全国I卷届高三五省优创名校联考 数学理.docx

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全国I卷届高三五省优创名校联考数学理

2018—2019年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考

数学（理科）

第Ⅰ卷

一、选择题：

本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U＝R，集合M＝{x|3x2－13x－10＜0}和N＝{x|x＝2k，k∈Z}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有

A．1个

B．2个

C．3个

D．无穷个

2．

A．－4

B．4

C．－4i

D．4i

3．如图1为某省2018年1～4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是

A．2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件

B．2018年1～4月的业务量同比增长率均超过50％，在3月最高

C．从两图来看，2018年1～4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致

D．从1～4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长

4．设x，y满足约束条件

，则

的取值范围是

A．（－∞，－8]∪[1，＋∞）

B．（－∞，－10]∪[－1，＋∞）

C．[－8，1]

D．[－10，－1]

5．某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为

A．

B．64－4π

C．64－6π

D．64－8π

6．有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是

A．i＜6

B．i＜7

C．i＜8

D．i＜9

7．在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：

（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为

A．

B．

C．

D．

8．已知f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）＝f（x）－x，且当x∈（－∞，0]时，g（x）单调递增，则不等式f（2x－1）－f（x＋2）≥x－3的解集为

A．（3，＋∞）

B．[3，＋∞）

C．（－∞，3]

D．（－∞，3）

9．函数f（x）＝ln|x|＋x2－x的图象大致为

A．

B．

C．

D．

10．用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为

A．

B．

C．

D．

11．已知函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），

，对任意x∈R恒有

，且在区间（

，

）上有且只有一个x1使f（x1）＝3，则ω的最大值为

A．

B．

C．

D．

12．设函数f（x）在定义域（0，＋∞）上是单调函数，且

，f[f（x）－ex＋x]＝e．若不等式f（x）＋f′（x）≥ax对x∈（0，＋∞）恒成立，则a的取值范围是

A．（－∞，e－2]

B．（－∞，e－1]

C．（－∞，2e－3]

D．（－∞，2e－1]

第Ⅱ卷

二、填空题：

本大题共4小题．将答案填在答题卡中的横线上．

13．已知单位向量a，b的夹角为60°，则

．

14．已知正三棱柱ABC—A1B1C1的高为6，AB＝4，点D为棱BB1的中点，则四棱锥C—A1ABD的表面积是________．

15．在（x2－2x－3）4的展开式中，含x6的项的系数是________．

16．已知双曲线C：

（a＞0，b＞0），圆M：

．若双曲线C的一条渐近线与圆M相切，则当

取得最大值时，C的实轴长为________．

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题．

17．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，且Sn＝nan＋1－n2－n．

（1）求{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足

，求{bn}的前n项和Tn．

18．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知

．

（1）求B的大小；

（2）若b＝8，a＞c，且△ABC的面积为

，求a．

19．如图所示，在四棱锥S—ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝AS＝2，AB＝1，CD＝3，且

．

（1）若

，证明：

BE⊥CD；

（2）若

，求直线BE与平面SBD所成角的正弦值．

20．在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：

（x－2）2＋y2＝1外切，且圆P与直线x＝－1相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的轨迹方程；

（2）设过定点S（－2，0）的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问：

在曲线C上是否存在点M（与A，B两点相异），当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

21．已知函数f（x）＝ex＋ax2，g（x）＝x＋blnx．若曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线与曲线y＝g（x）在点（1，g

（1））处的切线相交于点（0，1）．

（1）求a，b的值；

（2）求函数g（x）的最小值；

（3）证明：

当x＞0时，f（x）＋xg（x）≥（e－1）x＋1．

（二）选考题：

请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4—4：

坐标系与参数方程]

已知直线l的参数方程为

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，其左焦点F在直线l上．

（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|＋|FB|的值；

（2）求椭圆C的内接矩形面积的最大值．

23．[选修4—5：

不等式选讲]

