二次函数计算题.docx
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二次函数计算题
二次函数计算题
1在平面直角坐标系Xoy（如图）中，已知：
点A（3,0）、
B（-2，5）、C（0，-3）.
（1）求经过点A、B、C的抛物线的表达式及画出图形；
2）若点D是
（1）中求出的抛物线的顶点，求tan.CAD的值.
2
2、已知：
抛物线y=axbxc经过A（-1，8）、B（3，0）、C（0，3）三点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）写出该抛物线的顶点坐标.
3、如图，直线y=x+3与X轴、y轴分别交于点A、C,经过
+bx+C与X轴的负半轴上另一交点为B,且tan∠CBO=3.
（1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D的坐标；
（2）若点P是射线BD上一点，且以点P、A、B为顶点的三角形与厶ABC相似，求P点坐标.
一42
4、已知：
如图，抛物线yXmx4与y轴交于点C,
5
与X轴交于点A、B,（点A在点B的左侧）且满足0C=40A.
设抛物线的对称轴与X轴交于点M:
（1）求抛物线的解析式及点M的坐标；
（2）联接CM,点Q是射线CM上的一个动点，当厶QMB与厶COM相似时，求直线AQ的解析式.
5、如图，在直角坐标平面上，点A、B在X轴上（A点在B点左侧），点C在y轴正半
轴上，若A（-1,0）,OB=3OA,且tan∠CAO=2.
（1）求点B、C的坐标；
（2）求经过点A、B、C三点的抛物线解析式；
（3）P是
（2）中所求抛物线的顶点，设Q是此抛物线上一点，若△ABQ与厶ABP的面
积相等，求Q点的坐标∙iy
12
6、如图，已知抛物线y=—X+bx+c经过点B（-4,0）与点C（8,0）,且交y轴于点4
A.
（1）求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；
（2）将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移m个单位，得到新抛物线.若新抛物
线的顶点为P,联结BP,直线BP将厶ABC分割成面积相等的两个三角形，求m的值.
7、在平面直角坐标系XOy（如图）中，已知A（-1,3）、
（1）
（2）
（3）
12
Xbx4的图像上.
3
求b与n的值；
联结OA、OB、AB,求△AQB的面积；
若点P（不与点A重合）在题目中已经求出的二次函数的图像上，且NPoB=45*,求点P的坐标.
23
8、如图，抛物线y=ax-2axb经过点C（0,-？
）,
2
且与X轴交于点A、点B,若tan∠ACO=-.
3
（1）求此抛物线的解析式；
（2）
若抛物线的顶点为M,点P是线段OB上一动点（不与点B重合），/MPQ=45°，射线PQ与线段BM交于点0，当厶MPQ为等腰三角形时，求点P的坐标.
答案:
1解:
2
（1）设经过点A、B、C的抛物线的表达式为y=axbxc,
将点A（3,0）、B（一2,5）、C（0,-3）分别代入，得
∣9a3bc=0,
<4a—2b+c=5,解这个方程组，得
c=—3.
a=1,
■=b=—2,
C=—3.
1+3分
（2）由
所以，经过点A、B、C的抛物线的表达式为
y二X2「2X「3=（XY）2「4,
得顶点
D的坐标是D（1,-4）.
方法1：
AC2
3232=18
CD2
=（1-0）2
AD2
=（3-1）2
2
（04）=20.
∙∙∙AC2
CD2=182
2
=20,AD=20,∙∙∙AC
分
1+1
∙∙∙NACD=90。
.∙tanNCAD=CD=^2=1
AC3√23
2
2.解：
（1）由抛物线y=axbxc经过C（0,3）可知c=3
2分）
由抛物线y=ax+bx+3经过A（-1，8）、B（3，0）得
a（-1）2b（-1）3=8,
I2
a32b33=0.
2分）
解得9=1,
Ib=Y∙
2分）
.∙.该抛物线的表达式为
2
y=X
-4x3.
1分）
（2）由y=χ2-4x3配方得
2
y=（χ-2）-1.
2分）
（1分）
顶点坐标为（2,-1）.
3、解：
（I）：
直线y=x+3与X轴、y轴分别交于点A、C
（1分）
∙∙∙A（一3,0）,B（0,3）
CO
2分）
在Rt△ADB中，tanMCBo=3,得BO=1,B（-1,0）
BO
设二次函数解析式为y=a（x∙3）（x1）,将点B（0,3）代入，解得a=1
分）
52
P（一3'一3）.
5
综上所述，点P的坐标为（—4,—3）或（--
3
2
L）
（4分）
4.
解：
（1）根据题意：
C（0,4）
∙∙∙OC=4OA
∙A（-1,0）
1分）
1分）
把点A代入得
4
0=m4
5
1分）
解得m=16
5
1分）
4216
∙抛物线的解析式y__4x2.-6χ∙4
55
42+16+4°\2+36
yXX4=-—（x—2）
5555
∙M（2,0）（
1分）
1分）
（2）根据题意得：
BM=3,tan∠CMO=2,直线CM:
y=-2x+4
（i）当∠COM=∠MBQ=90°时，△COMQBM
若.APB=/ACB,即四边形APBC为平行四边形时，解得P（—4,-3）;
BQ
∙∙∙tan∠BMQ=2
BM
∙BQ=6
即Q（5,_6）（2分）
∙AQ:
yX-1（1分）
（ii）当∠CoM=∠BQM=90°时，△CoMs∖BQM
136
同理Q（工,-6）（2分）
55
11
•∙AQ:
yX（1分）
33
OC
5、解：
（1）据题意OA=1,RtAACO中，tan∠CAO==2（1分）
OA
•OC=2∙C（0,2）（1分）
OB=3OA=3∙B（3,0）（1分）
（2）设y=a（X1（x-3）a=O（1分）
2
C（0,2）代入得2=-3a•a=-—
3
4
-X2
3
•y=-∣（X1（χ-3）=-
（1分）
（1
分）
22
•y=-X
3
（1分）
（3）设Q（x,y）
4
-x2
3
AB=OA+OB
=4SABP
JAB
2
yp
816
•••△ABQ与厶ABP的面积相等
•SABQWABy
16
•y=」（2分）
3
当y=—时
3
8
•Q（1,
3
4
-X2
3
解得X1=X2=1
（1分）
8
当y=-时
3
-X2
3
解得x1,2=1-2・、2
•Q—1）
（2分）
6•解：
（1）由题意，得：
!
