植物大战僵尸数学建模.docx

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植物大战僵尸数学建模

数学建模竞赛论文

论文题目：

人机游戏中的数学模型

队长：

赵鹏学号：

1021010129学院：

理学院

队员1：

赵阳学号：

1021010130学院：

理学院

队员2：

刘阳学号：

1021010208学院：

理学院

联系电话

2012年5月1日

摘要：

计算机游戏在社会和生活中享有特殊地位。

游戏设计者主要考虑易学性、趣味性和界面友好性。

趣味性是本质吸引力，使玩游戏者百玩不厌。

计算机游戏其实可以划分为一个数学模型。

“植物大战僵尸”游戏就是一个简单模型的数学模型。

问题一:

建立数学模型，把已知的条件转化为数学的语言，将各个单位的联系用数学式子表达，将各单位的关系用数学逻辑描述。

问题二：

当豌豆的频率和僵尸的步频相等且不变时，要让计算机永远不会赢，那么在游戏进行到一定的时间后，僵尸将在同一地点死亡，而豌豆和僵尸也将以一固定的模式进行循环。

利用豌豆打死僵尸所用的时间等于僵尸行走的时间，求出最小的时间间隔。

问题三：

种植豌豆荚的方式一共有九种，将每种方式分别列出，把各种种植方法豌豆荚打死僵尸所发出的豌豆排列成阵列，计算出各个方式所用的时间，求出运用的豌豆荚最少且僵尸的时间间隔最短。

问题四：

将不同的豌豆荚和向日葵的种法分别列出，在此种法的基础上，推出僵尸最小的时间间隔，并且游戏过程紧张充实的游戏模式。

比较各种游戏模式，选出最佳方案，在此基础上，求出破解游戏的种植方法。

1、问题重述

计算机游戏在社会和生活中享有特殊地位。

游戏设计者主要考虑易学性、趣味性和界面友好性。

趣味性是本质吸引力，使玩游戏者百玩不厌。

网络游戏一般考虑如何搭建安全可靠、丰富多彩的交互平台。

人机游戏主要是考虑如何设计模型和算法，使其难度、趣味性达到恰当的平衡，玩家感觉既有难度，又有解决的信心。

设计者既要像导演，规划玩家的行为，又要加入一定随机因素，使玩家觉得不是简单重复。

所以在游戏创意和模型确定下来后，参数选择和优化变得非常关键。

现在考虑“植物大战僵尸”游戏中的一些简单模型（参赛者不必更深入地了解该游戏）。

现在只有三种角色：

向日葵、豌豆荚和一种僵尸。

向日葵产生阳光，用鼠标点击阳光才能将其收集存储，过一定时间不点击阳光就会消失。

种植向日葵和豌豆荚需要花费阳光；豌豆荚当其所在格或右侧有僵尸存在时一粒一粒地发射豌豆，每个豌豆荚内的豌豆数量无限；豌豆向右飞行，打击飞行路线上的僵尸，豌豆不受向日葵和豌豆荚的阻挡，但不能射穿僵尸；僵尸只从屏幕最右边产生，沿着直线从右向左行进，它要吃掉沿途遇到的向日葵和豌豆荚，但会被豌豆打死立即消失。

僵尸走到屏幕最左边，则计算机获胜，游戏结束。

屏幕上的游戏场地是横平竖直、大小相等的网格，一个格内只能种植一株豌豆荚或向日葵，但可以有任意多个僵尸。

假设僵尸3步走一个格，豌豆荚发射豌豆的频率与僵尸的步频相等，豌豆飞行6格的时间僵尸走一步，僵尸被9粒豌豆打中立即消亡。

僵尸走到豌豆荚或向日葵所在的格开始吞噬，用走3步的时间将其吃掉。

向日葵产生1朵阳光所用时间僵尸恰好走4个格，僵尸走1格的时间不点击阳光，阳光就会消失。

2朵阳光可以种植1株向日葵，4朵阳光可以种植1棵豌豆荚。

场地只有从左至右的9个格。

1.将以上假设用更简洁明了的方式进行复述；

2.场地只在最左边的1个格内有豌豆荚，没有向日葵和阳光。

问最小多大间隔产生1个僵尸，计算机永远不会赢？

3.场地在最左边的若干格内种有豌豆荚，没有向日葵和阳光，等间隔每次 产生1个僵尸。

问最少种几棵豌豆荚，使产生僵尸的间隔最小，而计算 机永远不会赢。

4.假设游戏开始时有6朵阳光，每次产生1个僵尸。

请设置最佳的种植方案和僵尸产生方案，使计算机永远不会赢，并且游戏紧张有趣。

二、问题分析

1.为建立合理的数学模型，用简单的数学语言表达出各个单位的相关联系，用数学符号和计算等式将语言逻辑关系用数学等式表达，建立数学模型。

2.在豌豆荚只有一颗且固定在最左边，僵尸和豌豆的频率都一样，要让计算机都不能胜利，则当游戏的时间足够长时，每一个僵尸都在同一地方死去，九颗豌豆将僵尸打死的时间等于僵尸产生的间隔时间。

