不确定度计算.docx
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不确定度计算
测量误差与不确定度评定之杨若古兰创作
一、测量误差
1、测量误差和绝对误差
（1）、测量误差
测量结果减去被测量的真值所得的差，称为测量误差，简称误差.
这个定义从20世纪70年代以来没有发生过变更，以公式可暗示为：
测量误差＝测量结果－真值.测量结果是由测量所得到的赋予被测量的值，是客观存在的量的实验表示，仅是对测量所得被测量之值的近似或估计，明显它是人们认识的结果，不但与量的本人有关，而且与测量程序、测量仪器、测量环境和测量人员等有关.真值是量的定义的完好体现，是与给定的特定量的定义完好分歧的值，它是通过完美的或完满无缺的测量，才干获得的值.所以，真值反映了人们力求接近的理想目标或客观真谛，实质上是不克不及确定的，量子效应排除了独一真值的存在，实际上用的是商定真值，须以测量不确定度来表征其所处的范围.因此，作为测量结果与真值之差的测量误差，也是没法精确得到或确切获知的.
过去人们有时会误用误差一词，即通过误差分析给出的常常是被测量值不克不及确定的范围，而不是真实的误差值.误差与测量结果有关，即分歧的测量结果有分歧的误差，合理赋予的被测量之值各有其误差其实不存在一个共同的误差.一个测量结果的误差，若不是正值（正误差）就是负值（负误差），它取决于这个结果是大于还是小于真值.实际上，误差可暗示为：
误差＝测量结果－真值＝（测量结果－整体均值）＋（整体均值－真值）
＝随机误差＋零碎误差
（2）、绝对误差
测量误差除以被测量的真值所得的商，称为绝对误差.
2、随机误差和零碎误差
（1）、随机误差
测量结果与反复性条件下，对同一被测量进行无穷多次测量所得结果的平均值之差，称为随机误差.
随机误差＝测量结果－多次测量的算术平均值（整体均值）
反复性条件是指在尽量不异的条件下，包含测量程序、人员、仪器、环境等，和尽量短的时间间隔内完成反复测量任务.
此前，随机误差曾被定义为：
在同一量的多次测量过程中，以不成预知方式变更的测量误差的分量.
随机误差的统计规律性：
对称性：
绝对值相等而符号相反的误差，出现的次数大致相等，也即测得值是以它们的算术平均值为中间而对称分布的.因为所有误差的代数和趋于零，故随机误差又具有低偿性，这个统计特性是最为实质的；换言之，凡具有低偿性的误差，准绳上均可按随机误差处理.
有界性：
测得值误差的绝对值不会超出必定的界限，也即不会出现绝对值很大的误差.
单峰性：
绝对值小的误差比绝对值大的误差数目多，也即测得值是以它们的算术平均值为中间而绝对集中地分布的.
（2）、零碎误差
在反复性条件下，对同一被测量进行无穷多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差，称为零碎误差.它是测量结果中期望不为零的误差分量.
零碎误差＝多次测量的算术平均值－被测量真值
因为只能进行无限次数的反复测量，真值也只能用商定真值代替，是以可能确定的零碎误差只是其估计值，并具有必定的不确定度.
零碎误差大抵来源于影响量，它对测量结果的影响若已识别并可定量表述，则称之为“零碎效应”.该效应的大小若是明显的，则可通过估计的批改值予以抵偿.但是，用以估计的批改值均由测量获得，本人就是不确定的.
至于误差限、最大答应误差、可能误差、援用误差等，它们的前面带有正负（±）号，因此是一种可能误差区间，其实不是某个测量结果的误差.对于测量仪器而言，其示值的零碎误差称为测量仪器的“偏移”，通经常使用适当次数反复测量示值误差的均值来估计.
过去所谓的误差传播定律，所传播的其实其实不是误差而是不确定度，故现已改称为不确定度传播定律.还要指出的是：
误差一词应按其定义使用，不宜用它来定量标明测量结果的可靠程度.
3、批改值和偏差
（1）、批改值和批改因子
用代数方法与未批改测量结果相加，以抵偿其零碎误差的值，称为批改值.
