概率论与数理统计复习资料要点总结学生.docx

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概率论与数理统计复习资料要点总结学生

《概率论与数理统计》复习资料

一、复习提纲注：

以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，仅作为复习参考之用。

考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。

1、会事件关系的运算，了解概率的古典定义

2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义

3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式

4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。

5、理解随机变量的概念，掌握离散性随机变量分布率的性质及求法,掌握（0—1）分布、二项分布、泊松分布的分布律。

6、理解分布函数的概念及性质，理解并掌握连续型随机变量的概率密度及性质。

7、掌握指数分布（参数）、均匀分布、正态分布

8、会求特殊的一维随机变量函数分布的分布律或概率密度。

9、会求分布中的待定参数。

会求区间的概率.

10、会求边缘分布律、边缘密度函数，会判别随机变量的独立性。

11、掌握二维连续型随机变量未知参数的计算,落在区域概率的计算。

12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，掌握二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，掌握二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。

13、会求二维离散型随机变量函数的分布率.

14、掌握数学期望和方差的定义及性质,会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。

会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。

15、较熟练地求协方差与相关系数.

16、会用独立正态随机变量线性组合性质解题。

17、理解总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握2分布（及性质）、t分

布、F分布及其分位点概念。

18、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。

19、掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。

20、会求单正态总体均值与方差的置信区间。

21、会求单正态总体均值的假设检验。

二、各章知识要点

第一章随机事件与概率

1．事件的关系ABABABABAAB

2．运算规则

（1）ABBAABBA

（2）（AB）CA（BC）（AB）CA（BC）

（3）（AB）C（AC）（BC）（AB）C（AC）（BC）（4）ABABABAB

3．概率P（A）满足的三条公理及性质：

（1）0P（A）1

（2）P（）1

（3）对互不相容的事件A1,A2,,An，有P（nA）nP（A）（n可以取）（可列可加性）

k1k1

性质:

（4）P（）0（5）P（A）1P（A）

（6）P（AB）P（A）P（AB），若AB，则P（BA）P（B）P（A），P（A）P（B）

（7）P（AB）P（A）P（B）P（AB），因此,P（AB）,P（A）,P（B）,P（AB）这四个概率只要知道三个,剩下一个就能够求出来.

特别的若A与B互不相容,则P（AB）=P（A）+P（B）；

若A与B独立,则P（AB）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）=1P（A）P（B）；

（8）P（ABC）P（A）P（B）P（C）P（AB）P（AC）P（BC）P（ABC）

4．古典概型：

基本事件有限且等可能

5．条件概率

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

（2）乘法公式：

P（AB）P（A|B）P（B）

若B1,B2,Bn为完备事件组，P（Bi）0，则有

3）全概率公式：

n

P（A）P（A|Bi）P（Bi）

i1

4）Bayes公式：

P（A|Bk）P（Bk）

P（Bk|A）nkk

P（A|Bi）P（Bi）

i1

7．事件的独立性：

A,B独立P（AB）P（A）P（B）（注意独立性的应用,求相互独立的多个事件的和的概率）第二章随机变量与概率分布

1．离散随机变量：

取有限或可列个值，P（Xxi）pi满足

（1）pi0，

（2）p=1

i

（3）对任意DR，P（XD）pi

i:

xiD

2．连续随机变量：

具有概率密度函数f（x），满足

（1）f（x）0,f（x）dx1；

b

2）P（aXb）af（x）dx；（3）对任意aR，P（Xa）0

3．几个常用随机变量

名称与记号

分布列或密度

数学期望

方差

P（X1）p，P（X0）q1p

0-1分布B（1,p）

或P（Xk）pkq1k,k0,1

p

pq

二项式分布B（n,p）

P（Xk）Cnkpkqnk,k0,1,2,n，

np

npq

Poisson分布P（）

k

P（Xk）e,k0,1,2,k!

