二次函数计算题.docx

1、二次函数计算题二次函数计算题1在平面直角坐标系 Xoy （如图）中，已知：点 A （ 3 , 0 ）、B （-2， 5 ）、C （ 0， -3）.（1）求经过点A、B、C的抛物线的表达式及画出图形；2）若点D是（1）中求出的抛物线的顶点，求 tan. CAD的值.22、已知：抛物线 y =ax bx c 经过 A（-1，8）、B（3，0）、C（0，3）三点.（1） 求抛物线的表达式；（2） 写出该抛物线的顶点坐标.3、如图，直线y= x+ 3与X轴、y轴分别交于点 A、C,经过+ bx+ C与X轴的负半轴上另一交点为 B,且tan CBO= 3.（1） 求该抛物线的解析式及抛物线的顶点 D的坐

2、标；（2） 若点P是射线BD上一点，且以点 P、A、B为顶点的 三角形与厶ABC相似，求P点坐标.一 4 24、已知：如图，抛物线 y X mx 4与y轴交于点C,5与X轴交于点A、B,(点A在点B的左侧)且满足 0C=40A.设抛物线的对称轴与 X轴交于点M :(1)求抛物线的解析式及点 M的坐标；(2)联接CM ,点Q是射线CM上的一个动点， 当厶QMB与厶COM相似时，求直线 AQ的解析式.5、如图，在直角坐标平面上，点 A、B在X轴上(A点在B点左侧)，点C在y轴正半轴上，若 A (-1,0) , OB=3OA,且 tan CAO=2.(1)求点B、C的坐标；(2)求经过点A、B、C三

3、点的抛物线解析式；(3) P是(2)中所求抛物线的顶点，设 Q是此抛物线上一点，若 ABQ与厶ABP的面积相等，求Q点的坐标 i y1 26、如图，已知抛物线 y= X +bx+c经过点B (-4, 0)与点C (8, 0),且交y轴于点 4A.(1)求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；(2)将该抛物线向上平移 4个单位，再向右平移 m个单位，得到新抛物线.若新抛物线的顶点为P,联结BP,直线BP将厶ABC分割成面积相等的两个三角形，求 m的值.7、在平面直角坐标系 XOy (如图)中，已知 A (-1 , 3 )、(1)(2)(3)1 2X bx 4的图像上.3求b与n的值；联结OA、OB

4、、AB ,求 AQB的面积；若点P (不与点A重合)在题目中已经求出的二次函数 的图像上，且 NPoB=45* ,求点P的坐标.2 38、如图，抛物线 y =ax -2ax b经过点C (0, -？),2且与X轴交于点 A、点B ,若tan ACO=-.3(1)求此抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为 M ,点P是线段OB上一动点 (不与点B重合)，/ MPQ= 45，射线 PQ与线段BM 交于点0，当厶MPQ为等腰三角形时，求点 P的坐标.答案:1解:2（1）设经过点A、B、C的抛物线的表达式为 y = ax bx c ,将点 A ( 3 , 0 )、B (一 2 , 5 )、C ( 0,

5、 - 3)分别代入，得9a 3b c = 0, 4a 2b + c = 5,解这个方程组，得c = 3.a =1,= b = 2,C = 3.1 +3分(2)由所以，经过点 A、B、C的抛物线的表达式为y 二 X22X3 = (X Y)24 ,得顶点D的坐标是D（1,-4）.方法1：AC232 32 = 18CD2=(1-0)2AD2=(3-1)22(0 4) =20. AC2CD2 =18 22= 20, AD =20 , AC分1+1NACD =90。. tanNCAD=CD = 2 = 1AC 32 322.解：（1）由抛物线 y =ax bx c经过C （0, 3）可知c = 32分)

6、由抛物线 y=ax +bx+3 经过 A（ -1，8）、B（ 3， 0）得a (-1)2 b (-1) 3 =8,I 2a 32 b 3 3 =0.2分)解得9 =1,Ib = Y2分).该抛物线的表达式为2y =X-4x 3.1分)(2)由y =2 -4x 3配方得2y=(-2) -1.2分)(1 分)顶点坐标为（2, -1）.3、解：（I）：直线y= x+ 3与X轴、y轴分别交于点 A、C(1 分) A(一3,0), B(0,3)CO2分)在 Rt ADB 中， tan MCBo= 3 ,得 BO=1 , B ( -1 , 0) BO设二次函数解析式为 y =a(x 3)(x 1),将点B

7、 (0, 3)代入，解得a=1分）5 2P( 一3 一3).5综上所述，点P的坐标为（4, 3）或（-32L)(4分)4.解：(1)根据题意：C ( 0, 4) OC=4OA A ( -1 , 0) 1分)1分)把点A代入得40= m 451分)解得m= 1651分)42 16抛物线的解析式y _ _4x2 .-6 4 5542+16+ 4 2 +36y X X 4 = - (x2)55 5 5 M (2,0) (1分)1分)(2)根据题意得：BM=3 , tan CMO= 2 ,直线 CM : y= -2x+4(i)当 COM= MBQ=90 时， COM QBM若.APB =/ACB ,即

