7_圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计.ppt
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第第77章章圆轴扭转时的应力变形分析圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计以及强度和刚度设计77.11扭转概念和工程实例扭转概念和工程实例11、螺丝刀杆工作时受扭、螺丝刀杆工作时受扭。
Me主动力偶主动力偶阻抗力偶阻抗力偶一、扭转的工程实例一、扭转的工程实例22、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
33、机器中的传动轴工作时受扭。
、机器中的传动轴工作时受扭。
二、扭转的概念二、扭转的概念受力特点：
受力特点：
杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力偶作用面垂直于杆的轴线。
偶作用面垂直于杆的轴线。
变形特点：
变形特点：
杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
主要发生扭转变形的杆主要发生扭转变形的杆轴轴。
Me主动力偶主动力偶阻抗力偶阻抗力偶7.2受扭圆轴的扭转变形受扭圆轴的扭转变形切应变切应变：
直角的改变量直角的改变量从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体单元体单元体xyzabOcddxdydztttttt自动满足自动满足存在存在t得得7.3剪应力互等定理剪应力互等定理MeMe剪应剪应力互等定理力互等定理单元体在其两对互相单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为而无正应力的状态称为纯纯剪切应力状态剪切应力状态。
dabcttttxyzabOcddxdydztttt在相互在相互垂直垂直的两个面上，切的两个面上，切应力总是成对出现，并且应力总是成对出现，并且大小相大小相等等，方向，方向同时指向同时指向或或同时背离同时背离两两个面的个面的交线交线。
7.4圆轴扭转时的横截面上的剪应力圆轴扭转时的横截面上的剪应力一、实验观察一、实验观察一、实验观察一、实验观察1）在圆轴的外表面上纵向作平行直线）在圆轴的外表面上纵向作平行直线2）在圆轴的外表面上横向作平行圆周线）在圆轴的外表面上横向作平行圆周线abcdabcdabcdabcdabcdMM3）在圆筒的两端加上外力偶矩）在圆筒的两端加上外力偶矩M。
4）观察变形）观察变形abcdabcd提出假设：
提出假设：
ac、bd代表的是两个横截面代表的是两个横截面横截面似一横截面似一刚性平面刚性平面，在外力偶矩作用下绕轴，在外力偶矩作用下绕轴转过一定的角度，仍维持为圆截面。
转过一定的角度，仍维持为圆截面。
平面假设成立平面假设成立!
1）平面假设成立）平面假设成立2）轴向无伸缩）轴向无伸缩3）纵向线变形后仍为平行直线）纵向线变形后仍为平行直线4）横截面上同一圆周上所有的点绕轴心转过相同的角度）横截面上同一圆周上所有的点绕轴心转过相同的角度观察到的变形：
观察到的变形：
abcdabcddxbdacRxAdxxMMdxx二、变形几何规律二、变形几何规律二、变形几何规律二、变形几何规律AAAbd取一小段取一小段dx圆轴研究之，如上图示圆轴研究之，如上图示OO外表面上：
外表面上：
bb内部内部A：
AAdxbdacRxAdxxAAAbd同一截面上（选择了参考面后），同一截面上（选择了参考面后），相同相同-单位长度上横截面的相对扭转角单位长度上横截面的相对扭转角变形几何规律变形几何规律三、物理关系三、物理关系三、物理关系三、物理关系当当时时（剪切胡克定律）（剪切胡克定律）剪应力分布规律：
剪应力分布规律：
3）从变形可以看出，没有长度的变化，只有相对的转动，）从变形可以看出，没有长度的变化，只有相对的转动，横截面上点沿圆周线位移，横截面上点沿圆周线位移，rr与半径线垂直，且顺着与半径线垂直，且顺着T的方向。
的方向。
1）同一截面上，）同一截面上，rr与与rr成正比，即成正比，即rr沿半径线线性分布沿半径线线性分布2）同一截面上，）同一截面上，rr在同一圆周上有相同的大小。
在同一圆周上有相同的大小。
TTdxbdacRxAAbdxTD五、静力关系五、静力关系五、静力关系五、静力关系横截面上内力系合成的结果横截面上内力系合成的结果TT内力合力内力合力T令令横截面对形心的极惯性矩横截面对形心的极惯性矩仅与图形的面积分布有关而与外界条件无关，反映截面性质的量。
仅与图形的面积分布有关而与外界条件无关，反映截面性质的量。
抗扭截面系数，与截面的大小、抗扭截面系数，与截面的大小、形状、尺寸等有关。
形状、尺寸等有关。
六、公式的适用范围六、公式的适用范围六、公式的适用范围六、公式的适用范围1、圆轴扭转、圆轴扭转2、弹性范围内、弹性范围内五、五、五、五、IIPP、WWPP的计算的计算的计算的计算D1、实心圆轴、实心圆轴22、空心、空心圆轴应力公式应力公式1）横截面上任意点：
横截面上任意点：
2）横截面边缘点：
横截面边缘点：
其中：
其中：
d/2OT抗扭截面模量抗扭截面模量D/2OTd/2空心圆空心圆空心圆空心圆实心圆实心圆实心圆实心圆小结小结例题例题1实心圆轴的直径实心圆轴的直径D=100mm，长，长L=1m，两端受力偶矩，两端受力偶矩m=14KN.m作用，设材料的剪变模量作用，设材料的剪变模量G=80GPa，求：
