高一数学对数函数经典题及详细答案.docx

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高一数学对数函数经典题及详细答案

高一数学对数函数经典练习题

一、选择题：

（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

答案Ao

•/3a=2

•••a=log32

则:

log38-2log

36=log323-2log3（2*3）=3log32-2[log32+log

33]=3a-2（a+1）=a-2

2、2loga（M

2N）logaMlogaN，则—的值为（

N

1

4

答案Bo

B、4

C、

•••2loga（M-2N）

=log

aM+logaN,

•loga（M-2N）2=log

a（MN，•（M-2N）2=MN

M2-4MN+4N2=MN

-5mn+4n2=0（两边同除

n2）

瞪）

2-5吟+4=0,设

2

x-5x+4=0

（x

-2*

5x+2：

）-2+=0

（x-

-9=0

（x-5）

x-5=

5

3

x=2

2

3

2

mn

m

n

又•••2loga（M

2N）

logaM

logaN，看出M-2N>0M>0N>0

•m=1即M=N舍去,

得M=4N即m=4•••答案为:

3、已知

2.

y1,x

0,y0,

且loga（1x）

n,则logay等于

A、m

答案Do

■/loga（1+x）=mloga[1/（1-x）]=n

loga（1-x2）=m-n

•/x2+y2=1,x>0,y>0,

y2=1-x2

loga（y2）=m-n

/•2loga（y）=m-n

loga（y）=；（m-n）

4.若x1,x2是方程lg

x+（lg3+lg2）lgx+lg3•lg2=0的两根,

（A）.lg3•lg2（B）

（C）

则x1x2的值是（）

1

6

（D）

答案D

•••方程lg2x+（lg2+lg3

把lgx看成能用X,这是二次方程。

]

b

••lgX1+lgX2=-a

）lgx+lg2lg3=0

的两根为x1>

X2,

［注：

ig

2x即（I

2，这里可

（Ig2+ig3）

1

6

lg（x1x

••lg（X1xx2）=-lg6=lg

x2

1

x2=6

=-lg

（2X3）

则x1?

x2的值为1。

6

5、已知Iog7【log3（log2x）]

那么

1

、3.3

答案C

•「log7【log3（log2X）】=0

•••log3（log2x）=1

log2x=3

x=8

1

2

x=8

2=23

（2）=2

1

2=3

=22

1_

2°=22

6.已知

lg2=a,lg3=b,

则皿2

lg15

等于（

A.

2ab

1ab

B.a2b

1ab

C.

2a

1a

b

b

D.

a2b

1ab

答案C

lg12=lg3*2*2=lg3+lg2+lg2=2a+b

lg15=lg30=lg30-lg2=lg3*10-lg2=lg3+1-lg2=b-a+1

（注：

lg10=1）

7、

•比值为（2a+b）/（1-a+b）

函数ylog（2xd''3x2的定义域是（

A

2,1U1,

3

B

C

2

3，

D

答案A

丄,1U1,

2

3x20

xlx1

ylog（2x“3x2的定义域是2x10

2x11

2

•••答案为:

2,1U1,

3

&函数y

log1（x2

2

6x

17）的值域是（

）

A、R

B、

8,

C、

3

D

答案为：

C,y=（-,-3:

3,

2

•/x-6x+17=x2-6x+9+8=（x-3）2+8>8,

1

log=log.L=（-1）log2=-log2（•-

log丄[（x-3）2+8]单调减.,为减函数

2

•x2-6x+17=（x-3）2+8,x取最小值时（x-3）2+8有最大值（x-3）2+8=0最小,x=3,有最大值8,log1[（x-3）2+8]=logJ8=-log28=-3,•值域y<-3•y=（-,-3:

[注：

2

Y=x-6x+17顶点坐标为（3,8）,这个Y为通用Y]

9、若logm9logn90，那么m,n满足的条件是（）

Amn1B、nm1C、0nm1D、0mn1

答案为：

c

｛对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=logax（a>0，且a丰1）叫做对数函数，其中x

是自变量，函数的定义域是（0,+8）,值域是R。

对数函数的解析式：

y=logax（a>0,

且1）。

对数函数的底数为什么要大于0且不为1?

