学而思初二数学第7讲特殊图形的旋转与弦图尖子班教师版.docx
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学而思初二数学第7讲特殊图形的旋转与弦图尖子班教师版
特殊图形的旋转
与正方形弦图
四边形7级
四边形8级
四边形中的动点问题
漫画释义
旋转的灯泡
iF有形弓氐图
旋转与弦图构造
题型切片（两个）
对应题目
题型目标
正方形弦图
例1，例2,练习1，练习2;
特殊图形中的旋转
例3，练习3;例4，练习4;例5，练习5;例6.
本讲内容主要分为两个题型，题型一为正方形弦图，重点在于弦图的构造，这种能力对于做一些正方形的题目有辅助作用，这就要求学生对弦图比较熟悉，不断通过相关题目进行训练；题
型二为特殊图形中的旋转变换，在该版块中列举了三个常考图形一一等腰直角三角形，等边三角形以及正方形，一般情况下旋转的角度分别为90°,60°和90°，旋转其它度数的题目在探究中
略有罗列，老师可对旋转题型在此做适当的总结.
本讲的最后一道例题是2013年朝阳一模第22题，是一道动手操作题与旋转的结合，综合性
比较强，难度较大，需要学生不仅对弦图理解较深入，且对旋转运用熟练，计算量也比较大，程度较好的班级可以适当拓展2013海淀一模22题，借此对此题型进行补充及完善.
旋转的构造
正方形弦图是由四个全等的直角三角形顺次连接而成的图形，其中有我们以前学过的数学模
型三垂直模型”
①外弦图：
条件：
正方形ABCD、正方形EFGH
结论：
△ABF、△BCG、△CDH、△DAE两两全等
②内弦图：
条件：
正方形ABCD、正方形EFGH
结论：
△AEH、△BFE、△CGF、△DHG两两全等
【例1】如图，11、|2、|3、|4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离
为h,正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD的面积是25.
⑴连接EF，证明△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面积相等.
⑵求h的值.
C
A
li
BE
G
I2
B
D
|3
FH
l4
C
<
【解析】⑴由题意可知AABEFEBEFD^△CDF,二面积均相等.
A作直线13的垂线AH
⑵方法一：
过点
/\h
%
\d
V
GC
H
交12于点G•
由弦图可证明
•HDAG
在厶AHD中,
△ABGDAH,h
h2
2h225解得h
方法二：
分别过
B、
D作直线14的垂线，禾U用弦图证明.
【例2】如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE、正方形ACFG•过A作AHBC于H,的反向延长线与EG交于P•
求证：
BC2AP•
AH
【解析】方法一：
过点E、G分别作AP的垂线，垂足为K、
在△AEK和△BAH中
EAK
EAK
AKE
BAH90,BAH
ABH
BHA
ABH90
初二春季•第7讲•尖子班•教师版
EAK
AEBA
ABH
二△AEKBAH
二AKBH
同理△ACHNGAQ
•CHAQ
在△PEK和△PGQ中
EKPGQP
KPEQPG
EKGQ
•△PEK◎△PGQ
•PK
•••BC
即BC
PQ
BHCHAKAQAQ
2AQPQ2AP•
方法二：
延长
连接EK•
•••ABAE
•EAK
•••AHBC
•-ABH
PQPKAQ
AP至点K，使得AK
BAH90
BAH90
BC•
E
G
Q•
H
•••EAKABC
同理,PAGACB
•••AEAB,AKBC
■■-△EAK◎△ABC
•ACEKAG,ACBEKAPAG
•-EKIIAG
■■-△EKP◎△GAP
11
•-PAKPAKBC，即BC2AP.
22
【点评】此题是非常经典的婆罗摩笈多”定理的一部分，由此图可以总结以下几个结论:
⑴SAABCSAAEG；
⑵若AHBC，则EPPG，BC2AP；
⑶若EPPG，则AHBC，BC2AP.
等腰直角三角形（旋转
90°，等边三角形旋转（旋转60°，正方形旋转（旋转90°
A
BC
A
E
B
E
F
E
典题精练
【例3】
已知：
在△ABC中,
BAC90，AB
AC，过点C作CE
BC于C，D为BC边
BADCDE.
