椭圆的简单几何性质典型例题doc.docx

1、椭圆的简单几何性质典型例题docVIP 免费 欢迎下载典型例题一例 1 椭圆的一个顶点为A 2，0，其长轴长是短轴长的2 倍，求椭圆的标准方程分析： 题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解：（ 1）当 A 2，0为长轴端点时，a2 ， b1，椭圆的标准方程为：x2y21 ；41（ 2）当 A 2，0 为短轴端点时，b2， a 4，椭圆的标准方程为：x2y21；416说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况典型例题二例 2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率解： 2ca 22 1 3c2a2 ，c3 e133 3

2、说明： 求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比二是列含 a 和 c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可典型例题三例 3 已知中心在原点， 焦点在 x 轴上的椭圆与直线 x y 1 0 交于 A 、B 两点， M为 AB 中点， OM 的斜率为 0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程解： 由题意，设椭圆方程为x2y 21，a2VIP 免费 欢迎下载xy 102由，得 1 ax222x0 ，x2y2a1a2 xMx1x2 1a2，yM1xM1，2a21 a2kOMyM11 ， a24 ，xMa 24 x2y21 为所求4说明：（ 1）此题求椭圆方程采用的是待定系

3、数法； （2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题典型例题四例4椭圆x2y 21 上不同三点A x1， y19， C x2， y2与焦点 F 4，0259，B 4，的5距离成等差数列（1）求证 x1 x2 8；（2）若线段 AC 的垂直平分线与 x 轴的交点为 T ，求直线 BT 的斜率 k 证明：（ 1）由椭圆方程知a5 ， b3 ， c 4 由圆锥曲线的统一定义知：AFc ，a2ax1cAFaex154x1 5同理CF54x2 59AFCF2BF ，且 BF，554x154x218，555即x1x28 （ 2）因为线段 AC 的中点为y1y2，所以

4、它的垂直平分线方程为4，2VIP 免费 欢迎下载yy1y2 x1x2 x 4 2y1y2又点 T 在 x 轴上，设其坐标为x0，0 ，代入上式，得x0 4y12y222 x1x2又点 A x1， y1 ， B x2， y2 都在椭圆上，y12 9 25 x12 25y22925 x2225922y1y225 x1x2 x1 x2 将此式代入，并利用 x1 x2 8 的结论得x0 436259055 kBTx0 44典型例题五例 5 已知椭圆 x2y 21 ， F1 、 F2 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到43左准线 l 的距离 MN 是 MF1与 MF2的等比中项？若存在，则求出点M

5、 的坐标；若不存在，请说明理由解：假设 M 存在，设 Mx1， y1，由已知条件得a 2 ， b3 ， c1 ， e1左准线 l 的方程是 x4 ，2MN 4x1 又由焦半径公式知：VIP 免费 欢迎下载MF1aex1 21x1 ，2MF2aex11x1 22 MN2MF1MF2， x14 221 x121 x1 22整理得 5x1232 x1480 解之得 x14 或 x1125另一方面2 x12 则与矛盾，所以满足条件的点 M 不存在说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算进而根据推理得到的结果

6、，再作判断（3）本例也可设 M 2 cos ， 3 sin 存在，推出矛盾结论（读者自己完成） 典型例题六例 6 已知椭圆x2y21 ，求过点 P11P 平分的弦所在的直线方程22， 且被2分析一： 已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求 k 解法一： 设所求直线的斜率为k ，则直线方程为 y1k x12代入椭圆方程，并2整理得1 2k 2 x22k 22k x1 k 2k30 22由韦达定理得 x1x22k 22k12k2 P 是弦中点，x1x21故得 k12所以所求直线方程为 2x 4y 3 0 VIP 免费 欢迎下载分析二： 设弦两端坐标为x1， y1、 x2， y2

7、，列关于 x1 、 x2 、 y1 、 y2 的方程组，从而求斜率： y1y2x1x2解法二： 设过 P11A x1， y1、 B x2， y22， 的直线与椭圆交于，则由题意得2x12y121，2x22y221，2x1x21，y1y21.得 x12x22y12y220 2将、代入得y1y21 ，即直线的斜率为1x1x222所求直线方程为 2x 4y 3 0 说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹（2）解法二是“点差法” ，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是： “韦达定理应用”及“

