椭圆的简单几何性质典型例题doc.docx
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椭圆的简单几何性质典型例题doc
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典型例题一
例1椭圆的一个顶点为
A2，0
，其长轴长是短轴长的
2倍，求椭圆的标准方程．
分析：
题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．
解：
（1）当A2，0
为长轴端点时，
a
2，b
1，
椭圆的标准方程为：
x2
y2
1；
4
1
（2）当A2，0为短轴端点时，
b
2
，a4
，
椭圆的标准方程为：
x2
y2
1
；
4
16
说明：
椭圆的标准方程有两个，
给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，
是不能确定椭圆
的横竖的，因而要考虑两种情况．
典型例题二
例2一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．
解：
2c
a2
21
∴3c2
a2，
c
3
∴e
1
3
．
33
说明：
求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求
a，求
c，再求比．二是列
含a和c的齐次方程，再化含
e的方程，解方程即可．
典型例题三
例3已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线xy10交于A、B两点，M
为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为
2，求椭圆的方程．
解：
由题意，设椭圆方程为
x2
y2
1，
a2
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x
y1
0
2
由
，得1a
x
2
2
2
x
0，
x
2
y2
a
1
a2
∴xM
x1
x21
a2
，
yM
1
xM
1
，
2
a2
1a2
kOM
yM
1
1，∴a2
4，
xM
a2
4
∴x2
y2
1为所求．
4
说明：
（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；
（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．
典型例题四
例4椭圆
x2
y2
1上不同三点
Ax1，y1
9
，Cx2，y2
与焦点F4，0
25
9
，B4，
的
5
距离成等差数列．
（1）求证x1x28；
（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．
证明：
（1）由椭圆方程知
a
5，b
3，c4．
由圆锥曲线的统一定义知：
AF
c，
a2
a
x1
c
∴
AF
a
ex1
5
4
x1．
5
同理
CF
5
4
x2．
5
9
∵
AF
CF
2BF，且BF
，
5
∴
5
4
x1
5
4
x2
18
，
5
5
5
即
x1
x2
8．
（2）因为线段AC的中点为
y1
y2
，所以它的垂直平分线方程为
4，
2
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y
y1
y2x1
x2x4．
2
y1
y2
又∵点T在x轴上，设其坐标为
x0，0，代入上式，得
x04
y12
y22
2x1
x2
又∵点Ax1，y1，Bx2，y2都在椭圆上，
∴y12925x1225
y22
9
25x22
25
9
∴
2
2
y1
y2
25x1x2x1x2．
将此式代入①，并利用x1x28的结论得
x04
36
25
9
0
5
5
．
∴kBT
x04
4
典型例题五
例5已知椭圆x2
y2
1，F1、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点
M，使M到
4
3
左准线l的距离MN是MF1
与MF2
的等比中项？
若存在，则求出点
M的坐标；若不存
在，请说明理由．
解：
假设M存在，设M
x1，y1
，由已知条件得
a2，b
3，∴c
1，e
1
．
∵左准线l的方程是x
4，
2
∴MN4
x1．
又由焦半径公式知：
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MF1
a
ex12
1
x1，
2
MF2
a
ex1
1
x1．
2
2
∵MN
2
MF1
MF2
，
∴x1
42
2
1x1
2
1x1．
2
2
整理得5x12
32x1
48
0．
解之得x1
4或x1
12
．
①
5
另一方面
2x1
2．
②
则①与②矛盾，所以满足条件的点M不存在．
说明：
（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．
（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．
（3）本例也可设M2cos，3sin存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．
典型例题六
例6已知椭圆
x2
y
2
1，求过点P
1
1
P平分的弦所在的直线方程．
2
2
，且被
2
分析一：
已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为
k，利用条件求k．
解法一：
设所求直线的斜率为
k，则直线方程为y
1
kx
1
2
．代入椭圆方程，并
2
整理得
12k2x2
2k2
2kx
1k2
k
3
0．
2
2
由韦达定理得x1
x2
2k2
2k
．
1
2k
2
∵P是弦中点，∴
x1
x2
1．故得k
1
．
2
所以所求直线方程为2x4y30．
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分析二：
设弦两端坐标为
x1，y1
、x2，y2，列关于x1、x2、y1、y2的方程组，从
而求斜率：
y1
y2
．
x1
x2
解法二：
设过P
1
1
Ax1，y1
、Bx2，y2
2
，的直线与椭圆交于
，则由题意得
2
x12
y12
1，
①
2
x22
y22
1，
②
2
x1
x2
1，
③
y1
y2
1.