【解析】延长EC至F，使CF
CE，连结AF、DF
上一点，且BDCE，连结AD、DE.求证:
QCEBC,CFCE,
DFDE
又CEBC,
FDCCDE
F
C
E
QBAC90,ABAC,BACB45
ACF45
BACF
QBDCE,CFCE,BDCF
在△ABD与厶ACF中
ABAC
BACF
BDCF
△ABD△ACF（SAS）
ADAF,BADCAF,ADFAFD
QBADDAC90,CAFDAC90
ADF45
ADFADC45,
QBADADCBADC45,FDCADC
BADFDC
BADCDE.
【例4】⑴如图,
P是正三角形ABC内的一点，且PA3,PB4,PC
5.求/APB的度数.
【解析】女口图，作BQ=BP，且/CBQ=ZABP
连接PQ、CQ
•••ZABP也zCBQ（SAS）•••ZPBQ=60°
•ZPBQ是等边三角形
/•PQ=PB=4
方法二：
以PB为一边向四边形
PACB的外面作正三角形PBN,
C
M
N
B
•••QCPA3,PC5
•••△PCQ是直角三角形，且/PQC90
又•/PQB60,
•/CQB150
由全等知，/APB=/CQB
•-ZAPB150
⑵如图，若P是等边△ABC外的一点，其他条件不变，求ZAPB的度数.
【分析】此题最常见的三种做法：
分别以题中的已知三边各自向外作等边三角形，去构造手拉手数学模型，然后证明手拉手模型中两个旋转三角形全等•目的是要把已知的三边3,4,5
构造在直角三角形中.
【解析】方法一：
以PA为一边向四边形PACB的外面作正三角形
AMP，贝UMABPAC,
•-MAB也PAC,
•-PB4,BM5,MP3,
BPM90,BPA906030
证法参照方法
方法三：
女口图，作CP，使CPCP,ZACPZBCP，连接PP
显然，△ACPBCP,
•ZACPZBCP,APBP3
初二春季•第7讲•尖子班•教师版
•••/PCP60,
•••△PCP是等边三角形.
P'
•PPPC5，在△PBP中
•••PB4,BP3,PP5
•/PP
PB2
BP2
C
•ZPBP90
•ZBPCZPCPZCPB90
•ZBPCZCPB30
•ZAPCZCPB30
即ZAPB30
【例5】如图，在正方形ABCD内有一点P,
大小和正方形ABCD的边长.
且PA,5,BP2,PC1.求BPC度数的
【解析】如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得ABPA，则
△BPCBPA.
•APPC1,BPBP2.
连接PP,
在RtABPP中，
•/BPBP.2,
PBP
90°,
•PP2,BPP
45°.
在厶APP中，AP
1,PP
2,
AP5,
•/1222（5）2，即
AP2
PP2
AP2.
•△APP是直角三角形，即APP90
•••APB135°.
-BPCAPB135°
过点B作BEAP交AP的延长线于点E.
•EPB45°.•-EPBE1.•AE2.
•••在RtAABE中，由勾股定理，得AB5.
•-BPC135°,正方形边长为5.
真题赏析
【例6】小雨遇到这样一个问题：
如图1，直线I,"//13,11与12之间的距离是1,12与13之间的
距离是2,试画出一个等腰直角三角形ABC，使三个顶点分另恠直线11、12、13上，并
11
12
13
求出所画等腰直角三角形ABC的面积.
11
12
13
小雨是这样思考的：
要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所
求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题.具体作法如图2所示：
在直线11任取
一点A,作AD丄12于点D，作/DAH=90°,在AH上截取AE=AD，过点E作EB丄AE交b于B,
连接AB，作/BAC=90°，交直线12于点C，连接BC，即可得到等腰直角三角形ABC.
请你回答：
图2中等腰直角三角形ABC的面积等于.
参考小雨同学的方法，解决下列问题：
如图3,直线11//I2//I3，11与12之间的距离是2，12与13之间的距离是1,试画出一个等
边三角形ABC，使三个顶点分别在直线11、12、|3上，并直接写出所画等边三角形ABC的面积
（保留画图痕迹）（2013朝阳一模）
12
13
图3
B
11
【解析】图2中等腰直角三角形ABC的面积等于5.
如图，图3中等边三角形ABC的面积等于乙3•
3
连接DE，过E作EH丄13于H,△ADE为等边三角形,
故在四边形ADFE
中/DFE=120°且/EDG=30°
故EG=1,EH=2,
BE=4l!
AE=2,AB=221
33
•S7.3
…Szabc=
3
【拓展】问题：
如图1,a、b、c、d是同一平面内的一组等距平行线（相邻平行线间的距离为1）.画出一个正方形ABCD，使它的顶点A、B、C、D分别在直线a、b、d、C上，并计算它的边长.