求：
1）最大剪应力）最大剪应力max；2）图示截面上）图示截面上A、B、C三点剪应力的数值及方向三点剪应力的数值及方向;3）若将圆轴在保持截面面积）若将圆轴在保持截面面积A相同时改为相同时改为d/D=1/2的空心圆轴，其最大剪应力的空心圆轴，其最大剪应力max。
mmABCABC解：
解：
1）T=m=14KN.m2）3）A相同，空心率相同，空心率d/D=1/2最大应力下降了最大应力下降了30.7%！
解：
（解：
（11）计算外力偶矩、扭矩）计算外力偶矩、扭矩由截面法
（2）计算极惯性矩）计算极惯性矩,AC段和段和CB段段横截面的极惯性矩分别为横截面的极惯性矩分别为（33）计算应力）计算应力，例例AB轴传递的功率的功率为，转速速。
如如图所示，所示，轴AC段段为实心心圆截面，截面，CB段段为空心空心圆截面。
截面。
已知已知。
试计算算AC以及以及CB段的最大切段的最大切应力。
力。
2、设计截面尺寸：
、设计截面尺寸：
3、设计载荷：
、设计载荷：
7.5圆轴扭转圆轴扭转强度条件：
强度条件：
强度条件：
强度条件：
1、校核强度：
、校核强度：
其中其中称为许用剪应力。
依此强度准则可进行三种强度计算：
称为许用剪应力。
依此强度准则可进行三种强度计算：
例例：
图图示示阶阶梯梯状状圆圆轴轴，AB段段直直径径d1=120mm，BC段段直直径径d2=100mm。
扭扭转转力力偶偶矩矩MA=22kNm，MB=36kNm，MC=14kNm。
材材料料的的许许用用切切应应力力t=80MPa，试试校校核核该该轴轴的的强强度度。
解：
解：
1、求内力，作出轴的扭矩图、求内力，作出轴的扭矩图2214T图（kNm）MAMBMCACBBC段段AB段段2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度即该轴满足强度条件。
即该轴满足强度条件。
2214T图（kNm）例例：
某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递扭矩T=1.98kNm，t=100MPa。
（1）试校核轴的强度。
（2）若换为实心轴，在同同样强度下样强度下其直径为何？
二者重量比？
解解：
（：
（1）计算截面参数：
计算截面参数：
由强度条件：
由强度条件：
故轴的强度满足要求。
故轴的强度满足要求。
可见：
同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴可见：
同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故的三分之一，故空心空心轴较轴较实心实心轴合理轴合理。
（2）若将空心轴改成实心轴，仍使）若将空心轴改成实心轴，仍使则：
则：
由上式解出：
由上式解出：
d=46.9mm。
空心轴与实心空心轴与实心轴的截面面积轴的截面面积比比（重量比重量比）为：
为：
7.67.6圆轴扭转时的变形与刚度条件圆轴扭转时的变形与刚度条件扭转角扭转角l扭转变形扭转变形两个横截面绕轴线的相对转角。
两个横截面绕轴线的相对转角。
u微段的扭转角微段的扭转角u整体的扭转角整体的扭转角u整体的扭转角整体的扭转角u等直圆轴且扭矩不变时等直圆轴且扭矩不变时GIp圆轴的圆轴的抗扭刚度抗扭刚度。
u阶梯轴或扭矩分段变化阶梯轴或扭矩分段变化u扭矩连续变化扭矩连续变化u等直圆轴且扭矩不变时等直圆轴且扭矩不变时l刚度条件刚度条件（rad/m）若若的单位为的单位为“度度/米米”，则，则（/m）u单位长度扭转角单位长度扭转角例例图示钢制实心圆截面轴，已知：
图示钢制实心圆截面轴，已知：
M1=1592Nm,M2=955Nm，M3=637Nm，d=70mm，lAB=300mm，lAC=500mm，钢的切变模量钢的切变模量G=80GPa。
求横截面求横截面C相对于相对于B的扭转角的扭转角jCB。
解：
解：
1、先用截面法求各段轴的扭矩：
先用截面法求各段轴的扭矩：
BA段段AC段段M1M3BACM2dlABlAC2、各段两端相对扭转角：
各段两端相对扭转角：
jCAjABM1M3BACM2dlABlAC3、横截面横截面C相对于相对于B的扭转角：
的扭转角：
jABjCAM1M3BACM2dlABlAC例：
已知阶梯轴如图示，m1=1800N.m，m2=1200N.m,G=80GPa，=80MPa。
试求:
1）max的值，并作强度校核；2）若试校其刚度；3）轴的总变形。
70m1m25075050xT-1200N.m-3000N.m解：
解：
1、求内力，作扭矩图、求内力，作扭矩图轴的强度足够轴的强度足够!
2、强度校核、强度校核3、刚度校核、刚度校核轴的刚度足够轴的刚度足够!
4、总变形、总变形例例由由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比比a=0.5。
已知材料的许用切应力已知材料的许用切应力t=40MPa，切变模量切变模量G=80GPa。
轴的横截面上最大扭矩为轴的横截面上最大扭矩为Tmax=9.56kNm，轴的许可单位长度扭转角轴的许可单位长度扭转角j=0.3/m。
试选择轴的直径。
试选择轴的直径。
解：
解：
1、按强度条件确定外直径、按强度条件确定外直径D2、由刚度条件确定所需外直径、由刚度条件确定所需外直径D3、确定内外直径、确定内外直径
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