均匀分布U（a,b）

1

f（x）,axb，

ab

（ba）2

ba

2

12

指数分布E（）

f（x）ex,x0

1

1

2

正态分布N（,2）

1（x）2

122

2

f（x）e

2

4．分布函数F（x）P（Xx），具有以下性质

（1）F（）0,F（）1；

（2）单调不减；（3）右连续；

（4）P（aXb）F（b）F（a），特别P（Xa）1F（a）；（5）对离散随机变量，F（x）p；

F（x）pi

i:

xix

x

（6）对连续随机变量，F（x）f（t）dt为连续函数，且在f（x）连续点上，F'（x）f（x）

分布函数F（x）是一个普通的函数，它表示随机变量落入区间（–∞，x]内的概率

5．正态分布的概率计算以（x）记标准正态分布N（0,1）的分布函数，则有

（1）（0）0.5；

（2）（x）1（x）；（3）若X~N（,2），则x~N（0,1）；

（4）以u记标准正态分布N（0,1）的上侧分位数，则P（Xu）1（u）

正态分布的概率密度具有如下性质：

1°f（x）的图形是关于x对称的；

2°当x时，f（）1为最大值；

2

3°f（x）以ox轴为渐近线。

6．随机变量的函数Yg（X）

随机变量Y是随机变量X的函数Yg（X），若X的分布函数FX（x）或密度函数fX（x）知道，则如何求出Yg（X）的分布函数FY（y）或密度函数fY（y）。

（1）X是离散型随机变量

已知X的分布列为

X

x1,x2,,xn,

P（Xxi）

p1,p2,,pn,

，若g（xi）互不相等，则Y的分布列如

fY（y）fX（g1（y））|（g1（y））'|，

x,y）时，则称为离散型随机量。

显然，Yg（X）的取值只可能是g（x1）,g（x2）,,g（xn）,Yg（x1）,g（x2）,,g（xn）,

下：

pn,

P（Yyi）p1,p2,

若有某些g（xi）相等，则应将对应的Pi相加作为g（xi）的概率。

2）X连续，g（x）在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则若不单调，先求分布函数，再求导。

第三章多维随机变量

1、二维随机变量的基本概念

1）二维离散型随机变量联合概率分布及边缘分布

如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（

理解：

（X=x,Y=y）≡（X=x∩Y=y）

设=（X，Y）的所有可能取值为（xi,yj）（i,j1,2,），且事件{=（xi,yj）}的概率为pij,,

称P{（X,Y）（xi,yj）}pij（i,j1,2,）

为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。

联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：

XY

y1

y2

yj

pi·

x1

p11

p12

p1j

p1·

x2

p21

p22

p2j

p2·

xi

pi1

pi·

p·j

p·1

p·2

p·j

1

这里pij具有下面两个性质：

（1）pij≥0（i,j=1,2,⋯）；

（2）pij1.

ij

对于随机向量（X，Y），称其分量X（或Y）的分布为（X，Y）的关于X（或Y）的边缘分布。

上表中的最后一列（或行）给出了X为离散型，并且其联合分布律为

P{（X,Y）（xi,yj）}pij（i,j1,2,），

则X的边缘分布为PiP（Xxi）pij（i,j1,2,）；

j

Y的边缘分布为PiP（Yyi）pij（i,j1,2,）。

i

（2）二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布

联合概率密度f（x,y）具有下面两个性质：

（1）f（x,y）≥0;

（2）f（x,y）dxdy1.

一般来说，当（X，Y）为连续型随机向量，并且其联合分布密度为f（x,y），则X和Y的边缘分布密度为

fX（x）f（x,y）dy，fY（y）f（x,y）dx.

注意：

联合概率分布→边缘分布，同时注意计算方法

（3）P（（X,Y）G）f（x,y）dxdy.

G

（4）常见的二维分布

①均匀分布

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。

②正态分布记为（X，Y）～N（1,2,12,22,）.

由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，反推则错。

即X～N（1,12）,Y~N（2,22）.

（5）二维随机向量联合分布函数及其性质

设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

F（x,y）P{Xx,Yy}

称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件{（1,2）|X

（1）x,Y

（2）y}的概

率为函数值的一个实值函数。

分布函数F（x,y）具有以下的基本性质：

（1）0F（x,y）1;

（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即

当x2>x1时，有F（x2,y）≥F（x1,y）;当y2>y1时，有F（x,y2）≥F（x,y1）;

（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即

F（x,y）F（x0,y）,F（x,y）F（x,y0）;

（4）F（,）F（,y）F（x,）0,F（,）1.

