浅论微积分在经济分析中的应用.docx

浅论微积分在经济分析中的应用.docx

《浅论微积分在经济分析中的应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浅论微积分在经济分析中的应用.docx（4页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

浅论微积分在经济分析中的应用

浅论微积分在经济分析中的应用

　　摘要：

微积分作为数学知识的基础,是学习经济学的必备知识,着重讨论了微积分在经济学中最基本的一些应用，计算边际成本、边际收入、边际利润并解释其经济意义,寻求最小生产成本或制定获得最大利润的一系列策略。

关键词：

微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值

　　1导数在经济分析中的应用

　　边际分析在经济分析中的的应用

　　边际需求与边际供给

　　设需求函数Q=f在点p处可导，则其边际函数Q’=f’（p）称为边际需求函数，简称边际需求。

类似地，若供给函数Q=Q（P）可导，则其边际函数Q=Q（p）称为边际供给函数，简称边际供给。

　　边际成本函数

　　总成本函数C=C（Q）=C0+C1（Q）；平均成本函数=（Q）=C（Q）Q；边际成本函数C’=C’（Q）．C’（Q0）称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：

当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C’’（Q0）个单位。

　　边际收益函数

　　总收益函数R=R（Q）；平均收益函数=（Q）；边际收益函数R’=R’（Q）．

　　R’（Q0）称为当商品销售量为Q0时的边际收益。

其经济意义为：

当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R’（Q0）个单位。

　　边际利润函数

　　利润函数L=L（Q）=R（Q）-C（Q）;平均利润函数;=（Q）边际利润函数L’=L’（Q）=R’（Q）-C’（Q）.L’（Q0）称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：

当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L’（Q0）个单位。

　　例1某企业每月生产Q产品的总成本C是产量Q的函数，C（Q）=Q2-10Q+20。

如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。

　　解：

每月生产Q吨产品的总收入函数为：

　　R=20Q

　　L=R-C=20Q-

　　=-Q2+30Q-20

　　L’（Q）=（-Q2+30Q-20）’=-2Q+30

　　则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为

　　L’（10）=-2×10+30=10；

　　L’（15）=-2×15+30=0；

　　L’（20）=-2×20+30=-10；

　　以上结果表明：

当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。

　　显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？

　　弹性在经济分析中的应用

　　弹性函数

　　设函数y=f（x）在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f（x+Δx）-f（x）y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx→0时的极限称为函数y=f（x）在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。

记为EyEx•EyEx=limδx→0

　　ΔyyΔxx=limδx→0ΔyΔx．xy=f’（x）xf（x）

　　在点x=x0处，弹性函数值Ef（x0）Ex=f’（x0）xf（x0）称为f在点x=x0处的弹性值，简称弹性。

EExf（x0）%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f近似地改变EExf（x0）%。

　　需求弹性

　　经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。

　　对于需求函数Q=f（或P=P），由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f（p）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η（p）=-f’（p）pf（p）

　　例2设某商品的需求函数为Q=e-p5，求

（1）需求弹性函数；

（2）P=3,P=5,P=6时的需求弹性。

　　解：

（1）η（p）=-f’（p）pf（p）=-（-15）e-p5.pe-p5=p5；

（2）η（3）=35=;η（5）=55=1;η（6）=65=

　　η（3）=，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。

　　η（5）=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。

η（6）=，说明当P=6时，价格上涨1%，需求减少%，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。

　　收益弹性

　　收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即

　　R=PQ=Pf（p）

　　R’=f（p）+pf’（p）=f（p）（1+f’（p）pf（p））=f（p）（1-η）

　　所以，收益弹性为EREP=R’（P）.PR（P）=f（p）（1-η）ppf（p）=1-η

　　这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：

在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。

　　若η1，则EREP0价格上涨1%，收益增加（1-η）%；

　　若η1，则EREP0价格上涨1%，收益减少|1-η|%；

　　若η=1，则EREP=0价格变动1%，收益不变。

　　最大值与最小值在经济问题中的应用

　　最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。

下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。

　　最低成本问题

　　例3设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c（x）=mx3-nx2+px，，问每批生产多少单位时，使平均成本最小？

求最小平均成本和相应的边际成本。

　　解：

平均成本（X）=C（x）x=mx2-nx+p，C’=2mx-n

　　令C’，得x=n2m，而C’’（x）=2m0。

所以，每批生产n2m个单位时，平均成本最小。

　　（n2m）=m（n2m）2-n（n2m）+p=（4mp-n

　　24m），又C’（x）=3mx2-2nx+p，C’（n2m）=3m（n2m）2-2m（n2m）+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。

　　最大利润问题

　　例4设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-Q1000，假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？

最大利润是多少？

　　解：

产品的总成本函数C（Q）=60000+20Q

　　收益函数R（Q）=pQ=（60-Q1000）Q=60Q-Q21000

　　则利润函数L（Q）=R（Q）-C（Q）=-Q21000+40Q-60000

　　L’（Q）=-1500Q+40,令Ｌ’（Q）=0得Q=20000

　　∵L’’（Q）=-15000∴Q=2000时L最大，L=340000元

　　所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。

　　2积分在经济中的应用

　　在经济管理中，由边际函数求总函数，一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。

　　例5设生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C0=1000元，产品单价规定为500元。

假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？

并求出最大利润。

　　解:

总成本函数为

　　C（x）=∫x0（100+2t）dt+C（0）=100x+x2+1000

　　总收益函数为R（x）=500x

　　总利润L（x）=R（x）-C（x）=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因为L’’（200）0。

所以，生产量为200单位时，利润最大。

最大利润为L（200）=400×200-2002-1000=39000。

　　在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。

　　综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。

将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。

因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。

　　参考文献

　　［1］聂洪珍,朱玉芳.高等数学微积分［Ｍ］.北京：

中国对外经济贸易出版社，2003,.