含有误差的测量结果，加上批改值后就可能抵偿或减少误差的影响.因为零碎误差不克不及完好获知，是以这类抵偿其实不完好.批改值等于负的零碎误差，这就是说加上某个批改值就像扣掉某个零碎误差，其后果是一样的，只是人们考虑成绩的出发点分歧而已，即
真值＝测量结果＋批改值＝测量结果－误差
在量值溯源和量值传递中，经常采取这类加批改值的直观的法子.用高一个等级的计量尺度来校准或检定测量仪器，其次要内容之一就是要获得精确的批改值.换言之，零碎误差可以用适当的批改值来估计并予以抵偿.但应强调指出：
这类抵偿是不完好的，也即批改值本人就含有不确定度.当测量结果以代数和方式与批改值相加后，其零碎误差之模会比批改前的小，但不成能为零，也即批改值只能对零碎误差进行无限程度的抵偿.
批改因子：
为抵偿零碎误差而与未批改测量结果相乘的数字因子，称为批改因子.
含有零碎误差的测量结果，乘以批改因子后就可以抵偿或减少误差的影响.但是，因为零碎误差其实不克不及完好获知，因此这类抵偿是不完好的，也即批改因子本人仍含有不确定度.通过批改因子或批改值已进行了批改的测量结果，即使具有较大的不确定度，但可能仍然十分接近被测量的真值（即误差甚小）.是以，不该把测量不确定度与已批改测量结果的误差相混淆.
（2）、偏差：
一个值减去其参考值，称为偏差.
这里的值或一个值是指测量得到的值，参考值是指设定值、应有值或标称值.
例如：
尺寸偏差＝实际尺寸－应有参考尺寸
偏差＝实际值－标称值
在此可见，偏差与批改值相等，或与误差等值而反向.应强调指出的是：
偏差绝对于实际值而言，批改值与误差则绝对于标称值而言，它们所指的对象分歧.所以在分析时，首先要分清所研讨的对象是什么.
罕见的概念还有上偏差（最大极限尺寸与参考尺寸之差）、下偏差（最小极限尺寸与参考尺寸之差），它们统称为极限偏差.由代表上、下偏差的两条直线所确定的区域，即限制尺寸变动量的区域，统称为尺寸公差带.
二、测量不确定度的评定与暗示
1、测量不确定度
表征合理地赋予被测量之值的分散性、与测量结果相联系的参数，称为测量不确定度.
“合理”意指应考虑到各种身分对测量的影响所做的批改，特别是测量应处于统计控制的形态下，即处于随机控制过程中.“相联系”意指测量不确定度是一个与测量结果“在一路”的参数，在测量结果的完好暗示中应包含测量不确定度.此参数可所以诸如尺度[偏]差或其倍数，或说明了相信水准的区间的半宽度.
测量不确定度从词意上理解，意味着对测量结果可信性、无效性的怀疑程度或不肯定程度，是定量说明测量结果的质量的一个参数.实际上因为测量不完美和人们的认识缺乏，所得的被测量值具有分散性，即每次测得的结果不是同一值，而是以必定的概率分散在某个区域内的很多个值.虽然客观存在的零碎误差是一个不变值，但因为我们不克不及完好认知或把握，只能认为它是以某种概率分布存在于某个区域内，而这类概率分布本人也具有分散性.测量不确定度就是说明被测量之值分散性的参数，它不说明测量结果是否接近真值.
为了表征这类分散性，测量不确定度用尺度[偏]差暗示.在实际使用中，常常但愿晓得测量结果的相信区间，是以规定测量不确定度也可用尺度[偏]差的倍数或说明了相信水准的区间的半宽度暗示.为了区分这两种分歧的暗示方法，分别称它们为尺度不确定度和扩展不确定度.
（1）测量不确定度来源
在实践中，测量不确定度可能来源于以下十个方面：
对被测量的定义不完好或不完美；
实现被测量的定义的方法不睬想；
取样的代表性不敷，即被测量的样本不克不及代表所定义的被测量；
对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条件的测量与控制不完美；
对模拟仪器的读数存在人为偏移；
测量仪器的分辩力或鉴别力不敷；
赋予计量尺度的值或尺度物资的值禁绝；
援用于数据计算的常量和其它参量禁绝；
测量方法和测量程序的近似性和假定性；
在概况上看来完好不异的条件下，被测量反复观测值的变更.
