北师大版尺规作图.docx

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北师大版尺规作图

尺规作图

知识点

一、尺规作图

1．尺规作图的定义

在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．

2．五种基本作图

（1）作一条线段等于已知线段；

（2）作一个角等于已知角；

（3）作一个角的平分线；学-科网

（4）作一条线段的垂直平分线；

（5）过一点作已知直线的垂线．

3．根据基本作图作三角形

（1）已知三角形的三边，求作三角形；

（2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；

（3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；

（4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；

（5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形．

4．与圆有关的尺规作图

（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；

（2）作三角形的内切圆．

5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型．

6．作图题的一般步骤

（1）已知；

（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论．

其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹.

二、尺规作图的方法

1．尺规作图的关键

（1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；

（2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题．

 2．根据已知条件作等腰三角形或直角三角形

求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角．

重点考向

考向一基本作图

1．最基本、最常用的尺规作图，通常称为基本作图．

2．基本作图有五种：

（1）作一条线段等于已知线段；

（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）作一条线段的垂直平分线；（5）过一点作已知直线的垂线．

典型例题

典例1已知：

线段AB和AB外一点C．

求作：

AB的垂线，使它经过点C（要求：

尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．

典例2如图，已知∠MAN，点B在射线AM上．

（1）尺规作图：

①在AN上取一点C，使BC=BA；

②作∠MBC的平分线BD，（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在

（1）的条件下，求证：

BD∥AN．

考向二复杂作图

利用五种基本作图作较复杂图形．

典型例题

典例2如图，在同一平面内四个点A，B，C，D．

（1）利用尺规，按下面的要求作图．要求：

不写画法，保留作图痕迹，不必写结论．

①作射线AC；

②连接AB，BC，BD，线段BD与射线AC相交于点O；

③在线段AC上作一条线段CF，使CF=AC–BD．

（2）观察

（1）题得到的图形，我们发现线段AB+BC>AC，得出这个结论的依据是__________．

考点训练

1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是

A．用尺规作一条线段等于已知线段

B．用尺规作一个角等于已知角

C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角

D．不能确定

2．下列作图属于尺规作图的是

A．画线段MN=3cm

B．用量角器画出∠AOB的平分线

C．用三角尺作过点A垂直于直线l的直线

D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB=2∠α

3．如图，用直尺和圆规作∠A′O′B′=∠AOB，能够说明作图过程中△C′O′D′≌△COD的依据是

A．角角边B．角边角

C．边角边D．边边边

4．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠AOB=∠NCB，作图痕迹中，弧FG是

A．以点C为圆心，OD为半径的弧

B．以点C为圆心，DM为半径的弧

C．以点E为圆心，OD为半径的弧

D．以点E为圆心，DM为半径的弧

5．用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是

A．作一个角等于已知角

B．作已知直线的垂线

C．作一条线段等于已知线段

D．作角的平分线

6．如图，△ABC为等边三角形，要在△ABC外部取一点D，使得△ABC和△DBC全等，下面是两名同学做法：

学+科网

甲：

①作∠A的角平分线l；

②以B为圆心，BC长为半径画弧，交l于点D，点D即为所求；

乙：

①过点B作平行于AC的直线l；

②过点C作平行于AB的直线m，交l于点D，点D即为所求．

A．两人都正确B．两人都错误

C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确

7．在△ABC中，按以下步骤作图：

①分别以A，B为圆心，大于

AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD=BC，∠A=35°，则∠C=__________．

8．已知：

如图，线段AB和射线BM交于点B．

（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．

①在射线BM上作一点C，使AC=AB；

②作∠ABM的角平分线交AC于D点；

③在射线CM上作一点E，使CE=CD，连接DE．

（2）在

（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．

直通中考

1．（2017•襄阳）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于

BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（）

3．（2017•南宁）如图，在△ABC中，AB>AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是

A．∠DAE=∠BB．∠EAC=∠C

C．AE∥BCD．∠DAE=∠EAC

4．（2017•南通）已知∠AOB，作图．

步骤1：

在OB上任取一点M，以点M为圆心，MO长为半径画半圆，分别交OA、OB于点P、Q；

步骤2：

过点M作PQ的垂线交

于点C；

步骤3：

画射线OC．学科网

则下列判断：

①

=

；②MC∥OA；③OP=PQ；④OC平分∠AOB，其中正确的个数为

A．1B．2

C．3D．4

5．（2017•河北）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=__________°．

6．（2017•济宁）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于

MN的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点P（a，b），则a与b的数量关系是__________．

7．（2017•成都）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：

①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于

MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ=2QC，BC=3，则平行四边形ABCD周长为__________．

8．（2017•青海）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC．

（1）在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD、BC于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）连接DF，证明四边形ABFD为菱形．

3.我们学习过：

在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫旋转中心．

（1）如图①，△ABC≌△DEF，△DEF能否由△ABC通过一次旋转得到？

若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由．图①

（2）如图②，△ABC≌△MNK，△MNK能否由△ABC通过一次旋转得到？

若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由．

（保留必要的作图痕迹）

图①图②

5.为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉M、位置．（要求：

不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）

2.（2013山东滨州，23，9分）根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：

∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？

并举例验证猜想所得结论。

（1）如图①△ABC中，∠C=90°，∠A=24°

①作图：

②猜想：

③验证：

（2）如图②△ABC中，∠C=84°，∠A=24°.

①作图：

②猜想：

③验证：