初一因式分解的方法和能力提高训练.docx

1、初一因式分解的方法和能力提高训练因式分解能力提高因式分解的十二种方法 : 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种 多样，现总 结如下：1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式 乘积的形式。例 1、 分解因式 x -2x -x(2003 淮安市中考题 )x -2x -x=x(x -2x-1)2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分 解因式。例 2、分解因式 a +4ab+4b (2003 南通市中考题 )解： a +4

2、ab+4b = ( a+2b )3、 分组分解法要把多项式 am+an+bm+bn 分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式 a，把它后两项分成一组，并提出公因式 b，从而得到 a(m+n)+b(m+n), 又可以提出公因式 m+n ，从而得到 (a+b)(m+n) 例 3、分解因式 m +5n-mn-5m 解： m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、 十字相乘法对于 mx +px+q 形式的多项式， 如果 ab=m,c d=q 且 ac+bd=p ，则多项式可因式分解为 (ax+d

3、)(bx+c) 例 4、分解因式 7x -19x-6 分析： 1 -3722-21=-19解： 7x -19x-6= (7x+2 )(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式， 有的可以利用将其配成一个完全平方式， 然后再利用平方差公式， 就能将其因式分解。例 5、分解因式 x +3x-40解 x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。例 6、分解因式 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解： bc(b+c)+ca(c-a)-ab(

4、a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)7 、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再 转换回来。例 7、分解因式 2x -x -6x -x+2解： 2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x=x 2(x + )-(x+ )-6令 y=x+ , x 2(x + )-(x+ )-6= x 2(y -2)-y-6= x (2y -y-10)=x (

5、y+2)(2y-5)=x (x+ +2)(2x+ -5)= (x +2x+1) (2x -5x+2)=(x+1) (2x-1)(x-2)8、 求根法令多项式 f(x)=0, 求出其根为 x ,x ,x , x则 ,多项式可因式分解为 f(x)=(x-x )(x-x )(x- x ) (x-x ) 例 8、分解因式 2x +7x -2x -13x+6 解：令 f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知， f(x)=0 根为 ，-3， -2， 1 则 2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、 图象法令 y=f(x) ，做出函数 y=

6、f(x) 的图象，找到函数图象与 X 轴的交点 x ,x ,x , ，x 则多项式可因式分解 为 f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x- x ) (x-x )例 9、因式分解 x +2x -5x-6 解：令 y= x +2x -5x-6 作出其图象，见右图，与 x 轴交点为 -3， -1， 2 则 x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。例 10 、分解因式 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定 a 为主元，将其按次数从高到低排列 解： a (b-

7、c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) a -a(b+c)+bc=(b-c)(a-b)(a-c)11、 利用特殊值法将 2 或 10 代入 x，求出数 P ，将数 P 分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数 写成 2或10 的和与差的形式，将 2或 10 还原成 x，即得因式分解式。例 11 、分解因式 x +9x +23x+15解：令 x=2，则 x +9x +23x+15=8+36+46+15=105将 105 分解成 3 个质因数的积，即 105=3 57 注意到多项式中最高项的系数为 1，而 3、5、7

8、分别为 x+1 ， x+3 ，x+5，在 x=2 时的值 则 x +9x +23x+15= (x+1 )( x+3 )( x+5 )12从而把多项式因式分解。、待定系数法 首先判断出分解因式的形式， 然后设出相应整式的字母系数， 求出字母系数， 例 12 、分解因式 x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设 x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则 x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)提公因式

9、法 形如 ma mb mc m(a b c)运用公式法 平方差公式： a2 b2 (a b)(a b) ， 完全平方公式： a 2 2ab b2 (a b)22 2 2 2a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca a b c一、填空题：2(a 3)(3 2a)= (3 a)(3 2a)；12若 m23m2=(ma)(mb) ，则 a= ，b=_15当 m= 时，x22（m3）x25 是完全平方式二、选择题：1下列各式的因式分解结果中，正确的是Aa2b7abbb（a27a）B3x2y3xy6y=3y（x 2）（x 1）C8xyz 6x2y22xyz（4 3xy）D2a24ab6ac 2a（a2b

10、3c）2多项式 m（n2）m2（2n） 分解因式等于A（n 2）（m m2） B （n 2）（mm2）Cm（n2）（m1） D m（n2）（m1）3在下列等式中，属于因式分解的是Aa（x y） b（mn） ax bmaybnBa22abb21=（ab） 21C4a29b2（ 2a3b）（2a 3b）Dx27x8=x（x 7） 84下列各式中，能用平方差公式分解因式的是Aa2b2 B a2b2Ca2b2 D（ a2） b25若 9x2 mxy16y2 是一个完全平方式，那么 m的值是A12 B 24C12D 126把多项式 an+4 an+1 分解得Aan（a 4 a）Can+1（a 1）（a

11、2 a1）B an-1 （a31）Dan+1（a 1）（a 2 a1）B7D12B x=1，y= 3Dx=1， y=37若 a2a 1，则 a42a33a24a3 的值为A8C108已知 x2 y22x6y10=0，那么 x，y 的值分别为Ax=1，y=3Cx= 1， y=39把（m23m）48（m23m）216 分解因式得C（x 22）（x 2 1）D（x 2 2）（x 1）（x1）14多项式 x2axbxab 可分解因式为B （x a）（x b）D（x a）（x b）A （x a）（x b）C（x a）（x b） 15一个关于 x 的二次三项式，其 x2 项的系数是 1，常数项是 12，且

