考研数学高数习题集及其答案文登.docx
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考研数学高数习题集及其答案文登
填空题
1.已知f（X）
sinx,f[
（x）]1
x***2,则（x）
定义域为
解.f[（x）]
sin（x）
1x2
2
（x）arcsin（1x）
x2
x22,
|x|2
2•设lim
x
ax
a
tetdt，则a=
解.可得
3.lim
n
a
tetdt=（tet
et）
aae
ea,所以a=2.
_2_
1n2n
解.r
2
nnn
1
<2
nn1
12
所以2.—
nn
2
2
n
n
2
nnn
2
n2n2
n1
<
nnn
n（1n）
2
nnnn
<
2
nnn
2
n
n1
12
所以
lim
n
4.已知函数
f（x）
|x|
|x|
1
则f[f（x）]
1
2
2
nnn
n（1n）
1
5.lim（.n3n
n
、nn）（、n3-.n.n、n）
n3.n‘nn
=limn
n
n3n,nn
1ax、
6.设当x0时，f（x）ex为x的3阶无穷小，则a
ax
X
e
bx
ax
ax
X
X
e
bx
2b
X
a）
mo
HX
X
X
bxe
bx
bx
be
mo
HX
be
2
（e
叫
z<
由
X
e
2b
（e
11
7.limcotx-
x0sinxx
cosxlim
x0sinx
xsinx
xsinx
xsinxlim
x0
1cosxlim2—
x03x
lim沁
x06x
8.已知lim
n
1990
n
kk
n（n1）
A（0）,则a=
lim
n
1990
n
kz\k
n（n1）
lim
n
1990
n
ir~i~kn
1
1991
11
所以k-仁1990,k=1991;A,A-
kk
二.选择题
且f（x）0,（x）有间断点，则
1.设f（x）和（x）在（-,+）内有定义，f（x）为连续函数，
（a）[f（x）]必有间断点（b）[（x）]2必有间断点（c）f[（x）]必有间断点（d）凶必有间断点
f（x）
解.（a）反例
（x）
|x|
|x|
1
f（x）=1,则[f（x）]=1
1
（b）
反例
（x）
1
[（x）]2=1
1
（c）
反例
（x）
|x|
|x|
f（x）=1,则f[（x）]=1
（d）
反设
g（x）=
（x）f（x）
在（-,+）内连续，则（x）=g（x）f（x）在（-,+）内连续，矛盾.所以（d）是答案.
2.设函数
f（x）
xtanx
sinx
e,则f（x）是
3.函数f（x）
|x|sin（x电在下列哪个区间内有界
x（x1）（x2）2
（a）（-1,0）
（b）（0,1）
解.limf（x）
x1
（c）（1,2）（d）（2,3）
弩，f（0）
4
lim0f（x）,f（0）
x0
sin2
所以在（-1,0）中有界，（a）为答案.
4.当x1时，函数
21
x1廿
ex1的极限
x1
（a）等于2
（b）等于
（c）为
（d）
不存在，但不为
2
x解.lim
x1x
1
1-
-ex1
1
lim（x
1）e
0
.（d）为答案.
0
5.极限lim
n
22
5
2232
2n
（a）0
（b）1
（c）2
（d）不存在
解.lim
n
=lim
n
6.设lim
x
1222
22
32
1
1
1
22
22
于
z八95,
八5
（x1）（ax
1）
/250
（x1）
1
~~2
n
（a）1
（b）2
（c）垃8
（d）
lim
x
95
（x1）（ax
250
（x1）
=lim
x
（1
7.设lim
x
2n1
（n1）2
1
（n1）2
均不对
^=lim
x
95
1/x）（a
250
（11/x）
1/X）5
（x1）（x2）（x3）（x
（3x2）
的值是
lim
所以（b）为答案.
（x1）95/x95（ax
1）5/X5
4）（x
（x2
5）
1）50/x100
58,所以（c）为答案.
则，的数值为
1
3
解.（c）为答案.
（a）=1,
（b）
3（c）
=5,
（d）均不对
8.设f（x）2x
3x
2,
则当x0时
（a）f（x）是x的等价无穷小
（c）f（x）比x较低价无穷小
（b）f（x）是x的同阶但非等价无穷小
（d）f（x）比x较高价无穷小
232
解.lim=lim
x0x0
皿也ln3,所以（b）为答案.
