中考复习特殊三角形含答案.docx

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中考复习特殊三角形含答案

特殊三角形

◆考点链接

1．等腰（等边）三角形的判定定理与性质定理．

2．直角三角形的判定与性质．

3．勾股定理的应用．

◆典例精析

【例题1】判断题：

（正确的画“∨”，错误的画“×”）

（1）若三角形中最大的内角是60°，那么这个三角形是等边三角形；（）

（2）等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形；（）

（3）等腰三角形两腰上的高相等；（）

（4）等边三角形的三条高相等；（）

（5）等腰三角形的角平分线垂直且平分对边；（）

（6）顶角相等的两个等腰三角形全等．（）

评析：

本题主要考查等腰三角形的性质与判定．

（1）三角形有一角为60°时，另两角和是120°，若其中之一小于60°，必有另一个大于60°，与最大角为60°相矛盾．

（2）等腰三角形一腰上的中线不一定等于腰长的一半．（3）（4）应用等腰（等边）三角形的性

质，通过三角形面积的不同表示方法可证明．（5）当等腰三角形腰和底不相等时，底角的平分线不垂直平分对边．（6）?

和等腰三角形底边平行的直线截得的等腰三角形与原三角形顶角相等，但不全等．

答案：

（1）∨

（2）×（3）∨（4）∨（5）×（6）×

评析：

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，等腰三角形的“三线合一”在等边三角形中就都成立，这是因为在等边三角形中，每个顶点都可以视作等腰三角形的顶点．

【例题2】

（1）已知：

a、b、c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+50=60a+8b+10c，试判断△ABC的形状．

（2）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂中为D点，且CD2=AD·BD，求证：

△ABC?

为直角三

角形．

解题思路：

由三角形的三边的数量关系来判断三角形是否是直角三角形，或用于构造

直角三角形证明两直线垂直，一般与勾股定理和代数式、方程相结合，综合运用．特别是由一个等式求三角形的三边长时，往往把等式化为A2+B2+C2=0的形式，再由A=0，B=0，

C=0，求得三角形三边的长，再用于计算或判断．

222

（1）解：

∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，

222

∴a-6a+9+b-8b+16+c-10c+25=0，

222

∴（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0，

∴a-3=0，b-4=0，c-5=0，

222

∴a=3，b=4，c=5，∴a+b=c，

∴△ABC为直角三角形．

（2）证明：

∵CD⊥AB，

222222

∴AD2+DC2=AC2，DB2+DC2=BC2．

222222

∴AC2+BC2=AD2+DB2+2DC2，∵DC2=AD·DB，

222222

∴AC2+BC2=AD2+DB2+2AD·DB=（AD+DB）2=AB2．

∴△ABC为直角三角形．

评析：

（1）对于原等式关键处是化为A2+B2+C2=0的形式，对常数项拆项的依据是一次

项系数的一半的平方．

（2）本题的解答在于反复应用勾股定理及其逆定理，?

先分别在Rt

△ACD和Rt△BCD中使用勾股定理，再依据已知条件，进而求得AC2+BC2=AB2，?

利用勾

股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形．

【例题3】（北京）如图，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．

（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．

2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？

简述理由，并求出面积的最大值．

解题思路：

（1）木棍在滑动过程中，OP始终是Rt△AOB斜边中线，故为斜边AB?

的一半，而AB的长为定长，所以OP不变．

（2）木棍在滑动的过程中，斜边上的高在发生变化，因为AB为定值，当高最大时，△AOB的面积为最大，所以当OP⊥AB（即OA=O）B?

时，?

△AOB面积最大．

解：

（1）不变．理由：

在直角三角形中，因为斜边AB?

的长不变，?

由性质有斜边中线

OP长不变．

2）当△AOB的斜边AB上的高h等于中线OP时，△AOB的面积最大，如图，若h与

OP不相等，则总有h

此时，

S△AOB=1AB·h=1×2a·a=a2．

22

所以△AOB的面积最大值为a2．

评析：

（1）在变化过程中，要抓住不变量，建立起所求量与不变量的关系．

（2）要求面积的最大值转化为三角形底不变，高是变量，即找出高的变化的最大值即得．

◆探究实践

【问题1】已知△ABC的两边AB、AC长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．

（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；

（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．

解题思路：

（1）用根与系数的关系、勾股定理建立方程求解，?