12、能分解 因式，这样的二次三项式是Ax211x12 或 x2 11x12Bx2x12或 x2x12Cx2 4x12 或 x24x 12D以上都可以16下列各式 x3x2x1，x2yxyx，x22xy21，（x 23x） 2（2x 1） 2中，不含有 （x 1）因式的有A1 个 B 2 个C3个 D4 个17把 9x212xy36y2 分解因式为A（x 6y3）（x 6x3）B（x 6y 3）（x 6y3）C（x 6y 3）（x 6y3）D（x 6y 3）（x 6y3）18下列因式分解错误的是Aa2 bcacab=（a b）（a c）Bab5a3b15=（b 5）（a 3）Cx23xy2x6y=（

13、x 3y）（x 2）Dx26xy19y2=（x 3y 1）（x 3y1）19已知 a2x22xb2是完全平方式，且 a，b都不为零，则 a与 b的关系为A互为倒数或互为负倒数 B 互为相反数C相等的数 D任意有理数20对 x44 进行因式分解，所得的正确结论是A不能分解因式 B 有因式 x22x2C（xy 2）（xy 8） D（xy 2）（xy 8）21把 a4 2a2b2b4a2b2 分解因式为A（a2b2ab）2 B（a 2b2 ab）（a 2b2ab）C（a2b2ab）（a 2b2ab） D（a2b2ab）222 （3x 1）（x 2y）是下列哪个多项式的分解结果A3x26xyx 2y

14、B 3x26xyx 2yCx2y 3x26xy Dx2y 3x26xy2364a8b2 因式分解为A（64a 4 b）（a 4b） B （16a2b）（4a 2b）C（8a4b）（8a 4b） D（8a2b）（8a 4b）249（xy） 212（x2y2）4（xy） 2因式分解为A（5x y） 2 B（5x y） 2C（3x 2y）（3x 2y） D（5x 2y） 225（2y 3x） 22（3x 2y） 1 因式分解为A（3x2y1）2 B（3x 2y1） 2C（3x2y1）2 D（2y 3x1） 226把（a b）24（a2b2） 4（a b） 2分解因式为B（3ba）2D（3ab）2A（

15、3ab）2C（3ba）2二 xq Ae)(Aq + Xe)CN+ W (Xq Ae) + e (Aq + Xe) 6fCMq 寸qe8+xe 寸2XOoLZ9 +Z(XIA)QL +B(AIX) L二 + (0IX)X0 + 2(X0I2X) 9-(q e)3 + (eo)s+ (。q)2e gLOBe0 +0qcoel(8 +2q+ Beoqe 寸COAX + ACOX0寸 AQ寸 X Ooqe(oe+oq +qe)e d+d (b dxu L(o0 q + e)(o0 + q + e)0 Q (。寸q+ e0)(o 寸+q + e0) O(。 q+ e)(o+q + e)0 8 (o0 q

16、 + e)0CQ寸QQCciQ6OTI66KB &。8 卅0 +qe 寸+水2 3o Oo(A寸I灭3o W (。e)B+ (。+ q)(。e)qe0 2 (。+ q)*SK510 （1 a2）（1 b2） （a21）2（b21）2；11（x 1） 29（x 1）2；12 4a2b2 （a 2b2 c2） 2；13ab2ac24ac4a；14x3ny3n；15（x y） 3125；16 （3m2n） 3 （3m2n） 3；17x6（x2y2）y6（y 2x2）；188（x y） 31；19（abc） 3a3b3c3；20x24xy3y2；21x218x144；22 x42x28；23 m418

17、m2 17；24x52x38x；25x819x5216x2；26（x 27x） 2 10（x 27x） 24；2757（a1）6（a1）2；28（x 2 x）（x 2x1）2；29x2y2x2y24xy1；30（x 1）（x 2）（x 3）（x 4） 48；31x2y2xy；32 ax2 bx2 bx ax3a 3b；33m4m21；34a2b22acc2；35 a3ab2ab；36625b4（ab） 4；37x6y63x2y43x4y2；38x24xy4y22x4y35；39m2a24ab4b2；405m5nm22mnn2四、证明 （求值） ：1已知 ab=0，求 a3 2b3 a2b2ab

18、2 的值2求证：四个连续自然数的积再加上 1，一定是一个完全平方数3证明： （ac bd）2（bc ad） 2=（a 2b2）（c 2d2） 4已知 a=k3，b=2k2，c=3k1，求 a2b2c22ab 2bc2ac 的值5若 x2mxn=（x3）（x 4），求（mn）2 的值6当 a 为何值时，多项式 x27xyay25x43y24可以分解为两个一次因 式的乘积7若 x ，y 为任意有理数，比较 6xy 与 x29y2 的大小18两个连续偶数的平方差是已知 2x y ， xy 2，求 2x4y3 x3 y4的值。9、已知 a b 2，求 （a2 b2） 2 8（a2 b2） 的值10、（

19、 1）已知 x y 2, xy 2，求 x2 y2 6xy 的值；1（2）已知 x2 y2 1, x y ，求 x y的值；1 3 2 3 2 2 3（3）已知 a b ， ab ，求（ 1） （a b）2 ；（2） a3b 2a2b2 ab 32822（4）已知 4x2 16y2 4x 16y 5 0，求 x+y 的值；11、先分解因式，然后计算求值： （本题 6 分）22（ a2+b2 2ab） 6（a6）+9，其中 a=10000，b=9999。2212、已知 m n 8，mn 15，求 m2 mn n2 的值。13. 已知： a 2 a 1 0，(1) 求 2a2 2a 的值；(2) 求 a 3 2a 2 1999 的值。x2 y 214、已知 x(x 1)(x2y) 2求 x y xy的值2