考研数学高数习题集及其答案文登.docx

1、考研数学高数习题集及其答案文登填空题1.已知f(X)sin x, f (x) 1x* * * 2,则(x),定义域为解.f (x)sin (x)1 x22(x) arcsin(1 x )x2x2 2,|x| 22设 limxaxatetdt，则 a =解.可得3. limnatetdt = (tetet)a aeea ,所以 a = 2._ 2_1 n2 n解.r2n n n1 2n n 11 2所以 2.n n22nn2n n n2n2 n 2n 1n n nn(1 n)2n n n n2n n n2nn 11 2所以limn4.已知函数f(x)|x|x|1,则 ff(x)122n n nn

2、(1 n)15. lim ( . n 3 nn、n n )(、n 3-. n . n 、n )n 3.n n n= lim nnn 3 n ,n n1 ax、6.设当x 0时，f(x) ex 为x的3阶无穷小，则aaxXebxaxaxXXebx2bXa)moH XXXbxebxbxbemoH Xbe2(e叫z 0, b 01/n,c b/a a lim0xaelim ln(1 x)ln20lim ln(1 cx)= aex 0ln 2xaexc Inc lim0 1 cx、ab2(1cosx)4.设 f (x)cost1 2dt试讨论f (x)在x0处的连续性与可导性解 f (0)limx 0

3、f(x) f(0)xlimx 0丄 xcost2dt 1x 0cost2dtlimx 0f (0)(1 cosx) 1lim -x 0 xlimx 022(1 cosx) xx3limx 02sin x 2x3xlimx 02(cosx 1)6x所以 f(0) 0, f(x)在x 0处连续可导.5.求下列函数的间断点并判别类型1(1) f (x)2x 112x 112x 1f(0) lim =x 0 -2x 1丄2x 1解.f(0 ) lim ? 1,x 0 2x 1 f(x)解.f(+0) = sinl, f(- 0) = 0.所以x = 0为第一类跳跃间断点；1 lim f (x) lim

4、 sin X 1 X 1 X-不存在.所以X = 1为第二类间断点；1f ( )不存在,而lim2x(2x )-2 cosx2，所以x = 0为第一类可去间断点；2x(2x lim x k 2cosx 2,(k = 1,2,)所以X= k 为第二类无穷间断点.26.讨论函数f(X).1sinx0在x = 0处的连续性.07.设f()0 时 limx 0(X0, lim (xx 01sin )不存在，所以x1 sin ) 0,所以xx = 0为第二类间断点；1时，在 X = 0连续,f(x)在a, b上连续，且a C1 f (X1) C2f (X2)C1 C2X11时,X = 0为第一类跳跃间断

5、点. X2 xn b, Ci (I = 1, 2, 3,n)为任意正数，则在(a, b)内至少存在一个 ，使Cn证明:令 m = max f (备), m = min f(xj所以 m C1f(X1) C2f(X2)CnC1 C2所以存在(a X1 xn b),使得f()C1f(X1) C2f(X2)CnCnC1 C28.设f(x)在a, b上连续，且f(a) b,试证在 b)内至少存在一个，使f()=. 证明：假设 F(x) = f(x)- x,贝U F(a) = f(a)-a 0于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个，使f()=.9.设f(x)在0, 1上连续，且0f(X)1,试证在0

6、, 1内至少存在一个，使f()=.证明：(反证法)反设0,1, (x) f (x) x 0 .所以 (x) f (x) x恒大于0或恒小于0.不妨设X 0,1, (X) f(x)0.令m min (x)，则m 0.2cosx1 sin x2 1因此 X 0,1, (x) f (x)11.证明方程x5-3X 2 = 0在(1,2)内至少有一个实根.证明:令 F(x) = X - 3x- 2,则 F=-4 0 所以 在(1, 2)内至少有一个，满足F() = 0.12.设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导，且limx 0sin 3x3 xf(x)2x0,求 f(0), f(0), f(0)及

7、limf(x) 32x解.啊sin 3x3- xf(x)2xsin3x xf (x) limx 0x3沁 f(x)X 0.所以x2limx 0sin 3xf (x)0 . f(x)在x = 0的某领域内二阶可导,所以f (x), f(x)在x = 0连续.所以f(0) = - 3.因为sin3xlim x2x 0 xf(x)0,所以叫sin 3x3 f(x)x3-0,所以f(x) 3lim 2x 0 x3 si n3x = limx 0 2xf (x)f(0) limx 0lim03 sin3x3 x2x92f(0)limx 03xsin3xlim 3 3cos3xx 03x2x 0limx

8、0f (x)limxf(x)2x由 limx 09 ,将f(x)台劳展开，得2f(0)limx 01 2 2f(0)x f(0)x2 0(x2)2!f(0)9.x21 f(0)甞于是2导数与微分填空题1 .设 llm0f(x k X) f(x0)-f(x0),则 k =3解.klim f(x0 kx) f(x0)x 0 k x1 f(x。),所以 kf(x0)312.设函数y = y(x)由方程ex y cos(xy) 0确定，则鱼dx解.ex y(1 y) (y xy)sin xy 0,所以x y. ysin xy eyx ye xsin xy3.已知 f( x) = f(x),且 f (X