4一4b+c-0,解这个方程组，得
l16+8b+c=0
b--1
C~-8
.∙.抛物线的表达式为
1212一
VyXX-8（X-2）9∙°∙顶点坐标是（2,-9）
44
（2）易求A（0,-8）,设线段AC的中点为D,可求得点D的坐标是（4,-4）由题意知BP经过D（4，-4）
解得
设∣BP：
y=kX+b（k式0）,可得!
°=一4|＜十»
-A=4kb
∙lBP:
y=」x_2
2
又由题意知，新抛物线的解析式为y=l（x-2-m）2-5
4
∙顶点P坐标为（2+m,-5）
1
V点P在直线BP上，∙-5（2m）-2
2
∙m=4
12
7.解：
（1）V点A（-1,3）在二次函数yX2bx4的图像上,
3
122
∙3（-1）-b4.解得b.
12
yX2X4.
33
2分
33
∙经过A（-1,3）、B（2,n）两点的二次函数的解析式是
∙n_22224,即n=4.
（2）如图9-1,过点由题意，易得
•梯形ODEB的面积为：
11
S梯形ODEB（ODBE）DE44=8.
22
13ADOD,
21
=BE
2
A作AD_X轴，垂足为D,过点B作BE_AD,垂足为E.
OD=1,AD=3,BE=3,ED=4,AE=4-3=1.
yA
SADO
SAEB
2
3AEH
2
•∙SAOB
^S梯形ODEB~S.AdO~S.AEB=8-3=5.
B
33
图9--1
评分标准：
四个面积表达式，每个1分.
方法2:
与方法1类似
S梯形ADMB
OB
121
2（34）U
=1ADOD=3,
22
JBM
2
OM=4,
^S梯形ADMB
OM
ADO_
=5.
评分标准：
四个面积表达式，每个1分.
方法3：
分别求AB、AO、AB的长度，勾股逆定理证△AOB是直角三角形，使
用三角形面积公式直接求△AOB的面积.
其中，求出A^10、A^.10,O^20,1分.
勾股逆定理证△AOB是直角三角形2分
11
SAOB=一OAAB=—10.10=51分
22
方法4：
与方法1类似，证明△AOD◎△BAE.
方法5：
求直线AB与y轴的交点N的坐标，然后求
△AON、△BON的面积.
方法6：
利用锐角三角比求A到OB的距离，然后△AQB的面积.其他方法，请阅卷老师补充•
（3）
PH
OH
^tanPOH
y
图9—3
分别计算：
AO=：
；10、AB=10,OB=20,
利用勾股逆定理证△AOB是直角三角形•
由AQ=AB得到.AQB=/ABO=45.
∙.∙POB=45,P不与点A重合，
∙∙∙.AOP=∕AOB.POB=90.
过P作PH_X轴，垂足为H•
由POHAOD=90,OAD∙AOD=90
得POH=/OAD.……1分
PH=tanPOH-tanOAD=OD=1
OHAD3
1
设PH=k,贝UOH=3k,得P（3k,k）.
3
122122
将P（3k,k）代入yx2X4,得k（3k）2（3k）4.
3333
整理,得3k2_k+4=0.
8.解:
分）
分）
分）
分）
分）
分）
解这个关于k的方程，得-1,k2.得
3
经验知P2（-3,-1）不合题意，舍去•故所求的点
（1）•••抛物线yι
•b=_3
2，
2
=ax-2axb经过点C（0,
OC=3.
2
∙∙∙∠AOC=90°,
.∙.OA=2OC=1,
代入解析式，解得
所以解析式为:
tan∠ACO=-
3，
•••点A坐标为（
1
a=—
2，
12
3
y=X-X—
22
12
⑵由yX-X-
3
解得：
M（1,
2
R（—3,—1）、P2（4,3）
4
P的坐标为P（4,—）.
3
■f）,
-10）,
-2），B（3，0）.
（2分）….（1分）
过点M作MD丄X轴交于点D,
∙∙∙DM=DB=2,
∙∠OBM=45°
①当QP=QM时，
∠QPM=∠QMP=45°,∙∠PQM=90°.
又τ∠OBM=45°,∙∠MPB=90°.
•P（1,0）.（
②当PM=PQ时，
∙∙∙∠MPQ=∠OBM=45°,∠PMQ=∠BMP,
•△PMQBMP
（1分）
1分）
PD
C
M
（第24题）
a∖o
•BP=BM=2∙2
•P（3-2'.2,0）.
③当MP=MQ时,
分）
点Q与点B重合，点P与点A重合，不合题意，舍去.（1
综上所述，符合条件的点P坐标为（1,0）或（3-22,0）.
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