1、八年级数学培优矩形与菱形八年级数学培优矩形与菱形【例2】已知:如图,在矩形ABCD中,点E在AD边上,AEDE,BEBC,点O是线段CE的中点试说明CE平分BED;若AB3,BC5,求BO的长;在直线AD上是否存在点F,使得以B、C、E、F为顶点的四边形是菱形?如果存在,试画出点F的位置,并作适当的说明;如果不存在,请说明理由【变式题组】01如图,在平面直角坐标系中,点O为原点,菱形OABC的对角线OB在x轴上,顶点A在反比例函数y的图像上,菱形的面积为_02两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起,其中A60,AC1固定ABC不动,将DEF进行如下操作:如图1,DEF沿线段AB向右平移(
2、即D点在线段AB内移动),连接DC、CF、FB,四边形CDBF的形状在不断的变化,但它的面积不变化,请求出其面积;如图2,当D点移到AB的中点时,请你猜想四边形CDBF的形状,并说明理由【例3如图,在矩形ABCD中,已知AD12,AB5,P是AD边上任意一点,PEBD,PFAC,E、F分别是垂足,则PEPF_【变式题组】01观察与发现:讲矩形纸片AOCB折叠,使点C与点A重合,点B落在点B处(如图1),折痕为EF小明发现AEF为等腰三角形,你同意吗?请说明理由实验与应用:以点O为坐标原点,分别以矩形的边OC、OA为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系,若顶点B的坐标为(9,3),请求出折痕EF的
3、长及EF所在直线的函数关系式02.如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠使点B落到B的位置,AB与CD交于点E试找出一个与AED全等的三角形,并加以证明;若AB8,DE3,P为线段AC上的任意一点,PGAE于G,PHEC于H,试求PGPH的值,并说明理由【例4】如图1,在ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若B、P在直线a的异侧,BM直线a于点M,CN直线a于点N,连接PM、PN;延长MP交CN于点E(如图2)求证:BPMCPE;求证:PMPN;若直线a绕点A旋转到图3的位置时,点B、P在直线a的同侧,其他条件不变,此时PMPN还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
4、若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时,其他条件不变请直接判断四边形MBCN的形状及此时PMPN还成立吗?不必说明理由【变式题组】01如图,一副三角板拼在一起,O为AD的中点,ABa将ABO沿BO对折于ABO,M为BC上一动点,则AM的最小值为_02如图1,P是线段AB上的一点,在AB的同侧作APC和BPD,使PCPA,PDPB,APCBPD,连接CD,点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点,顺次连接E、F、G、H猜想四边形EFGH的形状,直接回答,不必说明理由;、当点P在线段AB的上方时,如图2,在APB的外部作APC和BPD,其他条件不变,中的结论还成立吗?说明理由如果中,A
5、PCBPD90,其他条件不变,先补全图3,再判定四边形EFGH的形状,并说明理由03如图所示,一根长为2a的木棍(AB),斜靠在与地(OM)垂直的墙(ON)上,设木棍的中点为P若木棍A端沿墙下滑,且B端沿地面向右滑行请判断木棍滑动的过程中,点P到点O的距离是否变化,并简述理由;在木棍滑动的过程中,当滑动到什么位置时,AOB的面积最大?简述理由,并求出面积的最大值演练巩固 反馈提高01.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,AE、EF为折痕,BAE30,AB,折叠后,点C落在AD边上的C1处,并且点B落在EC1边上的B1处则BC的长为( )A B2 C3 D02菱形OABC在平面直角坐标系中的
6、位置如图所示,AOC45,OC,则点B的坐标为( )A(,1) B(1,) C(1,1) D(1,1)03如图,在ABC中,ABAC,D、E分别是AB、AC上的点,ADE沿线段DE翻折,使点A落在边BC上,记为A,若四边形ADAE是菱形,则下列说法正确的是( )ADE是ABC的中位线 BAA是BC边上的中线CAA是BC边上的高 DAA是ABC的角平分线04如图,菱形ABCD中,B60,AB2,E、F分别是BC、CD的中点,连接AE、EF、AF,则AEF的周长为( )A B C D305一次数学课上,老师让大家在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内,折出一个菱形甲同学按照取两组对边中点的方法折出
7、菱形EFGH(见方案一),乙同学沿矩形的对角线AC折出CAEDAC,ACFACB的方法得到菱形AECF(见方案二),请你通过计算,比较这两种折法中,菱形面积较大的是( )A甲 B乙 C甲乙相等 D无法判断06在矩形ABCD中,AB1,AD,AF平分DAB,过C点作CEBD于E,延长AF、EC交于点H,下列结论中:AFFH;BOBF;CACH;BE3ED,正确的结论为_07如图,矩形ABCD中,AB2,BC3,对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F,连接CE,则CE的长为_08如图,四边形ABCD为矩形纸片把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边的中点E处,折痕为AF,若CD6,则AF
8、_09红丝带是关注艾滋病防止问题的国际性标志将宽为1cm的红丝带交叉成60角重叠在一起(如图),则重叠四边形的面积为_cm10 如图,一张长方形纸片ABCD,其长AD为a,宽AB为b(ab),在BC边上选取一点M,将ABM沿AM翻折后B至B的位置,若B为长方形纸片ABCD的对称中心,则的值是_11一种千斤顶利用了四边形的不稳定性如图,其基本形状是一个菱形,中间通过螺杆连接,转动手柄可改变ADC的大小(菱形的边长不变),从而改变千斤顶的高度(即A、C之间的距离)若AB40cm,当ADC从60变为120时,千斤顶升高了多少?(1414,1732,结果保留整数)12如图所示,四边形OABC是矩形,点
9、D在OC边上,以AD为折痕,将OAD向上翻折,点O恰好落在BC边上的点E处,若ECD的周长为2,EBA的周长为6矩形OABC的周长为_;若点A坐标为(,0),求线段AD所在直线的解析式13如图,ABC中,ACB90,ACBC,MEAC,MFBC,D是AB的中点求证:DEF是等腰直角三角形14如图,矩形ABCD中,AC2AB,O为AC的中点,延长AB到E,使BEAB,连接EO并延长交BC于F,交AD于M求证:四边形AFCM是菱形15如图,矩形ABCD,E是CB延长线上一点,且CECA,F是AE的中点求证:DFBF16如图1,在ABC中,ABBC,P为AB边上一点,连接CP,以PA、PC为邻边作APCD,AC与PD相交于点E,已知ABCAEP(090)求证:EAPEPA;APCD是否为矩形?请说明理由;如图2,F为BC的中点,连接FP,将AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到MEN(点M、N分别是MEN的两边与BA、FP延长线的交点)猜想线段EM与EN之间的数量关系,并证明你的结论
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