解.lim（1
x0
（1x）（1
2x）（
13x）a
X
（b）1
（c）2
（d）3
1x）（1
2x）（1
3x）a
atan
xb（1
cosx）
1cln（1
2x）（
2
d（1ex）
（b）b=-
-4d
（c）a=4c
atan:
xb（1
cosx）
（a）-1
（a）b=4d
10.设00
2
6,贝Ua的值为
0,1+a=0,a=—1,所以（a）为答案.
2,其中
（d）a=—4c
0，
则必有
解.2=lim
x0cln（12x）
d（1ex
=Xm
a
2~
COSX
2c
bsinx
三.计算题
1.求下列极限
（1）
lim
X
（x
1
X\X
e）x
lim
X
（X
1
eX）M
ln（xex）
limex
X
lim
ex
lim（sin—
X
cos^）x
X
12x
ln（xex）
x
2xdeX
X
1elim
X
exe
lim（sin
X
cos}
X
lim（sin2y
y0
1
cosy）y=e
ln（sin2ycosy）lim-y0
lim
x0
tanx
1sinx
lim
x0
1tanx
丿X3
sinx
lim
x0
tanxsinx
1
X3
sinx
Xm0
tanx
sinx
sinxtanx
sinx
sinx
tanxsinx（1sinx）x3
tanxsinxlim
x0
=e
X3
sinx（1lim
X0X3
=e
cosx）
2Xsinx2sin-lim2
x0
=e
x3
1
e2.
2.求下列极限
ln（13x1）
解.当x1时，ln（1
X1）
a
所以a=—4c,所以（d）为答案.
2c
e1e
2cos2ysinylim
y0sin2ycosy
e
e2
arcsin23x21~2%x21
按照等价无穷小代换
⑵lim
x0
cot2x
解.方法
lim丄
x0x2
cot
=lim
x0
（x2
=00
lim—
x12^x2
=00
2
1）cosx
~4
x
2xcos2xsin2x
4x3
lim
x
2
cos
~2sinx
=lim
x0
=lim丄竺
x0
2x4xcosxsinx
12x2
2cos2x2cos2x=lim
x0
12x2
2sin2x=lim
x024x
方法2:
cot
=lim
x
=00
（x2
2
cosx
4
x
1）
=00
=00
1
2（x
2
1）（1
=00
1^（2x
2
24
x
=x叫◎
x0x
3.求下列极限
（1）lim—（n.n
nInc
Inn
解.lim
n
—（；nlnn
1
123x
=00
2x
.2sin
2
cosx
1
2[2
22
xxcosx
~2~~2
xsinx
2
2（x1）cosxsinx
^x3
2x2cosxsinx
4x3
2cos2x1
4cosxsinx4sin2xlim
x0
2
cosx
—~2~sinx
=0。
2（x
24x
.22:
sinxxcos
2~~2
xsinx
1）（cos2x1）
x4
（2x）2
2!
4
x
（2x）4
4!
0（x4）
242
22x422x2
1644
办x0（x））
lim
nInn“n
lim1
x0ln（1x）
lim
n
nx
e
nxe
lim
n
nxe
nx
1e
lim
n
n.an.b
lim
n
其中
a>0,b>0
1/n,cb/aalim
0
x
ae
limln（1°x）ln2
0
limln（1cx）
=aex0
ln2
x
ae
x
cInclim
01cx
、ab
2（1
cosx）
4.设f（x）
cost12dt
试讨论f（x）在x
0处的连续性与可导性
解■f'（0）
lim
x0
f（x）f（0）
x
lim
x0
丄xcost2dt1
x0
cost2dt
lim
x0
f'（0）
（1cosx）1
lim-—
x0x
lim
x0
2
2（1cosx）x
x3
lim
x0
2sinx2x
3x
lim
x0
2（cosx1）
6x
所以f'（0）0,f（x）在x0处连续可导.
5.求下列函数的间断点并判别类型
1
（1）f（x）
2x1
1
2x1
1
2x1
f（0）lim=
x0-
2x1
丄
2x1
解.f（0）lim?
1,
x0—
2x1
⑵f（x）
解.f（+0）=—sinl,f（-0）=0.
所以x=0为第一类跳跃间断点；
1limf（x）limsinX1X1X
-不存在.所以X=1为第二类间断点；
1
f（）不存在,而lim
2
x（2x）
-2cosx
2
，所以x=0为第一类可去间断点；
2
x（2xlimxk2cosx2
（k=1,2,…）
所以X=k为第二类无穷间断点.
2
6.讨论函数f（X）
.1
sin
x
0
在x=0处的连续性.