8、点差法” 有关二次曲线问题也适用典型例题七例 7 求适合条件的椭圆的标准方程（ 1）长轴长是短轴长的2 倍，且过点 2， 6；（ 2）在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6分析： 当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由 x 2y21 求出 a 2148 ，a 2b2b237 ，在得方程x2y21后，不能依此写出另一方程y2x211483714837VIP 免费 欢迎下载解：（ 1）设椭圆的标准方程为x2y21 或 y2x21a2b2a 2b2由已知 a2b又过点2， 6，因此有226 21 或6 22212222abab由、，得 a2148 ，b237或 a 25

9、2 ， b213故所求的方程为x2y21 或 y 2x21 148375213（ 2）设方程为x2y21由已知， c3 ， bc3，所以 a218 故所求方程a2b2为 x2y 21 189说明： 根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程x2y21 或 y2x21a2b2a 2b2典型例题八例 8 椭圆 x2y21 的右焦点为 F ，过点 A 1， 3 ，点 M 在椭圆上， 当 AM 2 MF1612为最小值时，求点M 的坐标分析： 本题的关键是求出离心率 e12 MF 转化为 M 到右准线的距离，从而得，把2最小值一般地，求AM1 M

10、F 均可用此法e1解： 由已知：a 4 ， c 2 所以，右准线el ：x 8 2过A作AQl ， 垂 足 为 Q ， 交 椭 圆 于 M ， 故MQ 2 MF 显然 AM 2 MF 的最小值为 AQ ，即 MVIP 免费 欢迎下载为所求点，因此 yM3 ，且 M 在椭圆上故 xM2 3所以M2 3，3说明： 本题关键在于未知式 AM2 MF 中的“ 2”的处理事实上，如图，1e，2即 MF 是 M 到右准线的距离的一半，即图中的 MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M到 A 的距离与到右准线距离之和取最小值典型例题九例 9 求椭圆 x2y21 上的点到直线x y 6 0 的距离的最小值3分

11、析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值解：椭圆的参数方程为x3 cos，3 cos ，sin ，则点到设椭圆上的点的坐标为y sin .直线的距离为3 cos sin 62 sin63d22当 sin 1时， d最小值 2 2 3说明： 当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程典型例题十例 10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率33到e，已知点 P 0，22这个椭圆上的点的最远距离是7 ，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标分析： 本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求 d 的最大值时

12、，要注意讨论 b 的取值范围此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力VIP 免费 欢迎下载解法一： 设所求椭圆的直角坐标方程是x 2y21，其中 ab 0 待定a2b22221 b2由 e2 c2a2 b2 可得aaab1 e213 1 ，即 a 2b a42设椭圆上的点x， y到点 P 的距离是 d ，则32y 29d2x2ya2y23y214b29124b23y23y3 y4b2342其中byb 如果 b1，则当 yb 时， d 2 （从而 d ）有最大值2232311由题设

13、得7b，由此得 b7矛盾222，与 b2因此必有 b1成立，于是当 y1时， d 2 （从而 d ）有最大值22由题设得72b23b1a 2，可得，4所求椭圆方程是x2y241 1由 y1及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点3， 1，点223P 0， 的距离是 723，1 到点2x a cos解法二： 根据题设条件，可取椭圆的参数方程是 ，其中 a b 0 ，待定，y bsin12 ， 为参数由 e2c2a2b2b21可得a2a2aVIP 免费 欢迎下载b1 e213 1 ，即 a 2b a42设椭圆上的点x， y3的距离为 d ，则到点P0，222d 2x2y3a 2 cos2b sin3224

14、b23b223b s i n9s i n4123b2s i n4b 232b如果11，即 b1，则当 sin1 时， d 2 （从而 d ）有最大值2b22323111由题设得7b，由此得 b722，与 b矛盾，因此必有1222b成立于是当 sin1时 d 2（从而 d ）有最大值2b由题设知72b23，b1，a24所求椭圆的参数方程是x2 cosysin由 sin1， cos3，可得椭圆上的是3， 1，3， 12222典型例题十一例 11设 x ， yR ， 2x23 y26 x ，求 x 2y22 x 的最大值和最小值分析： 本题的关键是利用形数结合，观察方程2 x23y26x 与椭圆方程的结构一致设 x 2y22xm ，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值解： 由 2 x23y 26x ，得