3.一共有九个格子，把种植豌豆荚的个数和豌豆攻击僵尸的数量列出矩阵，分别计算出种植不同豌豆荚个数时僵尸产生的最小间隔，比较各个间隔的大小。

三、符号说明

符号

含义

产生僵尸的时间间隔

发射豌豆和僵尸步距的时间间隔

僵尸行走速度

豌豆飞行速度

四、模型假设

1.向日葵种下就开始计时。

2.只有向日葵能产生阳光。

3.豆子飞出的起算点为种有豌豆荚格的边线。

4.僵尸死的点都是1/3格的倍数。

5.植物被不同的僵尸吃，时间可以累加。

6.在豌豆荚没被僵尸吃完的情况下，不影响豌豆发射。

五、模型建立与求解

1问题一：

假设僵尸每走一步所需的时间为t，则每走一格所需的时间为3t。

豌豆飞行6格的时间为僵尸走一步的时间，所以

僵尸行走的速度为：

豌豆飞行的速度为：

；

僵尸吞掉一株植物的时间为：

；

向日葵产生一朵阳光的时间为：

阳光从产生到消失的时间为：

产生2朵阳光（即种一株向日葵）的时间为：

产生4朵阳光（即种一棵豌豆荚）的时间为：

僵尸从左变走到右边的时间为：

2问题二：

只有一颗豌豆，并且种植在最左边，要让计算机永远不能胜利，那么，当游戏进行到足够的时间后，僵尸都在同一地点死亡。

豌豆把僵尸打死的时间等于产生僵尸的时间。

前后僵尸的距离为：

前后发射豌豆的距离为：

当前一颗豌豆将僵尸打死，后一颗豌豆打到僵尸的时间为：

后八颗将僵尸打死所用的时间为：

豌豆把僵尸打死的时间等于产生僵尸的时间，则有：

将等式化简得到：

3问题三：

在一排中一共有九个格子，就有九种种植方案，将不同的方案分别列出，求出产生僵尸的间隔时间，比较其大小，使得种植的豌豆最少且僵尸的时间间隔最小。

种植豌豆的颗数

打死僵尸每颗豌豆荚发出的豌豆

一颗

9

两颗

4

5

三颗

3

3

3

四颗

2

2

2

3

五颗

1

2

2

2

2

六颗

1

1

1

2

2

2

七颗

1

1

1

1

1

2

2

...

