初一因式分解的方法和能力提高训练.docx
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初一因式分解的方法和能力提高训练
因式分解能力提高
因式分解的十二种方法:
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：
1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x-2x-x（2003淮安市中考题）
x-2x-x=x（x-2x-1）
2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a+4ab+4b（2003南通市中考题）
解：
a+4ab+4b=（a+2b）
3、分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分
成一组，并提出公因式b，从而得到a（m+n）+b（m+n）,又可以提出公因式m+n，从而得到（a+b）（m+n）例3、分解因式m+5n-mn-5m解：
m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n
=（m-5m）+（-mn+5n）
=m（m-5）-n（m-5）
=（m-5）（m-n）
4、十字相乘法
对于mx+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为（ax+d）（bx+c）例4、分解因式7x-19x-6分析：
1-3
72
2-21=-19
解：
7x-19x-6=（7x+2）（x-3）
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x+3x-40
解x+3x-40=x+3x+（）-（）-40
=（x+）-（）
=（x++）（x+-）
=（x+8）（x-5）
6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）
解：
bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）=bc（c-a+a+b）+ca（c-a）-ab（a+b）
=bc（c-a）+ca（c-a）+bc（a+b）-ab（a+b）=c（c-a）（b+a）+b（a+b）（c-a）=（c+b）（c-a）（a+b）
7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
例7、分解因式2x-x-6x-x+2
解：
2x-x-6x-x+2=2（x+1）-x（x+1）-6x
=x[2（x+）-（x+）-6
令y=x+,x[2（x+）-（x+）-6
=x[2（y-2）-y-6]
=x（2y-y-10）
=x（y+2）（2y-5）
=x（x++2）（2x+-5）
=（x+2x+1）（2x-5x+2）
=（x+1）（2x-1）（x-2）
8、求根法
令多项式f（x）=0,求出其根为x,x,x,⋯⋯x则,多项式可因式分解为f（x）=（x-x）（x-x）（x-x）⋯⋯（x-x）例8、分解因式2x+7x-2x-13x+6解：
令f（x）=2x+7x-2x-13x+6=0通过综合除法可知，f（x）=0根为，-3，-2，1则2x+7x-2x-13x+6=（2x-1）（x+3）（x+2）（x-1）
9、图象法
令y=f（x），做出函数y=f（x）的图象，找到函数图象与X轴的交点x,x,x,⋯⋯，x则多项式可因式分解为f（x）=f（x）=（x-x）（x-x）（x-x）⋯⋯（x-x）
例9、因式分解x+2x-5x-6解：
令y=x+2x-5x-6作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2则x+2x-5x-6=（x+1）（x+3）（x-2）
10、主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
例10、分解因式a（b-c）+b（c-a）+c（a-b）分析：
此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列解：
a（b-c）+b（c-a）+c（a-b）=a（b-c）-a（b-c）+（bc-cb）=（b-c）[a-a（b+c）+bc]
=（b-c）（a-b）（a-c）
11、利用特殊值法
将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
例11、分解因式x+9x+23x+15
解：
令x=2，则x+9x+23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值则x+9x+23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
12
从而把多项式因式分解。