【在一个普通对数式里a<0,或=1的

时候是会有相应b的值。

但是，根据对数定义：

log以a为底a的对数；如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2,3,4,5,等等）打分析：

根据对数函数的图象与性质可知，当x=9>1时，对数值小于0,所以得到m与n都

大于0小于1，又lognQVogn9,根据对数函数的性质可知当底数小于1时，取相同的自变量，

底数越大对数值越小，所以得到m大于n.

■/logn9v0,logn9v0,得到0vm<1,0vnv1;又logm9n,

•-m.n满足的条件是0vnvm<1.

lg9

（注另解：

■/logm3v0,logn9v0,得到0vmv1,0vnv1;也可化成Iogm9=gm,lg9Jg9Jg91

Iogn9=gn,贝Vlgm

【注：

换底公式

log,b=1哼b

iiE明:

令log#b—斗、

则-虹两边取以匚为威的对数:

lo呂f-logclogca-la^cb.

两边同除以logy得f=4氐b

呃a

既1。

星译匕—・

10、

a,c均大于零且不等于1】

答案为：

A.

A、y

log

2

（x1）B

、ylog2、x21

Cy

log2

1

x

2

Dylog1（x4x5）

答案为:

D。

Ax+1在（0,2）上是增函数

以2为底的对数就是一个减函数

•••复合函数y就是个减

F列函数中，在0,2上为增函数的是（

）

11、

函数。

BX21在（0,2）上递增，但又不能取<1的数，x<1不在定义域（0,2）内•不对。

这种情况虽然是增，但（0,2）内含有<1的。

1

Cx是减函数，以2为底的对数是个增函数，•••y为减函数

21

D与A相反，x2-4x+5=（x-2）+1,对称轴为2,在（0,2）上递减，以丁？

的对数也是递减，

所以复合函数是增函数

12.已知函数y=log1（ax2+2x+1）的值域为R,则实数a的取值范围是（）

2

A.a>1B.0

答案为：

Co

（注：

对数函数定义底数则要>0且工1真数>0）•••函数y=log1（ax2+2x+1）的值域为R

"2

•ax2+2x+1恒>0,令g（x）=ax2+2x+1,显然函数g（x）=ax2+2x+1是一个一元二次函数（抛

物线），要使g（x）（即通用的Y）恒>0,①必须使抛物线开口向上，即a>0

②同时必须使△>0（保证抛物线始终在x轴上方，且与x轴没有交点，这也是△不能为0的原因）（注：

如△<0,抛物线可在x轴下方，且与x轴有交点）

2.-.

即b-4ac=4-4a>0,解得av1。

•则实数a的取值范围是0vav1。

说明：

答案是0vav1,而不是0waw1。

、填空题：

（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上）

1厂log23

13计算：

log2.56.25+lg+In、e+2

100

答案为：

就是以e为底

【注：

自然常数e（约为2.71828）是一个无限不循环小数。

是为超越数。

ln

的对数。

In1=0,lne=1。

log233■

=22=3】

log23=2log2213=2log2i3

14、函数ylog（x-1）（3-x）的定义域是

答案为:

（2）要使原函数有意义，则真数大于0，底数大于0，底数不等于1。

3

x

0

3

x

x

1

0

x

11x3,x2

•函数的定义域为（1，2）U（2，3）。

x

1

1

x

2

15、lg25Ig2glg50（Ig2）2

lg25+lg2•lg50+（lg2）2

答案为：

•/lg2+lg5=1,lg10=1

2

lg25+lg2g50+（lg2）

g50+lg2lg2=2lg5+lg2（lg50+lg2）=2lg5+lg2lg（502）

2

=2lg5+lg2lg100=2lg5+lg2g10=2lg5+lg22lg10

=2lg5+2lg2=2（lg5+lg2）=2lg10=2

16、函数f（x）lg,x21x是（奇、偶）函数。

答案为：

x21x

第①种解：

T1）=9（x21+x）=lg（x21+x）*x21x

■.xix

2

lg（x2+1-x

•f（-x）=-f（x）

三、解答题：

，•f（x）为奇函数.

（本题共3小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

•••f（-x）与f（x）互为正负数

2）=lg仁0,f（-x）-f（x）=0,

17已知y=loga（2—ax）在区间｛0,1｝上是x的减函数，求a的取值范围.