0
7.设
f（）
0时lim
x0
（X
0,lim（x
x0
1
sin）不存在，所以
x
1sin）0,所以
x
x=0为第二类间断点；
1时，在X=0连续,
f（x）在［a,b］上连续，且a<
C1f（X1）C2f（X2）
C1C2
X1
1时,X=0为第一类跳跃间断点.
Cn
证明:
令m=max{f（备）},m=min{f（xj}
所以mC1f（X1）C2f（X2）
Cn
C1C2
所以存在（aC1f（X1）C2f（X2）
Cn
Cn
C1C2
8.设f（x）在［a,b］上连续，且f（a）b,试证在⑻b）内至少存在一个，使f（）=.证明：
假设F（x）=f（x）-x,贝UF（a）=f（a）-a<0,F（b）=f（b）-b>0
于是由介值定理在（a,b）内至少存在一个，使f（）=.
9.设f（x）在［0,1］上连续，且0
f（X）
1,试证在［0,1］内至少存在一个，使f（）=.
证明：
（反证法）反设
[0,1],（x）f（x）x0.所以（x）f（x）x恒大于0或恒小于0.不妨设
X[0,1],（X）f（x）
0.令mmin（x），则m0.
2cosx
1sin——x21
因此X[0,1],（x）f（x）
11.证明方程x5-3X—2=0在（1,2）内至少有一个实根.
证明:
令F（x）=X-3x-2,则F⑴=-4<0,F
（2）=24>0所以在（1,2）内至少有一个，满足F（）=0.
12.设f（x）在x=0的某领域内二阶可导，且lim
x0
sin3x
3~x
f（x）
2
x
0,求f（0）,f'（0）,f''（0）及lim
f（x）3
2
x
解.啊
sin3x
3-x
f（x）
2
x
sin3xxf（x）lim
x0
x3
沁f（x）
X0.所以
x2
lim
x0
sin3x
f（x）
0.f（x）在x=0的某领域内二阶可导
所以f（x）,f'（x）在x=0连续.所以f（0）=-3.因为
sin3x
limx——2
x0x
f（x）
0,所以］叫
sin3x
3f（x）
x
3
-0,所以
f（x）3
lim2——
x0x
3sin3x=lim
x02x
f（x）
f'（0）lim
x0
lim
0
3sin3x
3
x
2
x
9
2
f（0）
lim
x0
3x
sin3x
lim33cos3x
x0
3x2
x0
lim
x0
f（x）
lim
x
f（x）
2
x
由lim"^
x0
9,将f（x）台劳展开，得
2
f（0）
lim
x0
122
f'（0）xf''（0）x20（x2）
2!
f''（0）
9.
x2
1f''（0）
甞于是
2导数与微分
填空题
1.设llm0
f（x°kX）f（x0）
-f'（x0）,则k=
3
解.klimf（x0kx）f（x0）
x0kx
1f'（x。
）,所以kf'（x0）
3
1
2.设函数y=y（x）由方程exycos（xy）0确定，则鱼
dx
解.exy（1y'）（yxy'）sinxy0,所以
xy
.ysinxye
y'
xy
exsinxy
3.已知f（—x）=—f（x）,且f'（
Xo）
k,则f'（Xo）
解.由f（—x）=—f（x）得f'（
X）
f'（x）,所以f'（x）f'（x）
所以f'（x°）f'（X。
）
f（x
4.设f（x）可导，则lim0
x0
x）f（xonx）
X
limf（X0mx）f（X0）f（X0）f（X0nx）
x0
=mlim
x0
X
f（X0mx）f（x°）..
--+nlim
X
f（X0nx）f（x°）
0
5.
f（x）
则f（n）（x）=
X
f'（x）
1
1x1x
（1）21!
（1x）2
11
（1X）
假设f（k）
k
（1）2k!
（1
x）k1，则
（k1）
（1）k12（k1）!
（1
\k1
X）
所以f（n）
（1）n2
（1
n!
n1
X）
6.已知3
dx
丄，所以
x
f'
令x2=2,所以
7.设f为可导函数，y
sin{f[sinf（x）]}
则3
dx
解.dxdx
f'（x）cosf（x）f'[sinf（x）]cos{f[sinf（x）]}
8.设y=f（x）由方程e
2xy
cos（xy）e1所确定，则曲线y=f（x）在点（0,1）处的法线方程为
解.上式二边求导e2x
（2
y'）（yxy'）sin（xy）0.所以切线斜率
y'（0）
1
法线斜率为一，法线方程为
2
二.选择题
1.已知函数
即x—2y+2=0.
f（x）具有任意阶导数
2
，且f'（X）[f（x）],则当n为大于2的正整数时，f（x）的n阶导数是
（a）n!