因而可知，测量不确定度普通来源于随机性和模糊性，前者归因于条件不充分，后者归因于事物本人概念不明确.这就使测量不确定度普通由很多分量构成，其中一些分量可以用测量列结果（观测值）的统计分布来进行评价，而且以实验尺度[偏]差表征；而另一些分量可以用其它方法（根据经验或其它信息的假定概率分布）来进行评价，而且也以尺度[偏]差表征.所有这些分量，应理解为都贡献给了分散性.若须要暗示某分量是由某缘由导致时，可以用随机效应导致的不确定度和零碎效应导致的不确定度.
（2）尺度不确定度和尺度[偏]差
以尺度[偏]差暗示的测量不确定度，称为尺度不确定度.
尺度不确定度用符号u暗示，它不是由测量尺度惹起的不确定度，而是指不确定度以尺度[偏]差暗示，来表征被测量之值的分散性.这类分散性可以有分歧的暗示方式，例如：
用
暗示时，因为正残差与负残差可能相消，反映不出分散程度；用
暗示时，则方便于进行解析运算.只要效尺度[偏]差暗示的测量结果的不确定度，才称为尺度不确定度.
当对同一被测量作n次测量，表征测量结果分散性的量s按下式算出时，称它为实验尺度[偏]差：
S=
式中：
xi为第i次测量的结果；
为所考虑的n次测量结果的算术平均值.
对同一被测量作无限的n次测量，其中任何一次的测量结果或观测值，都可视作无量多次测量结果或整体的一个样本.数理统计方法就是要通过这个样本所获得的信息（例如算术平均值
和实验尺度[偏]差s等），来推断整体的性质（例如期望µ和方差σ2等）.期望是通过无量多次测量所得的观测值的算术平均值或加权平均值，又称为整体均值µ，明显它只是在理论上存在并暗示为
µ＝
方差σ2则是无量多次测量所得观测值
xi与期望µ之差的平方的算术平均值，它也只是在理论上存在并可暗示为
σ2＝
［
］
方差的正平方根σ，通常被称为尺度[偏]差，又称为整体尺度[偏]差或理论尺度[偏]差；而通过无限多次测量得的实验尺度[偏]差s，又称为样本尺度[偏]差.这个计算公式即为贝赛尔公式，算得的s是σ的估计值.
s是单次观测值
xi的实验尺度[偏]差，s/
才是n次测量所得算术平均值
的实验尺度[偏]差，它是
分布的尺度[偏]差的估计值.为易于区别，前者用s（x）暗示，后者用s（
）暗示，故有s（
）=s（x）/
.
通经常使用s（x）表征测量仪器的反复性，而用s（
）评价以此仪器进行n次测量所得测量结果的分散性.随着测量次数n的添加，测量结果的分散性s（
）即与
成反比地减小，这是因为对多次观测值取平均后，正、负误差彼此抵偿所致.所以，当测量请求较高或但愿测量结果的尺度[偏]差较小时，应适当添加n；但当n＞20时，随着n的添加，s（
）的减小速率减慢.是以，在拔取n的多少时应予综合考虑或权衡利弊，因为添加测量次数就会拉长测量时间、加大测量成本.在通常情况下，取n≥3，以n=4～20为好.另外，该当强调s（
）是平均值的实验尺度[偏]差，而不克不及称它为平均值的尺度误差.
2.不确定度的A类、B类评定及合成
因为测量结果的不确定度常常由很多缘由惹起，对每个不确定度来源评定的尺度[偏]差，称为尺度不确定度分量，用符号u
暗示.对这些尺度不确定度分量有两类评定方法，即A类评定和B类评定.
（1）不确定度的A类评定
用对观测列进行统计分析的方法来评定尺度不确定度，称为不确定度的A类评定，有时也称A类不确定度评定.
通过统计分析观测列的方法，对尺度不确定度的进行的评定，所得到的响应尺度不确定度称为A类不确定度分量，用符号uA暗示.