、待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，例12、分解因式x-x-5x-6x-4分析：
易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
解：
设x-x-5x-6x-4=（x+ax+b）（x+cx+d）=x+（a+c）x+（ac+b+d）x+（ad+bc）x+bd所以解得则x-x-5x-6x-4=（x+x+1）（x-2x-4）
提公因式法——形如mambmcm（abc）
运用公式法——平方差公式：
a2b2（ab）（ab），完全平方公式：
a22abb2（ab）2
2222
a2b2c22ab2bc2caabc
一、填空题：
2．（a－3）（3－2a）=（3－a）（3－2a）；
12．若m2－3m＋2=（m＋a）（m＋b），则a=，b=__
15．当m=时，x2＋2（m－3）x＋25是完全平方式．
二、选择题：
1．下列各式的因式分解结果中，正确的是
A．a2b＋7ab－b＝b（a2＋7a）
B．3x2y－3xy－6y=3y（x－2）（x＋1）
C．8xyz－6x2y2＝2xyz（4－3xy）
D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a（a＋2b－3c）
2．多项式m（n－2）－m2（2－n）分解因式等于
A．（n－2）（m＋m2）B．（n－2）（m－m2）
C．m（n－2）（m＋1）D．m（n－2）（m－1）
3．在下列等式中，属于因式分解的是
A．a（x－y）＋b（m＋n）＝ax＋bm－ay＋bn
B．a2－2ab＋b2＋1=（a－b）2＋1
C．－4a2＋9b2＝（－2a＋3b）（2a＋3b）
D．x2－7x－8=x（x－7）－8
4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是
A．a2＋b2B．－a2＋b2
C．－a2－b2D．－（－a2）＋b2
5．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m的值是
A．－12B．±24
C．12
D．±12
6．把多项式an+4－an+1分解得
A．an（a4－a）
C．an+1（a－1）（a2－a＋1）
B．an-1（a3－1）
D．an+1（a－1）（a2＋a＋1）
B．7
D．12
B．x=1，y=－3
D．x=1，y=－3
7．若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为
A．8
C．10
8．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为
A．x=1，y=3
C．x=－1，y=3
9．把（m2＋3m）4－8（m2＋3m）2＋16分解因式得
C．（x2＋2）（x2＋1）
D．（x2＋2）（x＋1）（x
－1）
14．多项式x2－ax－bx＋ab可分解因式为
B．（x－a）（x＋b）
D．（x＋a）（x＋b）
A．－（x＋a）（x＋b）
C．（x－a）（x－b）15．一个关于x的二次三项式，其x2项的系数是1，常数项是－12，且能分解因式，这样的二次三项式是
A．x2－11x－12或x2＋11x－12
B．x2－x－12或x2＋x－12
C．x2－4x－12或x2＋4x－12
D．以上都可以
16．下列各式x3－x2－x＋1，x2＋y－xy－x，x2－2x－y2＋1，（x2＋3x）2－（2x＋1）2中，不含有（x－1）因式的有
A．1个B．2个
C．3个D．4个
17．把9－x2＋12xy－36y2分解因式为
A．（x－6y＋3）（x－6x－3）
B．－（x－6y＋3）（x－6y－3）
C．－（x－6y＋3）（x＋6y－3）
D．－（x－6y＋3）（x－6y＋3）
18．下列因式分解错误的是
A．a2－bc＋ac－ab=（a－b）（a＋c）
B．ab－5a＋3b－15=（b－5）（a＋3）
C．x2＋3xy－2x－6y=（x＋3y）（x－2）
D．x2－6xy－1＋9y2=（x＋3y＋1）（x＋3y－1）
19．已知a2x2±2x＋b2是完全平方式，且a，b都不为零，则a与b的关系为
A．互为倒数或互为负倒数B．互为相反数
C．相等的数D．任意有理数
20．对x4＋4进行因式分解，所得的正确结论是
A．不能分解因式B．有因式x2＋2x＋2
C．（xy＋2）（xy－8）D．（xy－2）（xy－8）
21．把a4＋2a2b2＋b4－a2b2分解因式为
A．（a2＋b2＋ab）2B．（a2＋b2＋ab）（a2＋b2－ab）
C．（a2－b2＋ab）（a2－b2－ab）D．（a2＋b2－ab）2
22．－（3x－1）（x＋2y）是下列哪个多项式的分解结果
A．3x2＋6xy－x－2yB．3x2－6xy＋x－2y
C．x＋2y＋3x2＋6xyD．x＋2y－3x2－6xy
23．64a8－b2因式分解为
