初中数学竞赛专题辅导代数式的求值.docx
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初中数学竞赛专题辅导代数式的求值
初中数学竞赛专题辅导代数式的求值
代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切.许多代数式是先化简再求值,特别是有附加条件的代数式求值问题,往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等,经过恒等变形,把代数式中隐含的条件显现出来,化简,进而求值.因此,求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法.下面结合例题逐一介绍.
1.利用因式分解方法求值
因式分解是重要的一种代数恒等变形,在代数式化简求值中,经常被采用.
分析x的值是通过一个一元二次方程给出的,若解出x后,再求值,将会很麻烦.我们可以先将所求的代数式变形,看一看能否利用已知条件.
解已知条件可变形为3x2+3x-1=0,所以
6x4+15x3+10x2
=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1
=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1
=0+1=1.
说明在求代数式的值时,若已知的是一个或几个代数式的值,这时要尽可能避免解方程(或方程组),而要将所要求值的代数式适当变形,再将已知的代数式的值整体代入,会使问题得到简捷的解答.
例2已知a,b,c为实数,且满足下式:
a2+b2+c2=1,①
求a+b+c的值.
解将②式因式分解变形如下
即
所以
a+b+c=0或bc+ac+ab=0.
若bc+ac+ab=0,则
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)
=a2+b2+c2=1,
所以a+b+c=±1.所以a+b+c的值为0,1,-1.
说明本题也可以用如下方法对②式变形:
即
前一解法是加一项,再减去一项;这个解法是将3拆成1+1+1,最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式.
2.利用乘法公式求值
例3已知x+y=m,x3+y3=n,m≠0,求x2+y2的值.
解因为x+y=m,所以
m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy,
所以
求x2+6xy+y2的值.
分析将x,y的值直接代入计算较繁,观察发现,已知中x,y的值正好是一对共轭无理数,所以很容易计算出x+y与xy的值,由此得到以下解法.
解x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy
=(x+y)2+4xy
3.设参数法与换元法求值
如果代数式字母较多,式子较繁,为了使求值简便,有时可增设一些参数(也叫辅助未知数),以便沟通数量关系,这叫作设参数法.有时也可把代数式中某一部分式子,用另外的一个字母来替换,这叫换元法.
分析本题的已知条件是以连比形式出现,可引入参数k,用它表示连比的比值,以便把它们分割成几个等式.
x=(a-b)k,y=(b-c)k,z=(c-a)k.
所以
x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.
u+v+w=1,①
由②有
把①两边平方得
u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1,
所以u2+v2+w2=1,
即
两边平方有
所以
4.利用非负数的性质求值
若几个非负数的和为零,则每个非负数都为零,这个性质在代数式求值中经常被使用.
例8若x2-4x+|3x-y|=-4,求yx的值.
分析与解x,y的值均未知,而题目却只给了一个方程,似乎无法求值,但仔细挖掘题中的隐含条件可知,可以利用非负数的性质求解.
因为x2-4x+|3x-y|=-4,所以
x2-4x+4+|3x-y|=0,
即(x-2)2+|3x-y|=0.
所以yx=62=36.
例9未知数x,y满足
(x2+y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0,其中m,n表示非零已知数,求x,y的值.
分析与解两个未知数,一个方程,对方程左边的代数式进行恒等变形,经过配方之后,看是否能化成非负数和为零的形式.
将已知等式变形为
m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0,
(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0,即(mx-y)2+(my-n)2=0.
5.利用分式、根式的性质求值
分式与根式的化简求值问题,内容相当丰富,因此设有专门讲座介绍,这里只分别举一个例子略做说明.
例10已知xyzt=1,求下面代数式的值:
分析直接通分是笨拙的解法,可以利用条件将某些项的形式变一变.
解根据分式的基本性质,分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子,分式的值不变.利用已知条件,可将前三个分式的分母变为与第四个相同.
同理
分析计算时应注意观察式子的特点,若先分母有理化,计算反而复杂.因为这样一来,原式的对称性就被破坏了.这里所言的对称性是
分利用这种对称性,或称之为整齐性,来简化我们的计算.
同样(但请注意算术根!
)
将①,②代入原式有
练习六
2.已知x+y=a,x2+y2=b2,求x4+y4的值.
3.已知a-b+c=3,a2+b2+c2=29,a3+b3+c3=45,求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值.
5.设a+b+c=3m,求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值.
8.已知13x2-6xy+y2-4x+1=0,求(x+y)13·x10的值.