这里的统计分析方法，是指根据随机取出的测量样本中所获得的信息，来推断关于整体性质的方法.例如：
在反复性条件或复现性条件下的任何一个测量结果，可以看作是无穷多次测量结果（整体）的一个样本，通过无限次数的测量结果（无限的随机样本）所获得的信息（诸如平均值
、实验尺度差s），来推断整体的平均值（即整体均值µ或分布的期望值）和整体尺度[偏]差σ，就是所谓的统计分析方法之一.A类尺度不确定度用实验尺度[偏]差表征.
（2）不确定度的B类评定
用分歧于对观测列进行统计分析的方法来评定尺度不确定度，称为不确定度的B类评定，有时也称B类不确定度评定.
这是用分歧于对测量样本统计分析的其他方法，进行的尺度不确定度的评定，所得到的响应的尺度不确定度称为B类尺度不确定度分量，用符号uB暗示.它用根据经验或材料及假设的概率分布估计的尺度[偏]差表征，也就是说其原始数据并不是来自观测列的数据处理，而是基于实验或其他信息来估计，含有客观鉴此外成分.用于不确定度B类评定的信息来源普通有：
①之前的观测数据；
②对有关技术材料和测量仪器特性的了解和经验；
③生产部分提供的技术说明文件；
④校准证书、检定证书或其他文件提供的数据、精确度的等别或级别，包含目前仍在使用的极限误差、最大答应误差等；
⑤手册或某些材料给出的参考数据及其不确定度；
⑥规定实验方法的国家尺度或类似技术文件中给出的反复性限r或复现性限R.
不确定度的A类评定由观测列统计结果的统计分布来估计，其分布来自观测列的数据处理，具有客观性和统计学的严酷性.这两类尺度不确定度仅是估算方法分歧，不存在实质差别，它们都是基于统计规律的概率分布，都可用尺度[偏]差来定量表达，合成时同等对待.只不过A类是通过一组与观测得到的频率分布近似的概率密度函数求得.而B类是由基于事件发生的信赖度（客观概率或称为经验概率）的假定概率密度函数求得.对某一项不确定度分量究竟用A类方法评定，还是用B类方法评定，应由测量人员根据具体情况选择.特别该当指出：
A类、B类与随机、零碎在性质上并没有对应关系，为防止混淆，不该再使用随机不确定度和零碎不确定度.
（3）合成尺度不确定度
当测量结果是由若干个其他量的值求得时，按其他各量的方差和协方差算得的尺度不确定度，称为合成尺度不确定度.
在测量结果是由若干个其他量求得的情形下，测量结果的尺度不确定度，等于这些其他量的方差和协方差适当和的正平方根，它被称为合成尺度不确定度.合成尺度不确定度是测量结果尺度[偏]差的估计值，用符号uc暗示.
方差是尺度[偏]差的平方，协方差是相干性导致的方差.当两个被测量的估计值具有不异的不确定度来源，特别是受到不异的零碎效应的影响（例如：
使用了同一台尺度器）时，它们之间即存在着相干性.如果两个都偏大或都偏小，称为正相干；如果一个偏大而另一个偏小，则称为负相干.由这类相干性所导致的方差，即为协方差.明显，计入协方差会扩大合成尺度不确定度，协方差的计算既有属于A类评定的、也有属于B类评定的.人们常常通过改变测量程序来防止发生相干性，或者使协方差减小到可以略计的程序，例如：
通过改变所使用的同一台尺度等.如果两个随机变量是独立的，则它们的协方差和相干系数等于零，但反之纷歧定成立.
合成尺度不确定度仍然是尺度[偏]差，它表征了测量结果的分散性.所用的合成的方法，常被称为不确定度传播律，而传播系数又被称为灵敏系数，用ci暗示.合成尺度不确定度的自在度称为无效自在度，用
νeff暗示，它标明所评定的uc的可靠程度.通常在陈述以下测量结果时，可直接使用合成尺度不确定度uc（y），同时给出自在度νeff：
①基础计量学研讨；
②基本物理常量测量；
③复现国际单位制单位的国际比对.
（1）扩展不确定度
扩展不确定度是确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望含于此区间.它有时也被称为展伸不确定度或范围不确定度.
实际上扩展不确定度是由合成尺度不确定度的倍数暗示的测量不确定度，通宵用符号U暗示.它是将合成尺度不确定度扩展了k倍得到的，即U=kuc，这里k值普通为2，有时为3，取决于被测量的次要性、效益和风险.