3
J
J
\
1i
卜一
a
\
b
f）屮
b
c
\
/
」
d
Fc
G
图1
图2
小明的思考过程:
他利用图1中的等距平行线构造了33的正方形网格，得到了辅助正方形EFGH，如图2
所示,再分别找到它的四条边的三等分点A、B、C、D，就可以画出一个满足题目要求的正方形
请回答：
图2中正方形ABCD的边长为
请参考小明的方法，解决下列问题：
请在图3的菱形网格（最小的菱形有一个内角为60，边长为1）中，画出一个等边
（1）
△ABC，
使它的顶点A、
B、C落在格点上，且分别在直线
a、b、c上;
（2）
的距离是21，等边△ABC
10
21
l3是同一平面内的三条平行线，11>l2之间的距离是，*、〔3之间
5
的三个顶点分别在|1、|2、|3上，直接写出△ABC的边长.
【探究】旋转模型探究
【探究1】三垂直全等模型（弦图）;
【变式1】直线y-x
3
2与x轴、y轴分别交于点A、B,求将AB绕点A逆时针旋转45
所得到的直线解析式
【解析】如图，可得C2,5，则AC的解析式为y=5x+15.
【探究2】等线段，共端点
【变式2】中点旋转（旋转180°
D'
例：
在RtABC中，F是斜边AB的中点，D、
AD3，BE4，则线段DE的长度为
E分别在边CA、CB上，满足DFE90•若
图6
【解析】DE=5.
【变式3】普通等线段，共端点；
例：
如图，五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD，/BAE=ZBCD=120°/ABC+ZAED=180°连结AD。
求证：
AD平分ZCDE
厶
CD
cb
【解析】连结AC,把厶ABC绕点A逆时针旋转120°
【探究3】构造等线段，共端点；
【变式4】如图所示，在ABC中，BAC120,P是ABC内部一点，试比较
PAPBPC与ABAC的大小关系.
【解析】如图，PAPBPCDQQPPCDCDAACABAC,即PAPBPCABAC.
思维拓展训练（选讲）
训练1.
梯形ABCD中，
ABGE和DCHF
EPMN于P,
ADIIBC，分别以两腰AB、
，线段AD的垂直平分线交线段
FQMN于Q.判断线段EP、
P
E
G
H
CD为一边向梯形ABCD外作正方形
AD于点M，交BC于点N，若FQ的数量关系，并证明.
NC
【解析】
过点A作JK
AD交EP于J，交BC于K,
过点D作RT
AD交FQ于R，交BC于T.
•••PNAD于M,
二JKIIPN.
•••ADIIBC,
•四边形AKNM为平行四边形.
二AKMN.
同理可得DTMN.
•AKDT
又IEPMN,JKIIPN,ADIIBC,
•JKEP,JKBC,同⑴的证明可得
EJAK,FRDT.•EJFR.
由平行四边形JAMP和QMDR可知JP
AM
QR
MD.
又IAM
•JP（
IMD,QR
•••EJ
•••EP
JPQRRF.
FQ
训练2.
如图，以RtAABC的斜边BC为一边在△ABC同侧作正方形BCEF,设正方形的中心为
0,连接A0,如果AB=4,AO=62，求AC的长.
【解析】在AC上截取CM=AB，连接0M，可证△ABO◎△MCO,
•••/COM=/BOA
•••/AOM=/BOC=90
•/AO=MO=6.2
•AM=12
•AC=AM+MC=12+4=16
训练3.如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，D是AN中点，E是BM中点，求证：
△CDE是等边三角形.
【解析】•/△ACN◎△MCB,•ANBM,ABMANC
又TD、E分别是AN、BM的中点，
•••△BCE◎△NCD,•CECD,BCENCD
•DCENCDNCEBCENCENCB60°
CDE是等边三角形
训练4.如图，已知：
四边形ABCD中，AD=CD，/ABC=75°/ADC=60°,AB=2,BC=,⑴以线段BD,AB,BC作为三角形的三边，
1则这个三角形为三角形（填：
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）
2求BD边所对的角的度数
⑵求四边形ABCD的面积
屮/
-B'
【分析】可以按照上面铺垫的思路，分别以BD、AB、BC边各自向外作等边三角形去证明手拉
手数学模型中的全等。
【解析】⑴①钝角；②BCB135
⑵S四边形ABCDS等边△bdb
SaBCB
复习巩固
E
A
题型一正方形弦图巩固练习
【练习1】⑴如图，C为线段AB上一点，正方形ADEF和正方形BCDG
的面积分别为10cm2和5cm2，贝U△EDG的面积为cm2.