再用判别式和根与系

数的关系检验．

（2）用求根公式和等腰三角形的性质求解．

解：

（1）根据一元二次方程根与系数的关系和勾股定理，可列方程组：

ACAB2k3

ACABk23k2

AC2AB252,

222

∵AC+AB=（AC+AB）-2AC·AB．

22

∴25=（2k+3）2-2（k2+3k+2），

∴k1=-5，k2=2．

当k=-5时，方程的两根为负值，不合题意，舍去．

∴k=2，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．

22

（2）∵△=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1>0，方程有两个不相等的实数根，∴AC≠AB．

22

当AB=BC或AC=BC时，将x=5代入方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0，k=3，k=4．

2

k=3时，方程为x2-9x+20=0，x1=4，x2=5．△ABC的周长为14．

2

k=4时，方程为x-11x+30=0，x1=5，x2=6．△ABC的周长为16．

评析：

这是一道综合题，涉及知识较多，一元二次方程的解法，一元二次方程根与系数关系，根的判别式，勾股定理，因为没指明等腰三角形的底和腰，不要漏解．另外，求解以后要检验，如三角形的边不能为负值，那么方程的解为负值即不合题意舍去，再如，求出的三边是否满足三角形三边之间的关系定理，不满足的也要舍去．

【问题2】如下左图，图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长

分别为a和b，斜边的长为c．图②是以c为直角边的等腰直角三角形，?

请你开动脑筋将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．

（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；

（2）用这个图形证明勾股定理；

（3）假设图①中的直角三角形有若干个，你能运用

（1）?

中所给的直角三角形拼出

另一种能证明勾股定理的图形吗？

请画出拼后的示意图（无需证明）．

解题思路：

由所给出的三个图形拼成直角梯形，抓住面积来证明勾股定理．

解：

（1）如上右图是所拼的图形，它是直角梯形．

11212

又∵S梯形=ab×2+c2=ab+c2，

222

11

∴（a+b）2=ab+c2，整理得a2+b2=c2．22

（3）拼出能证明勾股定理的图形．（图略）评析：

这是考察学生综合能力的一个题目，证明勾股定理的方法很多，而本题给出了三个直角三角形，分析直角三角形的边，用面积关系得出勾股定理的一种证明方法．◆中考演练

一、填空题

度．

二、选择题

1．如图2，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=A，D则∠A的度数为（）．

A

．30°B．36°C

．45°D

．70°

2．下

列命题中，错误的是（

）．

A

．等边三角形的各边相等，

各角相等

B．等边三角形是一个轴对称图形

C

．等边三角形是一个中心对称图形

D．等边三角形有一个内切圆和一个外接圆

3．如图3，在△ABD中，∠D=90°，C为AD上一点，则x可能是（）．

A．10°B．20°C．30°D．40°

三、解答题

1．如图，已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB中点，E、F?

分别在AC、BC

2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为

F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．

1）求证：

AE=CD：

（2）若AC=12cm，求BD的长．

◆实战模拟

一、填空题

1．底角为15°，腰长为a的等腰三角形的面积是

2．?

等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，?

则这个等腰三角形的顶角度数为

3．如图，D为等边三角形ABC内一点，DB=DA，BP=AB，∠DBP=∠DBC，

则∠BPD的度数是．

二、选择题

1．（宿迁）如图6的三角形中，若AB=AC，?

则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）．

2．如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）．

A．45°B．55°C．60°D．75°3．三角形两边的长为6和8，第三边长为方程x2-16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（）．

A．24B．24或85C．48D．85

三、解答题

1．（兰州）如图所示，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于O点，给出下列四个条件：

①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．

（1）上述四个条件中，

哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形．（?

用序号数写出所

有情况）

（2）选择

（1）中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．

2．（吉林）如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ABC=90°，AB=4，BC=6，∠DEF=90°，DF=EF=4．

（1）移动△DEF，使边DE与AB重合（如图①）．再将△DEF沿AB?

所在直线向左平移，使点F落在AC上（如图②），求BE

的长．

（2）将图②中的△DEF绕点A顺时针旋转，使点F落在BC上，连接AF（如图③）．请找出图中的全等三角形，并说明它们全等的理由．（不再添加辅助线，不再标注其他字母）

答案:

中考演练

一、1．122．40°3．30°

二、1．B2．C3．B

三、1．连结CD，证△ADE≌△CDF

2．

（1）证△AEC≌△CDB

（2）6cm

实战模拟

12

一、1．a22．30°或150°3．30°

4

二、1．D2．C3．B

三、1．①③，①④，②③，②④

（2）略

84

2．

（1）BE=AB-AE=4-=，Rt△AEF≌△FBA，证略．

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