程序性知识教与学研究.pptx

程序性知识教与学研究.pptx

《程序性知识教与学研究.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《程序性知识教与学研究.pptx（78页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

程序性知识教与学研究,以有理数乘法为例,杭州师范大学理学院：

巩子坤Email：

程序性知识：

是如何做事的知识，这些“事”包括，按照固定的定程序进行练习，解决新颖的问题。

程序性知识通常以一系列要遵循的步骤的形式出现，它包括技能、算法、技术和方法的知识，比如，小数乘法的算法，解方程的算法，证明三角形全等的方法，数学建模的方法；还包括用于决定何时运用不同程序标准的知识，比如，决定用哪种方法进行简便运算的标准的知识。

有理数运算这类知识属于程序性知识。

想一想：

为什么“负负得正”,目录,一、研究的问题,二、研究的对象三、研究的方法四、结果一：

学生对有理数乘法意义的理解五、结果二：

学生对有理数乘法算理的理解六、结果三：

负负得正为何难以理解，为何能够接受七、结果四：

教学策略八、讨论与建议,一、研究的问题,我国义务教育数学课程标准指出：

“对数与代数学习的评价，应主要考察学生对概念、法则及运算的理解与运用水平”。

关于有理数教学的要求是“在具体情境中，理解有理数及其运算的意义”，评价建议是“关注学生对有理数的意义、有理数运算法则的理解水平。

对运算的评价重点应放在学生对算理的理解”。

2000大纲（试用修订版）版教科书指出，“有理数教学的主要难点是对有理数运算法则的理解，特别是对有理数乘法法则的理解”。

学生对有理数乘法的理解水平是什么学生达到该理解水平的原因为什么？

基于学生的理解水平和程序性知识的特点，教学策略是什么？

课程目标是什么？

一、研究的问题,有理数乘法,有理数乘法的理解就包括运算意义的理解、运算算理的理解。

对有理数乘法的理解，就从这两个维度展开。

二、研究的对象,我们选取了某市的三所城镇初级中学作为研究、调查的学校。

这三所中学在当地排名位居前列，每所学校都有10个左右的平行班级。

我们研究时，7年级学生正好学习有理数乘法。

有关学生的调查、访谈，均在这些学校进行。

有关教师的调查、访谈和课堂观察，也在这些学校进行。

三、研究的方法,

（一）研究工具问卷调查问卷调查主要分为两类，一类是对学生的问卷，另一类是对教师的问卷。

问卷的题目见研究的结果四、五、六。

访谈主要访谈了三类学生。

我们还对部分教师进行了访谈。

3.课堂观察

（二）数据分析我们采用两种方法分析数据。

一是定性的方法。

主要用来分析学生、教师对有理数乘法的理解，以及教师的教学策略。

二是定量的方法。

对学生、教师的回答，我们进行了分类和编码，然后把这些数据输入到数据库，从而进行定量的分析。

（一）问卷学生问卷调查内容如下：

说明下列各算式所表示的意义是什么。

问题1（4）7问题26（5）问题3（4）（6）教师问卷调查的内容同学生。

四、结果一：

有理数乘法意义的理解,

（二）正确的理解1异号两数相乘

（1）用加法来解释比如，学生S1：

（4）7表示4的7倍是多少。

S1：

结果是28。

就是7个4的和。

比如，学生S2：

6（5）就是6个5相加是多少。

有的学生还提供了现实情境，比如，学生S3：

考试的时候，错一道题扣5分，错6道题扣多少分？

I：

请解释一下。

S3：

扣5分记为5，错了6道题，一共扣了30分，记为30。

不就是6（5）30吗。

四、结果一：

有理数乘法意义的理解,四、结果一：

有理数乘法意义的理解,

（2）用乘法来解释比如，学生S4：

6（-5）的意义是6与5相乘的积是多少？

I：

积是多少？

S4：

30。

I：

怎样得到的？

S4：

用法则得到的。

I：

你为什么这样解释？

S4：

这道题和（4）7不一样，我感觉到不好解释了。