④
①－②得x12
x22
y12
y22
0．
⑤
2
将③、④代入⑤得
y1
y2
1，即直线的斜率为
1
．
x1
x2
2
2
所求直线方程为2x4y30．
说明：
（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：
过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．
（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．
（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：
“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．
典型例题七
例7求适合条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴长是短轴长的
2倍，且过点2，6
；
（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为
6．
分析：
当方程有两种形式时，应分别求解，如（
1）题中由x2
y2
1求出a2
148，
a2
b2
b2
37，在得方程
x2
y2
1后，不能依此写出另一方程
y2
x2
1．
148
37
148
37
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解：
（1）设椭圆的标准方程为
x2
y2
1或y2
x2
1．
a2
b2
a2
b2
由已知a
2b
．
①
又过点
2，6
，因此有
22
62
1或
62
22
1．
②
2
2
2
2
a
b
a
b
由①、②，得a2
148，
b2
37
或a2
52，b2
13
．故所求的方程为
x2
y2
1或y2
x2
1．
148
37
52
13
（2）设方程为
x2
y2
1．由已知，c
3，b
c
3，所以a2
18．故所求方程
a2
b2
为x2
y2
1．
18
9
说明：
根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置
是否确定，若不能确定，应设方程
x2
y2
1或y2
x2
1．
a2
b2
a2
b2
典型例题八
例8椭圆x2
y2
1的右焦点为F，过点A1，3，点M在椭圆上，当AM2MF
16
12
为最小值时，求点
M的坐标．
分析：
本题的关键是求出离心率e
1
2MF转化为M到右准线的距离，从而得
，把
2
最小值．一般地，求
AM
1MF均可用此法．
e
1
解：
由已知：
a4，c2．所以
，右准线
e
l：
x8．
2
过A作AQ
l，垂足为Q，交椭圆于M，故
MQ2MF．显然AM2MF的最小值为AQ，即M
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为所求点，因此yM
3，且M在椭圆上．故xM
23．所以M23，3．
说明：
本题关键在于未知式AM
2MF中的“2”的处理．事实上，如图，
1
e，
2
即MF是M到右准线的距离的一半，
即图中的MQ，问题转化为求椭圆上一点
M，使M
到A的距离与到右准线距离之和取最小值．
典型例题九
例9求椭圆x2
y2
1上的点到直线
xy60的距离的最小值．
3
分析：
先写出椭圆的参数方程，
由点到直线的距离建立三角函数关系式，
求出距离的最
小值．
解：
椭圆的参数方程为
x
3cos
，
3cos，sin，则点到
设椭圆上的点的坐标为
ysin.
直线的距离为
3cossin6
2sin
6
3
d
．
2
2
当sin1时，d最小值22．
3
说明：
当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．
典型例题十
例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在
x轴上，离心率
3
3
到
e
，已知点P0，
2
2
这个椭圆上的点的最远距离是
7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点
P的距离等于
7
的点的坐标．
分析：
本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d的最大值时，要注意讨论b的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要
善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．
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解法一：
设所求椭圆的直角坐标方程是
x2
y
2
1，其中a
b0待定．
a
2
b2
2
2
2
1b
2
由e2c2
a
2b
2可得
a
a
a
b
1e2
1
31，即a2b．
a
4
2
设椭圆上的点
x，y
到点P的距离是d，则
3
2
y2
9
d
2
x
2
y
a
2
y
2
3y
2
1
4
b2
9
1
2
4b2
3y2
3y
3y
4b2
3
4
2
其中
b
y
b．
如果b
1
，则当y
b时，d2（从而d）有最大值．
2
2
3
2
3
1
1
由题设得
7
b
，由此得b
7
矛盾．
2
2
2
，与b
2
因此必有b
1
成立，于是当y
1
时，d2（从而d）有最大值．
2
2
由题设得
7
2
b
2
3
b
1
a2
，可得
，
．
4
∴所求椭圆方程是
x2
y2
4
1．
1
由y
1
及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点
3，1
，点
2
2
3
P0，的距离是7．
2
3，1到点
2
xacos
解法二：
根据题设条件，可取椭圆的参数方程是，其中ab0，待定，
ybsin
12，为参数．
由e2c2
a2
b2
b
2
1
可得
a2
a2
a
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b
1e2
1
31，即a2b．
a
4
2
设椭圆上的点
x，y
3
的距离为d，则
到点P0，
2
2
2
d2
x2
y
3
a2cos2
bsin
3
2
2
4b
2
3b
2
2
3bsin
9
sin
4
1
2
3b2
sin
4b2
3
2b
如果
1
1，即b
1
，则当sin
1时，d2（从而d）有最大值．
2b
2
2
3
2
3
1
1
1
由题设得
7
b
，由此得b
7
2
2
，与b
矛盾，因此必有
1
2
2
2b
成立．
于是当sin
1
时d2
（从而d）有最大值．
2b
由题设知
7
2
b
2
3
，∴
b
1
，
a
2
．
4
∴所求椭圆的参数方程是
x
2cos
．
y
sin
由sin
1
，cos
3
，可得椭圆上的是
3，1
，
3，1
．
2
2
2
2
典型例题十一
例11
设x，y
R，2x2
3y2
6x，求x2
y2
2x的最大值和最小值．
分析：
本题的关键是利用形数结合，观察方程
2x2
3y2
6x与椭圆方程的结构一
致．设x2
y2
2x
m，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关
系求得最值．
解：
由2x2
3y2
6x，得
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