扩展不确定度是测量结果的取值区间的半宽度，可期望该区间包含了被测量之值分布的大部分.而测量结果的取值区间在被测量值概率分布中所包含的百分数，被称为该区间的相信概率、相信水准或相信水平，用符号p暗示.这时候扩展不确定度用符号Up暗示，它给出的区间能包含被测量可能值的大部分（比方95%或99%等）.
按测量不确定度的定义，合理赋予的被测量之值的分散区间理应包含全部的测得值，即100%地包含于区间内，此区间的半宽通经常使用符号a暗示.若请求其中包含95%的被测量之值，则此区间称为概率为p=95%的相信区间，其半宽就是扩展不确定度U95；类似地，若请求99%的概率，则半宽为U99.这个与相信概率区间或统计包含区间有关的概率，即为上述的相信概率.明显，在上面例举的三个半宽之间存在着U95＜U99＜a的关系，至于具体小多少或大多少，还与赋予被测量之值的分布情况有关.
归纳上述内容，可将测量不确定度的分类简示为：
测量不确定度：
尺度不确定度：
A类尺度不确定度
B类尺度不确定度
合成尺度不确定度
扩展不确定度：
U（k=2，3）
Up（p为相信概率）
值得指出的是：
在20世纪80年代曾用术语总不确定度，因为在陈述终极测量结果时既可用扩展不确定度也可用合成尺度不确定度，为防止混淆，目前在定量暗示时普通不再使用总不确定度这个术语.
（2）包含因子和自在度
为求得扩展不确定度，对合成尺度不确定度所乘之数字因子，称为包含因子，有时也称为覆盖因子.
包含因子的取值决定了扩展不确定度的相信水平.鉴于扩展不确定度有U与Up两种暗示方式，它们在称呼上并没有区别，但在使用时k普通为2或3，而kp则为给定相信概率p所请求的数字因子.在被测量估计值拉近于正态分布的情况下，kp就是t分布（先生分布）中的t值.评定扩展不确定度Up时，已知p与自在度ν，即可查表得到kp，进而求得Up.拜见JJF1059-1999《测量不确定度评定与暗示》的附录A：
“t分布在分歧相信概率p与自在度ν的tp（ν）值”.
自在度一词，在分歧领域有分歧的含义.这里对被测量若只观测一次，有一个观测值，则不存在选择的余地，即自在度为0.若有两个观测值，明显就多了一个选择.换言之，本来观测一次即可获得被测量值，但人们为了提高测量的质量（品质）或可信度而观测n次，其中多测的（n-1）次实际上是由测量人员根据须要自在选定的，故称之为“自在度”.
在A类尺度不确定度评定中，自在度用于标明所得的尺度[偏]差的可靠程度.它被定义为“在方差计算中，和的项数减去对和的限制数”.按贝塞尔公式计算时，取和符号∑后的项数等于n，而n个观测值与其平均值
之差（残差）的和明显为零，即∑（xi-
）=0.这就是一个限制条件，即限制数为1，故自在度ν=n-1.通常，自在度等于测量次数n减去被测量的个数m，即ν=n-m.实际上，自在度常常用于求包含因子kp,如果只评定U而不是Up，则不必计算自在度及无效自在度.
（1）测量不确定度的评定流程
下图简示了测量不确定度评定的全部流程.在尺度不确定度分量评定环节中，JJF1059-1999建议列表说明，即列出尺度不确定度一览表，以便了如指掌.
下图简示了扩展不确定度评定的流程.
当可以估计uc（y）接近某种分布时，乘以以下包含因子kp可得U99：
均匀分布k＝
两点分布k＝1
三角分布k＝
反正弦分布k＝
无须要给出Up值
当根据中间极限制律uc（y）可能接近正态分布时，可按Up给出
取出合成尺度不确定度uc（y）
当以U陈述终极测量结果时，可采取以下两种方式之一，但均须指明k值.
例如：
uc（y）＝0.35mg，取包含因子k＝2，U＝，则
（a）m＝100.02147g，U＝0.70mg；k＝2
（b）m7±）g；k＝2
当以Up陈述终极测量结果时，可采取以下四种方式之一，但均须指明无效自在度veef.
