矩阵的特征值与特征向量设计.docx

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矩阵的特征值与特征向量设计

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矩阵的特征值与特征向量

摘要

本文介绍了矩阵的特征值与特征向量的一些基本性质及定理，通过分析基本性质和定理来得出它们的基本求解方法，并延伸到一些特殊求解法。

接下来还介绍了一类特殊矩阵——实对称矩阵的特征值与特征向量，这让读者对矩阵的特征值与特征向量有更进一步的理解。

最后给出了矩阵的特征值与特征向量在实际中的应用例子。

这让我们明白研究它们不仅仅因为它们是学术知识，更是为了将它们应用到实际中去，解决实际问题，让我们的社会得到更快的发展。

通过阅读这篇文章，可以使读者在以后的学习中对矩阵的求解更容易掌握。

关键词：

矩阵、特征值、特征向量、正交、线性相关、线性无关、特征多项式

Matrixeigenvalueandeigenvector

ZhongYueyuan

（Scienceandinformationsciencedepartment2009levelofmathematicsandappliedmathematicsatShaoyangUniversityinHunan.）

Abstract

Thispaperintroducesthevalueandsomebasicpropertiesandtheoremsofeigenvectorsofthematrixcharacteristic,throughtheanalysisofthebasicpropertiesandtheoremstoderivebasicsolvingmethodforthem,andextendstosomespecialmethod.Thenitintroducesthecharacteristicsofaclassofspecialmatrix--therealsymmetricmatrixvalueandthecharacteristicvector,thereaderofmatricesintheactualexample.Letusunderstandthisstudythemnotonlybecausetheyaretheacademicknowledge,butalsotoapplythemtopractice,tosolvepracticalproblems,tomakeoursocietydevelopquickly.Byreadingthisarticle,readerscanlearninthefuturetosolvethematrixiseasiertograsp.

Keyword:

Matrix,eigenvalue,eigenvector,orthogonal,linearcorrelation,linearindependence,characteristicpolynomial

中文摘要...................................................................................................Ⅰ

Abstract.........................................................................................................Ⅱ

引言...........................................................................................................1

1矩阵的特征值与特征向量................................................................1

1.1矩阵的特征值与特征向量的定义及基本理论.................................1

1.2求解矩阵的特征值与特征向量方法..............................................4

2实对称矩阵的特征值与特征向量...................................................7

2.1实对称矩阵的性质、定理及对角化..................................................7

2.2求实对称矩阵的特征值与特征向量............................................9

3矩阵的特征值与特征向量的举例应用..........................................10

3.1用特征值理论求解Fibonacci数列通项......................................11

3.2在研究经济发展与环境污染中的应用.........................................12

4结论..............................................................................................15

参考文献..................................................................................................16

致谢.........................................................................................................17

引言

矩阵是高等代数课程的一个基本概念，是研究高等代数的基本工具。

线性空间、线性变换等,都是以矩阵作为手段；由此演绎出丰富多彩的理论画卷。

求解矩阵的特征值和特征向量，是高等数学中经常碰到的问题。

一般的线性代数教材中，都是先计算特征多项式，然后求得特征值，再通过解线性方程组得到对应的特征向量。

特征多项式和特征根在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，并且在实际中也有广泛的应用。

1矩阵的特征值与特征向量

1.1矩阵的特征值与特征向量的定义及基本理论

定义1设一个阶方阵，是一个数，如果方程

（1.1）

存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特征向量。

（1）式也可写成，

（1.2）这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式（1.3）

即

上式是以λ为未知数的一元次方程，称为方多项式阵的特征方程。

其左端λ是的次多项式，记作，称为方阵的特征。

=|A－λE|=

显然，的特征值就是特征方程的解。

特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算）。

因此，阶矩阵有个特征值。

设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系,不难证明（ⅰ）

（ⅱ）.