例3．5：

二维随机向量（X，Y）共有六个取正概率的点，它们是：

（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，

1），（3，2），并且（X，Y）取得它们的概率相同，则（X，Y）的联合分布及边缘分布为

XY

-1

0

1

2

p1·

1

1

0

0

0

1

6

6

2

1

1

0

1

1

6

6

6

2

3

0

0

1

1

1

6

6

3

p·j

1

1

1

1

1

3

6

6

3

因P（X1，Y0）0P（X1）P（Y0）11,所以X、Y不独立66

（3）连续型随机变量f（x,y）=fX（x）fY（y）联合分布→边缘分布→f（x,y）=fX（x）fY（y）

直接判断，充要条件：

①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

2

例3．7：

f（x,y）=

Axy2,0x2,0y1

0,其他

（4）二维正态分布独立等价于ρ=0（5）随机变量函数的独立性

若X与Y独立，h,g为连续函数，则：

h（X）和g（Y）独立。

例如：

若X与Y独立，则：

3X+1和5Y-2独立。

3、简单函数的分布（重点离散性）

①离散型：

②连续型两个独立的正态分布的和仍为正态分布N（12,1222）。

有限个相互独立的正态分布的线性组合仍为正态分布。

2、随机变量的独立性

例3．17：

设（X，Y）的联合分布密度为

C（xy）,

0yx1,

f（x,y）

0,

其他.

（1）

求C；

（2）

求X

，Y的边缘分布；

（3）

讨论X与Y的独立性；

（4）

计算

P（X+Y≤1）。

第四章

随机变量的数字特征

1．期望

（1）离散时E（X）xipi，E（g（X））g（xi）pi，E（g（X,Y））g（xi,yj）pij

iii,j

一般情况下，求离散函数的期望的步骤：

（1）求函数的分布律；

（2）求期望

（2）连续时E（X）xf（x）dx，E（g（X））g（x）f（x）dx；

E（g（X,Y））g（x,y）f（x,y）dxdy

连续时，求▲的期望，就拿▲与给定随机变量的概率密度相乘，再在整个实数轴或二维平面内积分。

（4）数学期望的性质

（1）E（C）=C

（2）E（CX）=CE（X）

nn

（3）E（X+Y）=E（X）+E（Y），E（CiXib）CiE（Xi）b

i1i1

（4）E（XY）=E（X）E（Y），充分条件：

X和Y独立；

充要条件：

X和Y不相关。

2．方差

（1）方差D（X）E（XE（X））2E（X2）（EX）2，标准差（X）D（X）；

D（X）[xE（X）]2f（x）dx

（2）方差的性质

（1）D（C）=0；E（C）=C

（2）D（aX）=a2D（X）；E（aX）=aE（X）

2

（3）D（aX+b）=a2D（X）；E（aX+b）=aE（X）+b

（4）D（X）=E（X2）-E2（X）

（5）D（X+Y）=D（X）+D（Y），充分条件：

X和Y独立；

充要条件：

X和Y不相关。

D（X±Y）=D（X）+D（Y）±2E[（X-E（X））（Y-E（Y））]，无条件成立。

E（X+Y）=E（X）+E（Y），无条件成立。

类似的，n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布N（,2）。

Cii，2Ci2i2

ii

3．协方差

（1）Cov（X,Y）E[（XE（X））（YE（Y））]E（XY）E（X）E（Y）；

（2）Cov（X,Y）Cov（Y,X）,Cov（aX,bY）abCov（X,Y）；

（3）Cov（X1X2,Y）Cov（X1,Y）Cov（X2,Y）；

4）Cov（X,Y）0时，称X,Y不相关，

独立不相关，反之不成立，但正态时等价；

5）D（XY）D（X）D（Y）2Cov（X,Y）

4．相关系数

XYCov（X,Y）；有|XY|1，D（X）D（Y）

与相关系数有关的几个重要结论

i）若随机变量X与Y相互独立，则XY0；反之不真。

ii）若（X，Y）～N（1,2,12,22,），则X与Y相互独立的充要条件是0，即X和Y

不相关。

iii）以下五个命题是等价的：

①XY0；②cov（X,Y）=0;③E（XY）=E（X）E（Y）;④D（X+Y）=D（X）+D（Y）;⑤D（X-Y）=D（X）+D（Y）.

