．

B．

4

C．

D．

5

考点：

全等三角形的判定与性质。

247101

分析：

由∠ABC=45°，AD是高，得出BD=AD后，证△ADC≌△BDH后求解．

解答：

解：

∵∠ABC=45°，AD⊥BC，

∴AD=BD，∠ADC=∠BDH，∠AHE=∠BHD=∠C，

∴△ADC≌△BDH，

∴BH=AC=4．

故选B．

点评：

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、SSA、HL．由∠ABC=45°，AD是高，得出BD=AD是正确解答本题的关键．

10．（2006•十堰）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：

①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（　　）

A．

4个

B．

3个

C．

2个

D．

1个

考点：

全等三角形的判定。

247101

分析：

∠1=∠2，∠BAC=∠EAD，AC=AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或夹已知角的另一边．

解答：

解：

∠1=∠2，AC=AD，

加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；

加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；

加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；

加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．

故选B．

点评：

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、SSA、HL．做题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加．

二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）

11．（2007•哈尔滨）如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果PC=6，那么PD等于　3　．

考点：

角平分线的性质。

247101

分析：

根据角平分线的性质，角平分线上的点到两角的距离相等，因而过P作PE⊥OA于点E，则PD=PE，因为PC∥OB，得角相等，而OP平分∠AOB，得∴∠ECP=∠COP+∠OPC=30°根据三角形的外角的性质得到答案．

解答：

解：

过P作PE⊥OA于点E，则PD=PE，

∵PC∥OB

∴∠OPC=∠POD

∵OP平分∠AOB，∠AOB=30

∴∠OPC=∠COP=15°

∴∠ECP=∠COP+∠OPC=30°

在Rt△ECP中，PE=

PC=3

∴PD=PE=3．

点评：

本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等．

12．（2001•黑龙江）已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边上的中线长x的取值范围是　1＜x＜6　．

考点：

三角形三边关系；全等三角形的判定与性质。

247101

分析：

根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．

解答：

解：

如图所示，AB=5，AC=7，

设BC=2a，AD=x，

延长AD至E，使AD=DE，

在△BDE与△CDA中，

∵AD=DE，BD=CD，∠ADC=∠BDE，

∴△BDE≌△CDA，

∴AE=2x，BE=AC=7，

在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，即7﹣5＜2x＜7+5，

∴1＜x＜6．

故答案为：

1＜x＜6．

点评：

有关三角形的中线问题，通常要倍数延长三角形的中线，把三角形的一边变换到与另一边和中线的两倍组成三角形，再根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．

13．（2004•常州）有两块同样大小且含角60°的三角板，把它们相等的边拼在一起（两块三角板不重叠），可以拼出　4　个四边形．

考点：

全等三角形的性质；多边形。

247101

分析：

此题利用三角板动手拼一拼便知，是个动手操作的题目．

解答：

解：

当斜边拼在一起时，可以拼出两个四边形，一个矩形和其他的四边形

每组相等的直角边拼在一起时都能拼出两个平行四边形，所以应该是4个．

点评：

此题主要考查动手操作能力，动手操作简单方便，是一较好的方法，做题时注意应用．

14．（2004•河南）到一个三角形三条边所在直线等距离的点有　4　个．

考点：

角平分线的性质。

247101

分析：

要求满足条件的点的个数，要结合根据角平分线的性质找，但要注意包括三个外角，共4个点．

解答：

解：

如图，∵HD平分∠EHF

∴DE=DF

∵JD平分∠GJF

所以DG=DF，故DE=DG

同理，在1号、2号、3号区域内也可各找到到一个三角形三条边所在直线等距离的点，所以共有四个点．

到一个三角形三条边所在直线等距离的点有4个．

点评：

本题考查了角平分线的性质；根据角平分线的性质解答，本题值得注意的是思考要全面，不能漏掉外角的情况．

15．（2005•天津）如图，OA=OB，OC=OD，∠O=60°，∠C=25°，则∠BED等于　70　度．

考点：

全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理。

247101

分析：

利用已知条件证明△OAD≌△OBC，再根据全等三角形的性质就得到∠D=∠C，然后就可以求出．

解答：

解：

∵OA=OB，OC=OD，∠O=60°，

∴△OAD≌△OBC，

∴∠D=∠C=25°，