若为的一个特征值，则一定是方程的根,因此又称特征根，若为方程的重根，则称为的重特征根。

方程的每一个非零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：

第一步：

计算的特征多项式；

第二步：

求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

第三步：

对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：

的一个基础解系则的属于特征值的全部特征向量是

。

定义2　设是数域上线性空间的一个线性变换。

如果对应中的一个数，存在中的非零向量，使得　（1.4）

那么就叫做的一个特征值，而叫做的属于特征根的一个特征向量。

显然，如果是的属于特征值的一个特征向量，那么对于任意,都有（1.5）

这样，如果是的一个特征向量，那么由所生成的一维子空间在之下不变；反过来，如果的一个一维子空间在之下不变，那么中每一个非零向量都是的属于同一特征值的特征向量。

其中

（1）式的几何意义是：

特征向量与它在下的象保持在同一直线L（ξ）上，时方向相同，时方向相反，时，．

例1在V3中，是关于过原点的平面H的反

射，它是一个线性变换。

那么H中的每个非零

向量都是的属于特征值1的特征向量，Vλ

就是平面H。

与H垂直的非零向量都是的

属于特征值-1的特征向量，即V-1就是直

线L（见图1）。

图1

定理1属于不同特征值的特征向量一定线性无关。

证明设是矩阵的不同特征值，而分别是属于的特征向量，要证是线性无关的。

我们对特征值的个数m作数学归纳法证明。

当时,由于特征向量不为零,所以结论显然成立。

当时,假设时结论成立。

由于是的不同特征值,而是属于的特征向量,因此

如果存在一组实数，使

（1.6）

则上式两边乘以得

（1.7）

另一方面,

即

（1.8）

（4）－（5）有

。

由归纳假设,线性无关,因此

（1.9）

而互不相同，所以。

于是（1.9）变为

因,于是。

可见线性无关。

1.2求解矩阵的特征值与特征向量的方法

在求矩阵的特征值与特征向量之前，我们来讨论一下特征值与特征向量的关系，它们的关系如下：

（1）如果关于某个基的矩阵是,那么的特征值一定是的特征根，但的特征根却不一定是特征值，的个特征根中属于数域F的数才是的征特值；

（2）的特征向量是V中满足

（1）式的非零向量ξ，而A的特征向量是中的满足的非零列向量；

（3）若λ∈F是A的特征根，则A的中属于λ的就是的λ属于的特征向量关于给定基的坐标。

下面我们来介绍两种求矩阵的特征值与特征向量的方法：

1.2.1同步求解法

定义l把矩阵的下列三种变换称为行列互逆变换：

1．互换i，j两行，同时互换i，j列；

2．第i行乘非零数k，同时第i列乘1k；

3．第i行k倍加入第j行，同时第j列一k倍加入第i列。

定理1设是秩为的阶矩阵，且

其中B是秩为的列满秩矩阵，则矩阵P所含的个列向量就是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系（证明略）。

定理2矩阵的特征矩阵经列的初等变换可化为下三角的矩阵，且的主对角线上元素乘积的多项式的根恰为的所有特征值（证明略）。

例l求的特征值与特征向量．

解：

所以，特征值,特征向量分别为。

例2求矩阵的特征值与特征向量．

解：

由定理1，令，得矩阵A的特征值为。

当时，（A－λE）已是标准上三角形矩阵，由定理2得

得特征向量,

当时，，同理，特征向量为

1.2.2初等变换法

定理3齐次线性方程组的系数矩阵的秩数，非奇异矩阵的后n-r列便构成线性方程组的一个基础解系。

证明：

又

。

从而即的后列，即的诸列为方程组的列向量。

因为为非奇异矩阵，所以的列线性无关，故它们构成方程组的一个基础解系。

如何求矩阵，从而得到，从上面的证明过程可以看出，需要进行如下计算：

因矩阵的秩为，有列线性无关向量组，于是矩阵经一系列的初等变换成为，其中秩,由此便得到。

例3已知,求矩阵A的特征根与特征向量。

解：

=

由知，的特征根。

当时，，特征向量。

当时，，特征向量。

2对称矩阵的特征值与特征向量

2.1实对称矩阵的性质、定理及对角化

定义1如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，且（转置为其本身），则称A为实对称矩阵。

定理1实对称矩阵的特征值恒为实数，从而它的特征向量都可取为实向量。

定理2实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的。

证明设是实对称矩阵的两个不同的特征值，即是分别属于的特征向量，则，

根据内积的性质有

又

所以

因，故，即与正交。

定理3设为阶对称矩阵，是的特征方程的重根，则矩阵的秩从,从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量。

定理4设为阶对称矩阵，则必有正交矩阵，使，其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵。

例1设，求一个正交矩阵，使为对角矩阵.

解：

所以的特征值

对于，解齐次线性方程组，得基础解系

因此属于的标准特征向量为

对于，解齐次线性方程组，得基础解系

这两个向量恰好正交，将其单位化即得两个属于的标准正交向量,

于是得正交矩阵

易验证。

2.2求实对称矩阵的特征值与特征向量

实对称矩阵是矩阵的一种特殊形式，我们在学矩阵的时候已经学会怎样求解矩阵的特征值与特征向量。

下面，分别用初等行变换和初等列变换来解实对称矩阵的特征值与特征向量，以便大家更好地了解实对称矩阵。

定理1n阶矩阵A的特征矩阵经列的初等变换可成为下三角矩阵：

（2.1）

其中的根就是的特征多项式的根。

例1求的特征值与特征向量。

解:

所以，特征值分别为；

特征向量分别为

例2求矩阵的特征值与特征向量。

解:

特征值为（三重根），。

当时，

特征向量。

3矩阵的特征值与特征向量的举例应用

上面几章已经对矩阵的特征值与特征向量的理论知识进行了学习，现在我们要解决的是怎样将理论知识应用到实际中去，以达到学以致用的效果。

下面就让我们一起来学习矩阵的特征值与特征向量在实际生活中的具体应用。

3.1用矩阵特征值理论求解Fibonacci数列通项

斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：

1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递归的方法定义：

，在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从年起出版了《斐波那契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。

在1202年，裴波那契在一本书中提出一个问题：

如果一对兔子出生一个月后开

始繁殖，每个月生出一对后代，现有一对新生兔子，假定兔子只繁殖，没有死亡，问

第K个月月初会有多少对兔子？

以“对”为单位，每月兔子组对数构成一个数列，

（3.1）

试着求出通项。

现在我们运用矩阵的工具来求数列的通项。

解：

由关系式

令

则上述关系式可以写成矩阵形式（3.2）

由（3.2）式递推可得（3.3）

于是求的问题归结为求，即求的问题。

由

得A的特征值

，

对应于的特征向量分别为

（3.4）

令

于是

（3.5）

将，代入（3.5）

得

（3.6）

对应于任何整数k,由（6）式求得的都是正整数，当K=20时，=6765，即20个月后有6765对兔子，此例中利用矩阵的特征值理论，方便地求出Fibonacci数列的通项公式。

3.2在研究经济发展与环境污染之间关系中的应用

经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题。

为研究某地区的经济发展与环境污染之间的关系，可建立如下数学模型：

设分别为某地区目前的环境污染水平与经济发展水平，分别为该地区若干年后的环境污染水平和经济发展水平，且有如下关系：

令,

则上述关系的矩阵形式为。

此式反映了该地区当前和若干年后的环境污染水平和经济发展水平之间的关系。

如

则由上式得

由此可预测该地区若干年后的环境污染水平和经济发展水平。

一般地，若令分别为该地区t年后的环境污染水平与经济发展水平，则经济发展与环境污染的增长模型为

令

则上述关系的矩阵形式为

由此，有

由此可预测该地区年后的环境污染水平和经济发展水平。

面作进一步地讨论：

由矩阵的特征多项式

得A的特征值为

对，解方程得特征向量

对，解方程得特征向量

显然,线性无关。

下面分三种情况分析：

情况一

一个性质:

若是矩阵A的属于特征值的特征向量,则也是的属于特征值的特征向量。

由（*）及特征值与特征向量的性质知，

即或

此式表明：

在当前的环境污染水平和经济发展水平的前提下，t年后，当经济发展水平达到较高程度时，环境污染也保持着同步恶化趋势。

情况二，所以不讨论此种情况。

情况三，不是特征值,所以不能类似分析。

但是可以由唯一线性表示出来。

由（*）及特征值与特征向量的性质得

即

由此可预测该地区t年后的环境污染水平和经济发展水平。

因无实际意义而在情况二中未作讨论，但在情况三的讨论中仍起到了重要作用。

由经济发展与环境污染的增长模型易见，特征值和特征向量理论在模型的分析和研究中获得了成功的应用。

4结论

通过本章的学习，我们对矩阵的特征值与特征向量的定义、性质有了更深的了解，并且学会用不同的方法计算特征值与特征向量。

将矩阵应用到实际生活中去，解决实际问题，这才是我们学习各种理论知识的最终目的。

学习和研究数学，联系实际，通过数学的工具来解决生活上问题。

离开数学别的科学研究是寸步难行的，所以我们必须重视数学，深入研究数学，从而促进所有科学的发展。

在这篇文章中，由于知识的有限，还存在很多的不足，对矩阵的特征值与特征

向量的研究还不够深入，需要所有从事数学研究的老师和学者的共同努力，加强理论知识在实际中的应用。

参考文献：

[1]曹志浩编著.矩阵特征值问题[M].上海科学技术出版社.1980

[2]杨廷俊.矩阵特征值与特征向量的同步求解法[J].甘肃联合大学学报（自然科学版）.

2006，3:

2-3.

[3]何翼.求矩阵的特征值与特征向量的新方法[J].铜仁学院学报.2009,3:

4-5.

[4]邵丽丽.矩阵的特征值和特征向量的应用研究[J].菏泽学院学报.2006,5:

1-3.

[5]张红玉.矩阵特征值的理论及应用[J].山西大同大学学报（自然科学版）.2009,1:

7-8.