种植一颗豌豆将僵尸打死用时间：

种植两颗豌豆将僵尸打死用时间：

种植三颗豌豆将僵尸打死用时间：

种植四颗豌豆将僵尸打死用时间：

种植五颗豌豆将僵尸打死用时间：

种植六颗豌豆将僵尸打死用时间：

种植七颗豌豆将僵尸打死用时间：

种植八颗豌豆将僵尸打死用时间：

2.3t

种植九颗豌豆将僵尸打死用时间：

不满足

由计算推出，种植八颗豌豆和九颗豌豆不能满足题目要求。

显然，要让种植的豌豆数量和僵尸的间隔时间都尽可能小，由最优化理论得当种植四颗豌豆时，满足题目要求。

4问题四：

要让计算机永远不能赢，则要僵尸有足够的时间发射豌豆打击僵尸。

为了让游戏变得紧张有趣，那么，让僵尸都尽可能的在开始吃植物的时候被豌豆打死。

为了使游戏难度加大，尽可能的减小僵尸的间隔时间。

从游戏的规则上看，向日葵应种在最左边防止被僵尸吃掉。

利用现有的六朵阳光，种植的方案可以有三种。

方案一：

种植三株向日葵。

方案二：

种植两株向日葵，剩余两个阳光。

方案三：

种植一棵向日葵，一颗豌豆。

假定只有一颗豌豆攻击僵尸，在僵尸到达豌豆荚区格时僵尸被豌豆打死，那么，在这种情况下，僵尸和豌豆的间隔距离为3格，僵尸行走的时间为

。

为方便说明，给九个格子进行编号。

编号如下：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

对于方案一，计算最紧张的游戏方案：

为了能有足够的太阳花种植豌豆并且打死僵尸，需要

（其中

为种出豌豆的时间，

为豌豆打死僵尸用的时间）的时间。

据此推算，从游戏开始，僵尸出现的时间为

，即当游戏开始

后僵尸出现，

后僵尸走到七号格子，此时豌豆种在四号格子。

由于方案一游戏开始

后僵尸才出现，从游戏的一开始就出现了游戏不紧张的情况。

对于方案二，计算最紧张的游戏方案：

种植两颗向日葵在1、2号格子，剩下两个阳光。

产生阳光的时间为

，将豌豆种在三号格子。

为了让僵尸恰好在四号格子死去，那么，从僵尸游戏开始时，僵尸出现的时间为

。

只有一个豌豆，所以将僵尸出现的时间间隔定为

。

当第三个僵尸走到五号格子时，出现四个太阳，在第三个僵尸死后，将豌豆荚种在四号格子，此时两个豌豆荚打死一个僵死用时为

，而第四个僵尸在七号格子。

所以，从第五个僵尸开始，设置僵尸的时间间隔为

。

同理，当第七个僵尸走到五号格子时一，有四个阳光。

第七个僵尸死后，将豌豆种在五号格子。

此时种有三颗豌豆荚，打死一个僵尸用时为

，所以，第七个僵尸之后，僵尸的间隔时间为改为

。

以这样的游戏规则，游戏相对较为紧张连续。

对于方案三，计算最紧张的游戏方案：

在只有一颗向日葵的情况下，要过

才能产生4个阳光，产生阳光将豌豆荚种下才能改变僵尸的间隔时间，由于

时间过长，在游戏开始时就会出现不紧张的情况，不符合要求。

针对以上各个方案的时间情况，设计游戏方案：

僵尸在游戏开始

后出现，僵尸出现的时间间隔为

，在

（第四个僵尸）后僵尸的时间间隔为

，在

（第七个僵尸）后，僵尸的时间间隔为

，之后时间间隔恒定。

游戏设定，当玩家种下五颗豌豆荚后玩家胜利。

种植方案：

游戏开始在1、2号格子种下向日葵，在3号格子种下豌豆荚。

在出现足够的阳光后将豌豆荚种下，直到游戏胜利。

六、模型结果分析与检验

1问题一：

在题目中其实已经给出了大量的数据，要把这大量的文字语言转化为数字语言，才能更简洁明了。

因此我们就把题目所给出的条件用数学的表达式来复述，为后面的模型建立提供方便。

2问题二：

在只有一颗豌豆荚又没有向日葵的的情况下，只有保证出现的僵尸在最后都死在同一点上，计算机才永远不会赢。

结果中的t是一个定值，所以T也是定值。

3问题三：

用假设的方法列出n（1≤n≤9）颗豌豆荚的打法，通过比较得出种4颗豌豆荚的时候打死僵尸所用的时间是最少的，结果很显然是种4颗豌豆荚的时候是所种的豌豆荚尽可能少和僵尸的间隔时间尽可能小。

4问题四：

题目中给了6多阳光，就有3种选择的方案。

方案一和方案三在刚开始僵尸的出现频率要很慢才有机会种豌豆荚，这样游戏就比较乏味了。

方案二中僵尸出现的频率在不断的加快又刚好死在植物的前一格，这样计算机永远不会赢，而游戏又紧张。

七、模型评价与改进方向

1优点：

1、该模型用简单的符号代替各数值，将题中各数值的关系转换为简单的代数关系式，运用简单的数学方法进行求解，简单明了；

2、问题三中运用极值法，将各个方案列出，得出一定范围内的最小值，即为最小的时间间隔，运用此法计算出的结果较为准确；

3、该模型的假设较为合理，可以联系实际操作。

2缺点：

1、该模型都是在理想的条件下进行游戏，没有考虑玩家自身的因素对游戏的输赢的影响；

2、该模型考虑较为片面，模型设计比较简单，我们可以运用类似此方法考虑更多的植物或障碍物，和不同速度的僵尸等，将游戏推广成为到更大型的单机游戏或网游。

八、参考文献

（1）姜启源，谢金星，数学模型第三版，北京：

高等教育出版社，2003。

（2）韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：

高等教育出版社，2005。

（3）洪毅，林健良，陶志惠，《数学模型》，高等教育出版社，2004.

（4）英文版论文摘要采用在线翻译。