你总不能说是6的5倍，或者5个6的和吧。

表学生对异号两数相乘意义回答的正确率（人次276）,四、结果一：

有理数乘法意义的理解,2两个负数相乘正确的理解：

解释为积。

比如，学生S5：

（4）（6）的意义是4与6相乘的积是多少？

I：

积是多少？

S5：

同号两个数相乘，积为正，结果是24。

I：

你把（4）7解释为7个4相加的和，我感到比较清楚。

以上解释，你感到清楚吗？

S5：

我感到不太清楚。

我解释不清楚，根据法则来做就行了。

表学生对（4）（6）意义的回答情况（人次138）,（三）错误理解的即原因分析负数个比如，学生S6：

一个球7元钱，小明买了4个多少钱？

比如，学生S8：

（4）（6）的意义是4个6的和是多少。

I：

什么是6个。

S7：

按小学时所学的，几个几相加的和。

I：

6个你感到能够说清楚吗？

S7：

不太清楚。

负数倍比如，学生S8：

6（5）：

6的5倍是多少？

5个6是多少？

（4）（6）：

4的6倍是多少？

4个6是多少？

四、结果一：

有理数乘法意义的理解,（四）教师的理解,四、结果一：

有理数乘法意义的理解,表教师对异号两数相乘意义回答情况,表教师对（-4）（-6）意义的回答情况,四、结果一：

有理数乘法意义的理解,教师提供的典型错误回答有：

异号两数相乘。

教师T1：

6（5）表示5个6的和。

两个负数相乘。

教师T2：

下降了6次温度，每次下降4度。

教师T3：

每次走4米，向向东的反向走6次，结果向东24米。

记作24。

教师T4：

表示6个4的和。

教师T5：

4个6的和的相反数或6个4的和的相反数。

教师T6：

表示6个4相乘。

究竟什么是有理数乘法的意义？

四、结果一：

有理数乘法意义的理解,（五）有理数乘法的意义是什么1.表面上看，错误的原因是整数乘法的负迁移作用，实质上则是乘法意义的扩展。

整数加法的意义,整数乘法的意义,小数乘整数的意义,一个数乘小数（分数）的意义,正有理数乘法的意义,乘负数的意义,保持运,算的持续性,（实线框）意义迁移（同化）,（虚线框）意义扩展（顺应）图有理数乘法意义的迁移,四、结果一：

有理数乘法意义的理解,负数出现前，要么借助加法、要么借助直观，乘法获得了意义负数出现了，把乘法还原成加法的愿望根本不能实现，想通过直观的方式来表征乘法也很难做到，即便做到了，也很牵强。

为什么？

因为负数出现了，因为负数本身一点都不直观。

既如此，就很难用原来的方式来理解有理数乘法了，也就是说，不能过多地寻求直观，而应该从推理、逻辑、形式的角度来理解有理数乘法。

正像从正数到负数的扩展一样，乘法的意义需要一次更大的扩展。

有理数乘法意义的扩展遵循的原则。

从现代数学的角度来看，有理数乘法的扩展所必须遵循的基本原则就是保持“运算的持续性”或者说“承袭性”：

原来的运算得以承袭，新的运算能够进行下去。

形式化的定义。

四、结果一：

有理数乘法意义的理解,A是一个集合，在集合A里定义了一个二元运算“”，A与这个运算就构成了一个代数系统（A，）。

这个代数系统的运算“”称为乘法运算，通常说来，如果它满足以下运算律：

封闭性：

ab是A的元；单值性：

ab的值唯一确定。

这个乘法运算甚至不必满足交换律、结合律、对加法的分配律。

乘法的意义就是，为集合A中的两个元确定唯一的一个对应元。

比如，要问

（2）（3）的意义是什么，也就是问

（2）（3）唯一的对应元是什么，通过定义知道，它的对应元是6。

也就是说，它的意义是通过它的定义反映出来的。

从这个角度而言，乘法与加法就没有什么本质的区别。

如果乐意，完全可以把加法与乘法互换称谓。

（一）问卷问卷内容如下：

先计算然后用尽可能多的方法，如文字解释、画直观图、算式表示等来说明你的答案是正确的，也就是要说明为什么“负正得负”，“正负得负”，特别是“负负得正”说明得越详细越好问题1（3）6问题27（5）问题3（5）（3）,五、结果二：