[7]王英瑛.矩阵特征值和特征向量求法的探讨[J].山东理工大学学报（自然科学版）.

2008,3:

5-6.

[8]刘国琪.矩阵特征值与特征向量的同步求解[J].重庆师范学院学报（自然科学

版）.1996,S1:

5-7.

[9]刘亚亚,程国.一种改进的求方阵特征值的方法[J].商洛学院学报.2008,2:

1-2.

[10]陈景良,陈向晖著.特殊矩阵[M].清华大学出版社,2001

[13]杨子胥.高等代数习题解[M].济南:

山东科学技术出版社,1982.

致谢

2013年5月25日

毕业论文通用格式分类号：

无锡职业技术学院

毕业设计（论文）

题目（团队课题要注明“团队”二字）

英文并列题目

所在团队

答辩委员会主任主答辩人

二零15年3月

毕业设计（论文）开题报告

毕业设计（论文）任务书

年月日

设计类建议格式一：

封面

开题报告

任务书

摘要、关键词（含中英文）

第一章序言

1.1XXX

1.2XXX

……

第二章XXX工艺设计

2.1XXX

2.2XXX

……

第三章XXX参数确定及计算

3.1XXX

3.2XXX

……

第四章XXX夹具设计

4.1XXX

4.2XXX

……

第N-1章XXX

N-1.1XXX

N-1.2XXX

……

第N章结论

小结与致谢

参考文献

毕业设计附录目录：

1.机械加工工艺流程图

2.机械加工工艺过程卡

3.机械加工工艺工艺卡

4.机械加工工艺工序卡

5.被加工零件图

6.夹具装配图

7.夹具零件图

8.其他系统图

9.其他原理图

10.零件三维造型图

11.夹具三维造型图

12.设计（作品）实物图

13.设计（作品）实物

14.开题报告

15.专业翻译材料

16.企业证明

17.与企业合作开发的技术服务合同

18.四技服务项目验收表

19.毕业设计（论文）指导记录表

20.毕业答辩评审表

表2毕业设计（论文）评阅教师评价表

表3毕业设计（论文）答辩记录表

表4毕业设计（论文）答辩评价表

表4毕业设计（论文）综合评价表

设计类建议格式二：

封面

开题报告

任务书

摘要、关键词（含中英文）

第一章绪论

1.1XXX课题的背景及意义

1.2XXX国内外研究现状

1.3XXX技术特点

1.4XXX课题研究的内容

……

第二章XXX系统的总体设计

2.1XXX系统整体方案设计思路

2.2XXX

……

第三章XXX系统的硬件设计

3.1XXX系统硬件设计思路

3.2XXX

……

第四章XXX系统的电路设计

4.1XXX系统电路设计思路

4.2XXX

……

第五章XXX系统的软件设计

5.1XXX系统软件设计思路

5.2XXX

……

第六章XXX系统的监控中心设计

6.1XXX系统监控中心设计思路

6.2XXX

……

第N-1章XXX

N-1.1XXX

N-1.2XXX

……

第N章总结与展望

小结并致谢

参考文献

毕业设计附录目录：

1.XXX系统的总体设计图

2.XXX系统的硬件设计图

3.XXX系统的电路设计图

4.XXX系统的软件设计方框图

5.软件光盘

6.其他系统图

7.其他原理图

8.设计（作品）实物图

9.设计（作品）实物

10.开题报告

11.专业翻译材料

12.企业证明

13.与企业合作开发的技术服务合同

14.四技服务项目验收表

15.毕业设计（论文）指导记录表

16.毕业答辩评审表

表2毕业设计（论文）评阅教师评价表

表3毕业设计（论文）答辩记录表

表4毕业设计（论文）答辩评价表

表4毕业设计（论文）综合评价表

论文版面格式：

无锡市机电五金行业市场调查

（三号、宋体、加粗、居中、1.5倍行距）

摘要：

（小五号，黑体）无锡位于长三角地区，近年来机电五金行业发展迅猛。

通过对无锡机电五金市场的调查，从调查目的、调查对象、调查范围、调查方式、调查内容等方面，大致了解了无锡机电五金行业的市场经营的现状、从业人员的现状以及电子商务应用的情况。

（小五号、楷体、单倍行距）

关键词：

（小五号，黑体）机电五金行业；市场调查；无锡市（小五号、楷体、单倍行距、分号相隔）

MarketresearchonWuxielectromechanical”体）

Abstract:

（加粗）Havenotintolocatetogrowtriangleregion,themachinegivesorgetsanelectricshockadevelopmentinrecentyearsfastfierce.Passtheinquisitionthattherightness