八年级数学培优矩形与菱形.docx

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八年级数学培优矩形与菱形

八年级数学培优——矩形与菱形

【例2】已知：

如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，AE＞DE，BE＝BC，点O是线段CE的中点．

⑴试说明CE平分∠BED；

⑵若AB＝3，BC＝5，求BO的长；

⑶在直线AD上是否存在点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是菱形？

如果存在，试画出点F的位置，并作适当的说明；如果不存在，请说明理由．

【变式题组】

01．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数y＝

的图像上，菱形的面积为_________．

02．两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A＝60°，AC＝1．固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：

⑴如图1，△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连接DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积；

⑵如图2，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．

【例3如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，则PE＋PF＝__________．

【变式题组】

01．⑴观察与发现：

讲矩形纸片AOCB折叠，使点C与点A重合，点B落在点B＇处（如图1），折痕为EF．小明发现△AEF为等腰三角形，你同意吗？

请说明理由．

⑵实验与应用：

以点O为坐标原点，分别以矩形的边OC、OA为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，若顶点B的坐标为（9，3），请求出折痕EF的长及EF所在直线的函数关系式．

02.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠使点B落到B＇的位置，AB＇与CD交于点E．

⑴试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；

⑵若AB＝8，DE＝3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG＋PH的值，并说明理由．

【例4】如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；

⑴延长MP交CN于点E（如图2）．①求证：

△BPM≌△CPE；②求证：

PM＝PN；

⑵若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其他条件不变，此时PM＝PN还成立吗？

若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

⑶若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其他条件不变．请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM＝PN还成立吗？

不必说明理由．

．

【变式题组】

01．如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，AB＝a．将△ABO沿BO对折于△A’BO，M为BC上一动点，则A’M的最小值为________．

02．如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC＝PA，PD＝PB，∠APC＝∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．

⑴猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；、

⑵当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，⑴中的结论还成立吗？

说明理由．

⑶如果⑵中，∠APC＝∠BPD＝90°，其他条件不变，先补全图3，再判定四边形EFGH的形状，并说明理由．

03如图所示，一根长为2a的木棍（AB），斜靠在与地（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．

⑴请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由；

⑵在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？

简述理由，并求出面积的最大值．

演练巩固反馈提高

01.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝

，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（）

A．

B．2C．3D．

02．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝

，则点B的坐标为（）

A．（

，1）B．（1，

）C．（

＋1，1）D．（1，

＋1）

03．如图，在△ABC中，AB＞AC，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE沿线段DE翻折，使点A落在边BC上，记为A’，若四边形ADA’E是菱形，则下列说法正确的是（）

A．DE是△ABC的中位线B．AA’是BC边上的中线

C．AA’是BC边上的高D．AA’是△ABC的角平分线

04．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）

A．

B．

C．

D．3

05．一次数学课上，老师让大家在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，折出一个菱形．甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），乙同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较这两种折法中，菱形面积较大的是（）

A．甲B．乙C．甲乙相等D．无法判断

06．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝

，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：

①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED，正确的结论为_________________．

07．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，则CE的长为__________．

08．如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD＝6，则AF＝____________．

09．红丝带是关注艾滋病防止问题的国际性标志．将宽为1cm的红丝带交叉成60°角重叠在一起（如图），则重叠四边形的面积为_______cm．

10．如图，一张长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b（a＞b），在BC边上选取一点M，将△ABM沿AM翻折后B至B’的位置，若B’为长方形纸片ABCD的对称中心，则

的值是__________．

11．一种千斤顶利用了四边形的不稳定性．如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）．若AB＝40cm，当∠ADC从60°变为120°时，千斤顶升高了多少？

（

＝1．414，

＝1．732，结果保留整数）

12．如图所示，四边形OABC是矩形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，若△ECD的周长为2，△EBA的周长为6．

⑴矩形OABC的周长为_______；

⑵若点A坐标为（

，0），求线段AD所在直线的解析式．

13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，ME⊥AC，MF⊥BC，D是AB的中点．求证：

△DEF是等腰直角三角形．

14．如图，矩形ABCD中，AC＝2AB，O为AC的中点，延长AB到E，使BE＝AB，连接EO并延长交BC于F，交AD于M．求证：

四边形AFCM是菱形．

15．如图，矩形ABCD，E是CB延长线上一点，且CE＝CA，F是AE的中点．求证：

DF⊥BF．

16．如图1，在△ABC中，AB＝BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作□APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC＝∠AEP＝α（0°＜α＜90°）．

⑴求证：

∠EAP＝∠EPA；

⑵□APCD是否为矩形？

请说明理由；

⑶如图2，F为BC的中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点）．猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．