有理数乘法算理的理解,五、结果二：

有理数乘法算理的理解,

（二）理解的类型层次模型直观理解：

用直观图像来说明运算结果的合理性。

程序理解：

按照固定的程序，比如运算法则来解决问题，给出正确的答案。

通俗地说来，就是会计算。

抽象理解：

用语言、算式等来说明结果的合理性。

抽象理解与直观理解的区别是，直观理解要通过直观图像来说明结果的合理性，而抽象理解是通过口头语言、书面符号等来抽象地说明结果的合理性。

抽象理解与形式理解的区别是：

形式理解要用规律、规则，并基于逻辑推理来证实结果的合理性。

形式理解：

用一个已知的规则、规律（相当于数学的公理、定理），基于逻辑推理，来证实运算结果的合理性。

五、结果二：

有理数乘法算理的理解,（三）正确的理解1程序理解学生S1（学生S；访谈者T）：

7（5）35。

因为一个负数与一个正数相乘，得负，再把绝对值相乘。

能够给出正确的答案，即获得了对有理数乘法运算的程序理解。

2直观理解用现实情境来表征。

比如，学生S2：

一件衣服减价5元，记为5，7件衣服共减价35元，记为35，也就是7（5）35。

用数轴来表征。

比如，学生S3：

5就是向坐标轴的反方向移动5个单位。

乘一个负数，就是向相反的方向移动。

乘3就是向相反的方向移动3次，即到达15。

515,3抽象理解比如，学生S5：

7（5）（-5）（-5）（-5）+（-5）+（-5）+（-5）+（-5）比如：

学生S6：

（-3）6表示6个3相加，也就是18。

五、结果二：

有理数乘法算理的理解,（四）错误的理解1.相反数的相反数比如，077721：

7（5）也就是7乘5的相反数。

比如，077738：

（5）（3），先不看负号，将5与3相乘，然后在5的前面加上2个负号，于是得到15。

比如，077702：

（5）（3）表示的是3与5的积的相反数的相反数。

比如，077722：

先把5分成“”和5两部分，把3也分成“”和3两部分。

35是15，然后在15的前面加上两个“”，就是（15），就是15。

五、结果二：

有理数乘法算理的理解,2.2个负号可以抵消比如，087402：

（5）（3）中有两个负号，两个负号就抵消了，变成53了。

T：

为什么可以抵消？

S：

老师讲过。

T：

（5）（3）？

S：

8。

T：

为什么不能把两个负号抵消？

S：

因为这个是加法，刚才的那个是乘法。

五、结果二：

有理数乘法算理的理解,3.“、”合起来为“”比如，077736：

把5和3的绝对值相乘。

然后，它们身上不是都有一个“”号吗？

把它们的符号合并起来，不就是“”吗，“”可以省略不写，最后的结果不就是15吗。

比如，077740：

把“”理解为一个火柴棒，算的时候，先不要理符号，算完了，把两个火柴棒放在一起，不就是“”吗（学生画了一个非常逼真的“”号）。

五、结果二：

有理数乘法算理的理解,类比比如，077763：

（+5）（+3）15，也就是说，两个同号的数相乘结果为正；（5）（3），也是同号的两个数相乘，结果也应该是正。

而这两个数的积总要和53有关系吧，所以是15。

使用类比的方法来说明结果的合理性是一种合情推理模式，这种方法具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用。

计算器法比如，087419：

用计算器一算，就是15，所以是对的。

五、结果二：

有理数乘法算理的理解,6.同位的同位（否定之否定）比如，077774：

假设我代表正数，我的同位代表负数；我的同位的同位就是我，不就是正数吗？

T：

你怎么想到这个办法的？

S：

我总是不明白为什么负负得正，很困惑。

有一天，我与我的同位说起了这件事，他给我举了这个例子。

本质上，这种方法就是相反数的相反数法,五、结果二：

有理数乘法算理的理解,7.把5理解为5个“”比如，077701：

T：

能说明（5）（3）15吗？

S：

能吧。

5是5个“”，3是3个“”。

共有偶数个“”，抵消了。

T：

（2）（3）呢？

S：

那就是6了。

不对了。

T：

该怎么办呢？

S：

法则上说同号得正。

T：

你感到这样说服了我为什么负负得正了吗？

S：

有点困难。

五、结果二：

有理数乘法算理的理解,8.个数模型比如，087408：

王红有5个苹果，王华有3个苹果，两个人苹果的积就是（5）（3）15个。

9.（5）（3）10比如，077708：

把5看作往西走5米。

乘3就是往东走了3次。

这样就在东边10米处了。

五、结果二：

有理数乘法算理的理解,五、结果二：

有理数乘法算理的理解,（五）理解的水平1量化的层次

（1）平均分和正确率。

类,确,表1不,同理解,型的平均,得分和正,率,五、结果二：

有理数乘法算理的理解,表2学生对（3）（5）理解的平均得分和正确率,

（2）理解的,图1有理数乘法运算的理解水平,五、结果二：

有理数乘法算理的理解,2描述性的层次表3有理数乘法运算的理解