[f（x）]n（b）n[f（x）]n（c）[f（x）]n（d）n!
[f（x）]n解.f''（x）2f（x）f'（x）2!
[f（x）]3，假设f（k）（x）=k!
[f（x）]k1,所以
f（k1）（x）=（k1）k!
[f（x）]kf'（x）（k1）!
[f（x）]k2,按数学归纳法f（n）（x）=n!
[f（x）]n1对一切正整数成立.（a）是答案.
2.设函数对任意x均满足f（1+x）=af（x）,且f'（0）b,其中a,b为非零常数，贝U
（a）f（x）在x=1处不可导（b）f（x）在x=1处可导，且f'
（1）a
（c）f（x）在x=1处可导，且f'
（1）b（d）f（x）在x=1处可导，且
叫
-HX
=
1
/V
f
1-a
-f'
（1）,所以f'
（1）ab.（d）是答案
a
注：
因为没有假设f（x）可导，不能对于f（1x）af（x）二边求导.
3.设f（x）3x3x2|x|,则使f（n）（0）存在的最高阶导数n为
（a）0
（b）1
（c）2
（d）3
4x3
x0
解.
f（x）
3
f''（x）
2x
x0
f'''（0
）叫
f''（x）
f''（0）
x0
x
0
f'''（0
）lim
f''（x）
f''（0）
x0
x
0
所以
n=2,（c）是答案.
lim
x0
lim
x0
24xx0
12xx0
24x0
x
12x0
x
24
12
4.设函数y=f（x）在点x0处可导，当自变量x由X0增加到x0+x时，记y为f（x）的增量，dy为f（x）的微分，
lLm0
dy
等于
（a）
-1（b）0
（c）1
（d）
解.
由微分定义'
y=dy+o（x）,
所以
..ydyo（
limlim
x）
x0xx0
x
21
0
设f（x）
xsin
x
5.
x
在x=0处可导，则
axb
x
0
0.（b）是答案.
（a）a=1,b=0（b）a=0,b为任意常数（c）a=0,b=0（d）a=1,b为任意常数
解.在x=0处可导一定在x=0处连续，所以
limx2sin1
lim（axb）,所以b=0.
x0
f'（0）
三.计算题
f'（0）,lim
x0
21
xsin
x
lim,所以o=a.（c是答案.
X0x
解.y'
sin（103x）6x
cos（10
3x2）
6xtan（103x2）
2.已知f（u）可导，y
f[ln（xa
X2）],求y'
解.y'f'[ln（x
ax2）]
1
xax2
2,a
2x
2
x
f'[ln（x
I2
ax2）]
3.已知yet
0
dt
x2
costdt
0
2■siny,求y'.
2
解.eyy'
2
2xcosx2yy'
2
cosy
y'
2xcosx2
ey2ycosy2
4.设y为x的函数是由方程ln.x2y2
y
arctan确定的,
x
求y'.
y'xy
2
x
2
y
~2
x
xyy'
y'x
所以
y'
0时,f（x）有定义且二阶可导，问a,b,c为何值时
F（x）
f（x）
ax2bxc
二阶可导.
解.F（x）连续,
所以limF（x）
x0
lim
x0
F（x）,所以
c=f（-0）=f（0）;
因为F（x）二阶可导，所以F'（X）连续，所以b=f
'（0）f'（0）,且
F'（x）
f'（x）x0
2axf'（0）x0
F''（0）存在，所以F''（0）F
''（0）,所以
lim
x0
f'（x）f'（0）
x
1f''（0）
2
lim
x0
2axf'（0）
f'（0）
2a,所以
五.已知
f（x）
求f叫0）.
解.f（x）1
（2k1）（0）0,k=0,1,2,…
2k.
f（0）n!
k=0,1,2,…
（n）
六.设yxlnx,求f
（1）.
解.使用莱布尼兹高阶导数公式
（n）.
f（x）
x（Inx）（n）
n（lnx）（n°
x
（1）
（n1）!
n2
n
（1）
（n2）!
所以
=（
1）n2（n2）!
（n1）
n1
x
n2
1）（n
2）4
x
（n）
（1）
（1）n2（n
2）!
一元函数积分学
（不定积分）
一.求下列不定积分：
1.
^ln1
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