⑵如图，正方形ABCD的边长为4,若边长为2的正方形BEFG的对角线BF落在AB边上，则DG的长为（）.
A.4B.42
C.6D.422
【练习2】已知△ABC,
ABC90，以AB、AC为边向三角形外作正方形
ABDE和ACFG,
延长BA交EG于H，求证：
⑴
SAAEGSAABC；
⑵BC2AH.
【解析】
方法一：
延长EA到K，使AKAE，连接GK，即AKAB.
KAC
又•••AGAC,GAK90CAB90KAC
初二春季•第7讲•尖子班•教师版
二GAKCAB
•△AGKACB,
K
ABC
90,
GKCB
又tAHAK,AK
AE
•AHIIGK,GK
2AH
故BC2AH.
由gakgae可知
S^AEG
S^ABC
方法二：
由G作GK
BH,
垂足为
K.
在Rt^GKA和RtAABC中
AGAC,KAG
90
BAC,
BCA
90BAC
•••KAGBCA，有AGKA◎△ABC
•••AKCB,GKABAE
显然RtAGKH也RtAEAH
•AHKH,AK2AH，故BC2AH.
由SAAKG2SaAHGSAAEG，可得SAAEGSAABC
方法三：
在BC上截取CKAH，连接AK.
TKCABAC90,HAGBAC90
•KCAHAG
又TACGA,•△KCA◎△HAG,KACHGA
在RtAABK和RtAEAH中
tABEA
BKAKCAKACHAGHGA
AHEHAGHGA
•BKAAHE
•-RtAABK也RtAEAH，有BKAH
•
BC2AH.
题型
特殊图形中的旋转巩固练习
【练习3】等腰直角三角形ABC,/ABC
想，BEBFEF的值.
90,
ABa
O为AC中点,
/EOF45，试猜
BC于G，连接
FOG
OB，易知△OGC◎△OEB,
45°,OFOF,
【解析】如图，过点O作OGOE,
tBECG，又tEOGO
•△OEF◎△OGF,•EFFG
•BEBFEFCGBFFGABa
【练习4】已知：
PA2,PB3、_3，以AB为一边作等边三角形ABC,使P、C两点落在直线AB两侧.
⑴如图，当APB30时，求AB及PC的长；
⑵当APB变化，且其它条件不变时，求PC的最大值，及
相应APB的大小.
图1
【解析】⑴如图1,过点A作AEPB于点E.
•••/APB30PA2
•••AE1,BE23
二ABVAF__BE2廳
图2
如图2以AP为边向外做等边△APD，连接BD
•△BPD是直角三角形
•/BPD90
•BDPD2BP222（3.一3）2.31
显然，△APC◎△ADB
•
图3
PCBD,31.
⑵如图3将厶PAC绕点A顺时针旋转60得到△ABD,
则PC的最大值即为BD的最大值.
•/△PBD中，BD且P、C两点落在直线AB的两侧，
•••当D、P、B三点共线时，BD取得最大值.如图3
此时BDPDBP，即BD的最大值为233,
此时APB180APD120
【练习5】已知：
如图，
明AEBE
E是正方形ABCD的边BC上一点，AF平分/EAD交CD于点F，试说DF的理由
【解析】由厶ABE◎△ADG,
GFA,
从而AEAG,BAEDAG,又BAE2AFG,二GAF二GAGF，即AEBEDF
r
第十六种品格：
^感恩
感恩的回报
法国一个偏僻的小镇，据传有一个特别灵验的水泉，常会出现神迹，可以医治各
种疾病。
有一天，一个拄着拐杖，少了一条腿的退伍军人，一跛一跛的走过镇上的马路,
旁边的镇民带着同情的回吻说:
可怜的家伙，难道他要向上帝祈求再有一条腿吗?
这一句话被退伍的军人听到了，他转过身对他们说:
我不是要向上帝祈求有一条新
的腿，而是要祈求他帮助我，叫我没有一条腿后，也知道如何过日子。
试想：
学习为所失去的感恩，也接纳失去的事实，不管人生的得与失,
自已的生命充满了亮丽与光彩，不再为过去掉泪，努力的活出自己的生命。
今天我学到了
初二春季•第7讲•尖子班•教师版
5
【解析】⑴-⑵C
2
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