A．（64a4－b）（a4＋b）B．（16a2－b）（4a2＋b）
C．（8a4－b）（8a4＋b）D．（8a2－b）（8a4＋b）
24．9（x－y）2＋12（x2－y2）＋4（x＋y）2因式分解为
A．（5x－y）2B．（5x＋y）2
C．（3x－2y）（3x＋2y）D．（5x－2y）2
25．（2y－3x）2－2（3x－2y）＋1因式分解为
A．（3x－2y－1）2B．（3x＋2y＋1）2
C．（3x－2y＋1）2D．（2y－3x－1）2
26．把（a＋b）2－4（a2－b2）＋4（a－b）2分解因式为
B．（3b＋a）2
D．（3a＋b）2
A．（3a－b）2
C．（3b－a）2
二xq——Ae）（Aq+Xe）CN+W（Xq——Ae）+e（Aq+Xe）•6
fCMq寸——qe8+xe寸——2XOo
LZ9"+Z（XIA）QL+B（AIX）L
二+（0IX）X0+2（X0I2X）∙9
-（q——e）3+（e——o）s+（。
——q）2e∙g
LOBe0+0qcoel（8+2q+Beoqe•寸
"COAX+ACOX0——寸AQ——寸XO
oqe——（oe+oq+qe）ed
⅛+d——（b——dxuL
（o0——q+e）（o0+q+e）0Q（。
寸——q+e0）（o寸+q+e0）O
（。
——q+e）（o+q+e）0•8（o0——q+e）0<
\—
CQ
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I
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8——卅0+qe寸+水23⅛oOo
（A寸I
灭3⅛oW（。
——e）B+（。
+q）（。
——e）qe0——2（。
+q）*S
≡K5
10．（1－a2）（1－b2）－（a2－1）2（b2－1）2；
11．（x＋1）2－9（x－1）2；
12．4a2b2－（a2＋b2－c2）2；
13．ab2－ac2＋4ac－4a；
14．x3n＋y3n；
15．（x＋y）3＋125；
16．（3m－2n）3＋（3m＋2n）3；
17．x6（x2－y2）＋y6（y2－x2）；
18．8（x＋y）3＋1；
19．（a＋b＋c）3－a3－b3－c3；
20．x2＋4xy＋3y2；
21．x2＋18x－144；
22．x4＋2x2－8；
23．－m4＋18m2－17；
24．x5－2x3－8x；
25．x8＋19x5－216x2；
26．（x2－7x）2＋10（x2－7x）－24；
27．5＋7（a＋1）－6（a＋1）2；
28．（x2＋x）（x2＋x－1）－2；
29．x2＋y2－x2y2－4xy－1；
30．（x－1）（x－2）（x－3）（x－4）－48；
31．x2－y2－x－y；
32．ax2－bx2－bx＋ax－3a＋3b；
33．m4＋m2＋1；
34．a2－b2＋2ac＋c2；
35．a3－ab2＋a－b；
36．625b4－（a－b）4；
37．x6－y6＋3x2y4－3x4y2；
38．x2＋4xy＋4y2－2x－4y－35；
39．m2－a2＋4ab－4b2；
40．5m－5n－m2＋2mn－n2．
四、证明（求值）：
1．已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值．
2．求证：
四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数．
3．证明：
（ac－bd）2＋（bc＋ad）2=（a2＋b2）（c2＋d2）．
4．已知a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac的值．
5．若x2＋mx＋n=（x－3）（x＋4），求（m＋n）2的值．
6．当a为何值时，多项式x2＋7xy＋ay2－5x＋43y－24可以分解为两个一次因式的乘积．
7．若x，y为任意有理数，比较6xy与x2＋9y2的大小．
1
8．两个连续偶数的平方差是已知2xy，xy2，求2x4y3x3y4的值。
9、已知ab2，求（a2b2）28（a2b2）的值
10、
（1）已知xy2,xy2，求x2y26xy的值；
1
（2）已知x2y21,xy，求xy的值；
1323223
（3）已知ab，ab，求
（1）（ab）2；
（2）a3b2a2b2ab3
28
22
（4）已知4x216y24x16y50，求x+y的值；
11、先分解因式，然后计算求值：
（本题6分）
22
（a2+b2－2ab）－6（a－6）+9，其中a=10000，b=9999。
22
12、已知mn8，mn15，求m2mnn2的值。
13.已知：
a2a10，
（1）求2a22a的值；
（2）求a32a21999的值。
x2y2
14、已知x（x－1）－（x2－y）＝－2．求xyxy的值．
2
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