5．k阶原点矩kE（Xk），k阶中心矩kE（XE（X））k

数理统计的基本概念第一节基本概念

1、总体、个体和样本

（1）总体与样本

总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）；而把总体中的每一个单元称为样品（或个体）。

在以后的讨论中，我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。

2

例如单正态总体X，用X~N（,2）来表示

我们把从总体中抽取的部分样品x1,x2,,xn称为样本。

样本中所含的样品数称为样本容量，一般

用n表示。

为了使抽取的样本很好地反映总体地信息，最常用的方法是“简单随机抽样”：

（1）代表性。

即每一样品Xi与总体X同分布；

（2）独立性。

即样品抽取互相间不影响。

此时的样本是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。

注意：

在泛指任一次抽取的结果时，x1,x2,,xn表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，

x1,x2,,xn表示n个具体的数值（样本值）。

我们称之为样本的两重性。

2）样本函数与统计量

设x1,x2,,xn为总体的一个样本，

称（x1,x2,,xn）为样本函数，其中为一个连续函数。

2、统计量

（1）常用统计量

E（X），D（X）

n其中S*21（XiX）2，为二阶中心矩。

ni1

3、三个抽样分布（χ2、t、F分布）

（1）χ2分布

设n个随机变量X1,X2,,Xn相互独立，且服从标准正态分布，它们的平方和

n

2

WXi2

i1

我们称随机变量W服从自由度为n的2分布，记为W～2（n），所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。

（2）t分布

设X，Y是两个相互独立的随机变量，且

X~N（0,1）,Y~2（n）,

函数

我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t（n）

（3）F分布

设X~2（n1）,Y~2（n2），且X与Y独立，FX/n1

Y/n2

我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f（n1,n2）.正态分布1，

t1（n）t（n），

1

F1（n1,n2）

F（n2,n1）

4、正态总体下统计量的分布和性质

1）正态分布

注意一个定理：

X与S2独立。

设x1,x2,,xn为来自正态总体N（,2）的一个样本，则样本函数

2）t-分布设x1,x2,,xn为来自正态总体N（,2）的一个样本，则样本函数

defx

t~t（n1）,

S/n

其中t（n-1）表示自由度为n-1的t分布。

22

3）2分布设x1,x2,,xn为来自正态总体N（,2）的一个样本，则样本函数

其中2（n1）表示自由度为n-1的2分布

4）F分布设x1,x2,,xn为来自正态总体N（,2）的一个样本，而y1,y2,,yn为来

2

自正态总体N（,22）的一个样本，则样本函数

defS12/12

F1212~F（n11,n21）,

S22/22

n1n2

其中S121（xix）2,S221（yiy）2;

n11i1n21i1

F（n11,n21）表示第一自由度为n11，第二自由度为n21的F分布。

第七章参数估计

1．矩估计：

（1）根据参数个数求总体的矩；

（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计

2．极大似然估计：

（1）写出极大似然函数；

（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到

（1）直接求最大值，一般为min{xi}或max{xi}）

3．估计量的评选原则

（1）无偏性：

若E（?

），则为无偏；

（2）有效性：

两个无偏估计中方差小的有效；

4．参数的区间估计（正态）

参数

条件

估计函数

置信区间

2

2已知

xu/n

[xu]

2n

2

未知

ts/n

[xt（n1）s]

2n

2

未知

2（n1）s2

2

22[（n1）s2,（n1）s2][2（n1）,12（n1）]

212

第八章：

正态总体均值的假设检验

【相关公式】

、Z-检验

设1,⋯⋯,n为取自正态总体N（μ,σ2）的一个子样，σ2=02为已知常数，

检验H0：

μ=μ0（μ0已知）（这里视H1:

μ≠μ0）

选用统计量Z=X0H~0真N（0,1）（8.1）

0/n

对给定的水平α由P|Z|z=α，查表得临界值z，确定出拒绝域为22

C={z:

zz}，其中z为（8.1）的观察值

2

二、T-检验

在实际应用中，σ2往往并不知道，我们自然想到用σ2的无偏估计Sn2代替它，便得到

t-检验法。

1,⋯⋯，n为取自总体N（μ,σ2）的子样，需检验，

H0：

μ=μ0H1:

μ≠μ0

XH0具

选用统计量TX0~t（n1）

Sn/n

（8.3）

由给定的水平，由P{|T|t（n1）}=查表定出临界值t（n1），进而确定出拒绝

22

域为C={|T|t（n1）}

2

【相关例题】1。

某批矿砂的5个样品中的镍含量，设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在含量的均值为3.25.

解：

在显著性水平=0.01下检验问题：

H0：

x3.25H1:

x3.25

检验统计量x3.252，S=0.013，0=3.25,n=5。

代入数据，得观察值：

t=X-03.2523.250.3442

S/n0.013/5

拒绝域为:

tt（n1）t0.005（4）4.6061

2

即：

t,4.6061（4.6061,）

0.34424.6061

接受H0

在=0.01的情况下可以接受假设，这批矿砂的镍含量均值为

例2某区进行数学统考，初二年级平均成绩为

学中抽取50位初二学生，测得平均数学统考成绩为

经测定（%）3.253.273.243.263.2