已知函数f（x）＝|x＋2|－|ax－2|．

（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥2x＋1的解集；

（2）若不等式f（x）＞x－2对x∈（0，2）恒成立，求a的取值范围．

2018～2019年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考

数学参考答案（理科）

1．C

2．D

3．D

4．A

5．B

6．B

7．C

8．B

9．C

10．B

11．C

12．D

13．1

14．

15．12

16．

17．解：

（1）由条件知Sn＝nan＋1－n2－n，①

当n＝1时，a2－a1＝2；

当n≥2时，Sn－1＝（n－1）an－（n－1）2－（n－1），②

①－②得an＝nan＋1－（n－1）an－2n，

整理得an＋1－an＝2．

综上可知，数列{an}是首项为3、公差为2的等差数列，从而得an＝2n＋1．

（2）由

（1）得

，

所以

．

18．解：

（1）由

得

，

所以

，即

，

所以有

，

因为C∈（0，π），所以sinC＞0，所以

，

即

，所以

．

又0＜B＜π，所以

，所以

，即

．

（2）因为

，所以ac＝12．

又b2＝a2＋c2－2accosB＝（a＋c）2－3ac＝（a＋c）2－36＝64，

所以a＋c＝10，

把c＝10－a代入到ac＝12（a＞c）中，得

．

19．

（1）证明：

因为

，所以

，在线段CD上取一点F使

，连接EF，BF，则EF∥SD且DF＝1．

因为AB＝1，AB∥CD，∠ADC＝90°，

所以四边形ABFD为矩形，所以CD⊥BF．

又SA⊥平面ABCD，∠ADC＝90°，

所以SA⊥CD，AD⊥CD．

因为AD∩SA＝A，所以CD⊥平面SAD．

所以CD⊥SD，从而CD⊥EF．

因为BF∩EF＝F，所以CD⊥平面BEF．

又BE

平面BEF，所以CD⊥BE．

（2）解：

以A为原点，

的正方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系A—xyz，

则A（0，0，0），B（0，1，0），D（2，0，0），S（0，0，2），C（2，3，0），

所以

，

，

．

设n＝（x，y，z）为平面SBD的法向量，则

，

所以

，令z＝1，得n＝（1，2，1）．

设直线BE与平面SBD所成的角为θ，则

．

20．解：

（1）设P（x，y），圆P的半径为r，

因为动圆P与圆Q：

（x－2）2＋y2＝1外切，

所以

，①

又动圆P与直线x＝－1相切，所以r＝x＋1，②

由①②消去r得y2＝8x，

所以曲线C的轨迹方程为y2＝8x．

（2）假设存在曲线C上的点M满足题设条件，不妨设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），

则

，

，

，

，

，

所以

，③

显然动直线l的斜率存在且非零，设l：

x＝ty－2，

联立方程组

，消去x得y2－8ty＋16＝0，

由Δ＞0得t＞1或t＜－1，

所以y1＋y2＝8t，y1y2＝16，且y1≠y2，

代入③式得

，令

（m为常数），

整理得

，④

因为④式对任意t∈（－∞，－1）∪（1，＋∞）恒成立，

所以

，

所以

或

，即M（2，4）或M（2，－4），

即存在曲线C上的点M（2，4）或M（2，－4）满足题意．

21．

（1）解：

因为f′（x）＝ex＋2ax，

所以f′

（1）＝e＋2a，切点为（1，e＋a），

所以切线方程为y＝（e＋2a）（x－1）＋（e＋a），

因为该切线过点（0，1），所以a＝－1．

又

，g′

（1）＝1＋b，切点为（1，1），

所以切线方程为y＝（1＋b）（x－1）＋1，同理可得b＝－1．

（2）解：

由

（1）知，g（x）＝x－lnx，

，

所以当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，

所以当x＝1时，g（x）取极小值，同时也是最小值，

即g（x）min＝g

（1）＝1．

（3）证明：

由

（1）知，曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程为y＝（e－2）x＋1．

下面证明：

当x＞0时，f（x）≥（e－2）x＋1．

设h（x）＝f（x）－（e－2）x－1，则h′（x）＝ex－2x－（e－2），再设k（x）＝h′（x），则k′（x）＝ex－2，所以h′（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，＋∞）上单调递增．

又因为h′（0）＝3－e，h′

（1）＝0，0＜＜ln2＜1，所以h′（ln2）＜0，

所以存在x0∈（0，1），使得h′（x0）＝0，

所以，当x∈（0，x0）∪（1，＋∞）时，h′（x）＞0；当x∈（x0，1）时，h′（x）＜0．

故h（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增．

又因为h（0）＝h

（1）＝0，所以h（x）＝f（x）－（e－2）x－1≥0，

当且仅当x＝1时取等号，所以ex－（e－2）x－1≥x2．

由于x＞0，所以

．

又由

（2）知，x－lnx≥1，当且仅当x＝1时取等号，所以，

，

所以ex－（e－2）x－1≥x（1＋lnx），即ex－x2＋x（x－lnx）≥（e－1）x＋1，

即f（x）＋xg（x）≥（e－1）x＋1．

22．解：

（1）将

代入ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，

得x2＋3y2＝48，即

，

因为c2＝48－16＝32，所以F的坐标为（

，0），

又因为F在直线l上，所以

．

把直线l的参数方程

代入x2＋3y2＝48，

化简得t2－4t－8＝0，所以t1＋t2＝4，t1t2＝－8，

所以

．

（2）由椭圆C的方程

，可设椭圆C上在第一象限内的任意一点M的坐标为（

，4sinθ）（

），

所以内接矩形的面积

，

当

时，面积S取得最大值

．

23．解：

（1）当a＝2时，

，

当