8、四边形APBC为平行四边形时，解得 P（ 4,- 3）;BQ tan BMQ= 2BM BQ=6即 Q （5, _6） （ 2 分） AQ : y X -1 （ 1 分）（i i）当 CoM= BQM=90 时， CoM s BQM13 6同理Q （工,-6） （ 2分）5 511 AQ : y X （ 1 分）33OC5、解：（1）据题意 OA=1, RtA ACO 中，tan CAO= =2 （1 分）OA OC=2 C （0,2） （1 分）OB=3OA=3 B （3,0） （1 分）（2）设 y = a （X 1 （x - 3） a = O （1 分）2C （0,2）代入得 2=-3a

9、 a =-34-X 23 y =-（ X 1（-3）=-（1 分）（1分)2 2 y =- X3（1 分）（3）设 Q （x,y）4-x 23AB=OA+OB=4 SABPJAB2yp8 16 ABQ与厶ABP的面积相等 SABQWAB y16 y=（2 分）3当y=时38 Q （1,34-X 23解得 X1 = X2 =1（1 分）8当y=- 时3-X 23解得 x1,2 =1 -2、2Q 1）（2 分）6解：(1)由题意，得：!4一4b+c-0,解这个方程组，得l16+8b+c = 0b- -1C -8.抛物线的表达式为1 2 1 2 一V y X X - 8 (X - 2) 9 顶点坐标

10、是(2, - 9)44(2)易求A (0, - 8),设线段AC的中点为D,可求得点D的坐标是(4, - 4) 由题意知BP经过D( 4，-4),解得设 BP ： y = kX + b(k 式 0),可得! = 一4|十-A= 4k b lBP:y =x_22又由题意知，新抛物线的解析式为 y =l(x-2-m)2 -54顶点P坐标为(2+m, - 5)1V点P在直线BP上， -5 (2 m) -22 m = 41 27.解：(1) V点A (-1 , 3 )在二次函数y X2 bx 4的图像上,31 2 2 3 (-1) -b 4.解得 b .1 2y X2 X 4.3 3 2分3 3经过A

11、(-1,3 )、B( 2 , n)两点的二次函数的解析式是 n _ 22 2 2 4,即 n =4.(2)如图9-1,过点 由题意，易得梯形ODEB的面积为：1 1S梯形ODEB (OD BE) DE 4 4=8.2 213 AD OD ,2 1=BE2A作AD _ X轴，垂足为D ,过点B作BE _ AD ,垂足为E .OD =1, AD =3 , BE =3, ED =4 , AE =4-3=1.yASADOSAEB23 AE H2 S AOB S 梯形 ODEB S.AdO S.AEB = 8 - 3 = 5.B3 3图 9-1评分标准：四个面积表达式，每个 1分.方法2:与方法1类似S

12、梯形ADMBOB1 212(3 4)U= 1AD OD =3 ,2 2JBM2OM =4 , S梯形ADMBOMADO _=5.评分标准：四个面积表达式，每个 1分.方法3：分别求AB、AO、AB的长度，勾股逆定理证 AOB是直角三角形，使用三角形面积公式直接求 AOB的面积.其中，求出 A 10、A .10 , O 20 , 1 分.勾股逆定理证 AOB是直角三角形 2分1 1S AOB=一OA AB = 10 .10 =5 1 分22方法4：与方法1类似，证明 AOD BAE.方法5：求直线AB与y轴的交点N的坐标，然后求 AON、 BON 的面积.方法6：利用锐角三角比求 A到OB的距离

13、，然后 AQB的面积. 其他方法，请阅卷老师补充(3)PHOHta n POHy图93分别计算：AO = ：；10、AB =10, OB = 20 ,利用勾股逆定理证 AOB是直角三角形由 AQ=AB 得到.AQB= /ABO = 45 . POB =45 , P不与点A重合， . AOP =AOB . POB =90 .过P作PH _ X轴，垂足为H 由 POH AOD =90 , OAD AOD =90得 POH =/OAD . 1分PH = tan POH -tan OAD=OD =1OH AD 31,设 PH =k ,贝U OH =3k ,得 P(3k,k).31 2 2 1 2 2将

14、 P(3k,k)代入 y x2 X 4 ,得 k (3k)2 (3k) 4 .33 3 3整理,得 3k2 _k +4 =0.8.解:分）分）分）分）分）分）解这个关于k的方程，得-1, k2 .得3经验知P2（ -3,-1）不合题意，舍去故所求的点(1) 抛物线y b= _32，2=ax - 2ax b 经过点 C (0,OC= 3.2 AOC=90 ,. OA=2OC=1 ,代入解析式，解得所以解析式为:tan ACO=-3，点A坐标为（1a=2，1 23y = X -X 2 21 2由y X-X-3解得：M ( 1,2R(3, 1)、P2(4,3)4P的坐标为P(4, ).3f),-1 0),-2），B（3，0）.( 2 分) .(1分)过点M作MD丄X轴交于点D, DM=DB =2, OBM =45 当QP=QM时， QPM= QMP =45 , PQM =90 .又 OBM =45 , MPB =90.P (1, 0). (当PM=PQ时， MPQ= OBM =45 , PMQ= BMP, PMQBMP(1 分)1分)P DCM(第 24 题)ao BP= BM = 2 2 P ( 3-2.2 , 0).当MP=MQ时,分)点Q与点B重合，点P与点A重合，不合题意，舍去. ( 1综上所述，符合条件的点 P坐标为(1, 0)或(3-2 2 , 0).