9、o)k ,则 f(Xo)解.由 f( x) = f(x)得 f(X)f(x),所以 f( x) f(x)所以 f(x) f( X。)f (x4.设f(x)可导，则lim 0x 0x) f (xo n x)Xlim f (X0 m x) f (X0) f (X0) f (X0 n x)x 0=m limx 0Xf(X0 m x) f(x).- -+n limXf (X0 n x) f(x)05.f (x),则 f (n)(x)=Xf(x)11 x 1 x ( 1) 2 1! (1 x)21 1(1 X)假设f(k)k(1) 2 k!(1x)k 1，则(k 1)(1)k 12 (k 1)!(1k

10、1X),所以f(n)(1)n2(1n!n 1X)6.已知3dx丄，所以xf令x2 = 2,所以7.设f为可导函数，ysin f sin f (x),则3dx解.dx dxf(x)cos f (x) fsin f (x) cos f sin f (x)8.设y = f(x)由方程e2x ycos(xy) e 1所确定，则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为解.上式二边求导e2x(2y) ( y xy)si n(xy) 0.所以切线斜率y(0)1法线斜率为一，法线方程为2二.选择题1.已知函数即 x 2y + 2 = 0.f(x)具有任意阶导数2，且f(X) f (x),则当n为大于

11、2的正整数时，f(x)的n阶导数是(a) n! f (x)n (b) n f (x)n (c) f (x) n (d) n!f(x) n 解.f(x) 2f (x)f(x) 2! f(x)3，假设 f (k)(x) = k! f(x)k 1,所以f(k1)(x)=(k 1)k! f (x)k f(x) (k 1)!f(x)k2,按数学归纳法 f (n)(x) = n! f (x)n 1对一切正整数成立.(a)是答案.2.设函数对任意x均满足f(1 + x) = af(x),且f (0) b,其中a, b为非零常数，贝U(a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导，且

12、f (1) a(c) f(x)在 x = 1 处可导，且 f (1) b (d) f(x)在 x = 1 处可导，且叫-H X=1/Vf1 - a-f(1),所以 f(1) ab. (d)是答案a注：因为没有假设f (x)可导，不能对于f(1 x) af(x)二边求导.3.设f(x) 3x3 x2 |x |,则使f(n)(0)存在的最高阶导数n为(a) 0(b) 1(c) 2(d) 34x3x 0解.f(x)3f(x)2xx 0f(0)叫f(x)f(0)x 0x0f(0)limf(x)f(0)x 0x0所以n = 2, (c)是答案.limx 0limx 024x x 012x x 024x

13、0x12x 0x24124.设函数y = f(x)在点x0处可导，当自变量x由X0增加到x0 + x时，记y为f(x)的增量，dy为f(x)的微分，lLm0dy等于(a)-1 (b) 0(c) 1(d)解.由微分定义y = dy + o(x),所以. y dy o(lim limx)x 0 x x 0x2 10设 f (x)x sinx5.x在x = 0处可导，则ax bx00 . (b)是答案.(a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b 为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b 为任意常数解.在x = 0处可导一定在x = 0处连续，所以lim

14、x2sin1lim (ax b),所以 b = 0.x 0f(0 )三.计算题f(0 ), limx 02 1x sinxlim ,所以o = a. (c是答案.X 0 x解.ysin(10 3x ) 6xcos(103x2)6xta n(10 3x2)2.已知f(u)可导，yfl n(x aX2),求y解.y fln(xa x2)1x a x22 ,a2x2xfl n(xI 2a x2)3.已知yet0dtx2costdt02 sin y ,求 y.2解.ey y22xcosx 2yy2cosyy2xcosx2ey 2y cosy24.设y为x的函数是由方程ln . x2 y2yarcta

15、n 确定的,x求y.yx y2x2y2xx yyy x,所以y0时,f(x)有定义且二阶可导，问a, b, c为何值时F(x)f(x)ax2 bx c二阶可导.解.F(x)连续,所以 lim F(x)x 0limx 0F(x),所以c = f( - 0) = f(0);因为F(x)二阶可导，所以F (X)连续，所以b = f(0) f(0),且F(x)f(x) x 02ax f (0) x 0F(0) 存在，所以 F (0) F(0),所以limx 0f(x) f(0)x1 f(0)2limx 02ax f (0)f(0)2a,所以五.已知f(x)求f叫0).解.f(x) 1(2k1)(0) 0, k = 0, 1,2,2k .f (0) n!, k = 0, 1,2,(n)六.设 y x l n x ,求 f (1).解.使用莱布尼兹高阶导数公式(n).f (x)x (In x)(n)n(ln x)(n x( 1)(n 1)!n 2n( 1)(n 2)!所以=(1)n 2(n 2)!(n 1)n 1xn 21) (n2)4x（n）（1）(1)n2(n2)!一元函数积分学（不定积分）一.求下列不定积分：1.l n1