例如：
uc（y）＝0.35mg，veef＝9，按p＝95％，查JJF1059-1999《测量不确定度评定与暗示》的附录A表得kp＝t95（9）=2.26;
U95×0.35mg=0.79mg,则
（a）m＝100.02147g；U95=0.79mg，veef＝9.
（b）m＝100.02147（79）g；veef＝9，括号内为U95之值，其末位与前面结果内末位数对齐.
（c）m＝100.02147（0.00079）g；veef＝9，括号内为U95之值，与前面结果有不异计量单位.
（d）m±0.00079）g；veef＝9，括号内第二项为U95之值.
为明确起见，建议用以下方式说明：
“式中，正负号后的值为扩展不确定度U95=k95uc（m），而合成尺度不确定度uc（m）＝0.35mg，自在度
veef＝9，包含因子kp＝t95（9）=2.26，从而具有约95％概率的相信区间”.
陈述终极测量结果时，应留意无效位数：
通常uc（y）和U（或Up）最多取2位无效数字，且y与yc（y）或U（或Up）的修约间隔应不异.不确定度也能够绝对方式urel（y）或Urel陈述.
三、测量误差与测量不确定度
归纳上述内容，可将测量误差与测量不确定度之间存在的次要区别列于下表
测量误差与测量不确定度的次要区别
序号
内容
测量误差
测量不确定度
1
定义的
要点
标明测量结果偏离真值，是一个差值
标明赋予被测量之值的分散性，是一个区间
2
分量的分类
按出现于测量结果中的规律，分为随机和零碎，都是无穷多次测量时的理想化概念
按是否用统计方法求得，分为A类和B类，都是尺度不确定度
3
可操纵性
因为真值未知，只能通过商定真值求得其估计值
按实验、材料、经验评定，实验方差是整体方差的无偏估计
4
暗示的符号
非正即负，不要用正负（±）号暗示
为正值，当由方差求得时取其正平方根
5
合成的方法
为各误差分量的代数和
当各分量彼此独立时为方和根，须要时加入协方差
6
结果的批改
已知零碎误差的估计值时，可以对测量结果进行批改，得到已批改的测量结果
不克不及用不确定度对结果进行批改，在已批改结果的不确定度中应考虑批改不完美引入的分量
7
结果的说明
属于给定的测量结果，只要不异的结果才有不异的误差
合理赋予被测量的任一个值，均具有不异的分散性
8
实验尺度[偏]差
来源于给定的测量结果，不暗示被测量值估计的随机误差
来源于合理赋予的被测量之值，暗示同一观测列中任一个估计值的尺度不确定度
9
自在度
不存在
可作为不确定度评定是否可靠的目标
10
相信概率
不存在
当了解分布时，可按相信概率给出相信区间
经常使用玻璃量器比对测量结果不确定度评定
一、目的
用衡量法检定10ml分度吸管.
二、检定步调
取容量50ml的洁净量瓶，在电子天平上称量，去皮重（清零），用被检定的10ml分度吸管分别加入总容量的1/10、半容量和总容量的纯水（自流液口起），天平显示的数值即为被检容量的质量值（m0），称完后将数字温度计直接拔出瓶内测温，然后在JJG196-90衡量法用表
（二）中查得质量值（m），根据公式计算尺度温度20℃时的实际容量.
三、被测量
V20——尺度温度20℃时量器的实际容量（ml）
量器在尺度温度20℃时的实际容量计算公式：
V20＝V0＋（m0－m）/ρw
式中：
V20——量器在尺度温度20℃时的实际容量（ml）；
V0——量器的标称容量（ml）；
m0——称得的纯水质量值（g）；
m——衡量法用表
（二）中查得的质量值（g）；
ρw——t℃时纯水密度值，近似为1（g/ml）.
四、不确定度来源的识别
根据被测量的计算公式可了解到，对被测量及其不确定度的影响次要有以下四个身分：
1、V20反复性不确定度uv
2、m0测量不确定度um
（其中含检定用电子天平的最大答应误差um
1和弯液面调定读数误差惹起的不确定度um
2）
3、数字温度测量误差导致m值的不确定度um
五、不确定度分量的量化
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