答案为：

【对数函数含义：

一般地，如果a（a>0,且1）的y次幂等于x,那么数y叫做以a为底x的对数，记作logax=y，其中a叫做对数的底数，x叫做真数。

y叫对数（即是幕）。

注意：

负数和0没有对数。

底数a则要>0且工1,真数x>0。

并且，在比较两个函数值时：

但1时）如果底数a—样，真数x越大，函数值y越大。

是增函数。

（0a1时）如果底数a一样，真数x越小，函数值y越大。

是减函数。

对于不同大小a所表示的函数图形：

关于X轴对称:

以上要熟记】

解题：

Ty=loga（2—ax）在区间｛0,1｝上是x的减函数，ta>0,真数（2-ax）已经是减函数了，然后要使这个复合函数是减函数，那么对数底a要是增函数，•••增减复合才得减，.••由

（1）求f（x）的定义域；

（2）判断f（x）的奇偶性。

解题：

【注：

定义域没有与原点对称的函数是非奇非偶函数。

如果定义域是全体实数，那肯定就是关于原点对称了，那就可能或奇或偶函数、既奇又偶函数。

如果定义域不是全体实数，比如是全体正实数，那定义域在x轴的负半轴上都不能取值，当

然更谈不上是对称了。

再比如定义域是全体负实数，那定义域在x轴正半轴也不能取值，所以定义域也不是关于原点对称。

举个例子：

f（x）=-x此题的定义域是x1，那么如果定义域要是关于原点对称，x也-1。

再举个例子：

f（x）=x的偶次方根，此题的定义域是x非负，x非负这个取值，关于原点的对称区间是x非正（没有）。

所以两个例子中的定义域都不是关于原点对称的。

】

解题：

（即Y值的取值方向固定）

f（x）的定义域为3,

（2）vf（x）的定义域不关于原点对称

（x2非负）,•••f（x）为非奇非偶函数。

19、已知函数f（x）

log3

2

mx8x

x21

n的定义域为R，值域为0,2，求m,n的值。

解题:

2

mx8xn

•1

x21

）<9oy（x

222

+1）=mx+8x+nyx

+y-mx-8x-n=0

（y-m）

?

x2-8x+y-n=0

成立。

Tx€R,可设

y-m工0，•‘

•方程的判别式厶

=64-4（y-m）（y-n）匸

=0

-16+（y-m）（y-n）

0即y2-

（m+r）y+mn-16w0.

y=1和y=9是方程y2-（m+n）y+mn-16=0的两个根，

_b

•y1+y2=-a=m+n=10,y1+y2=mn-16=9。

m=10-n,

（10-n）n-16=910n-n2-25=0n2-10n+25=0（n-5）2=25m=n=5

若y-m=0,即卩y=m=n=5时，对应的x=0，符合条件。

综上可得，m=n=5

xx

2

20.已知x满足不等式2log1x+7log1x+3<0，求函数ffx）=log24log22的最

22

大值和最小值。

（换元法是必须要有的）求多种方法。

解题：

第①种解：

设a=logix，则原不等式2log1x2+7log1x+3<0可化为：

2a2+7a+3

2T

—3

-3<—log2xw—彳

1

■2wlog2xw3。

xX

f（x）=log24log22=（log2x-log24）x（log2x-log22）

=（log2x-2）x（log2x-1）

设m=log2x,

■/22wlog2xw3（已证）

•m€[1,3]

于是问题转化为：

求函数y=f（x）=（m-2）x（m-1）的最大值和最小值.

这是典型的“闭区间上的二次函数求最值”问题

y=f（x）=（m—2）x（m—1）

y=f（x）=m2—3m+2=m2--62m+4-吕

y=f（x）=（m—j）2—1其中m€[2,3]

考察二次函数y=f（x）=（m—2）2—i

开口向上、对称轴为m=—ya=2、最小值为—1、关键是定义域为m€[g,3].

画出二次函数y=f（x）=（m—I）—7的图像，

故当m=寻时,函数y=f（x）取到最小值一丁;

当m=3时,函数y=f（x）取到最大值,把m=3代入二次函数表达式求得该最大值为:

第②种解：

设a=log1x

则原不等式

2log1x2+7log1x+3<0可化为：

22

2a2+7a+3<0（这种基本化解要熟）

•••（a+3）（2a+1）<0

—3waw—2（冋上化得）

—3wlogixw—2（冋上化得）

2

113

•2wlog2xw3log22wlog2xwlog22

••.2wxw8•x€[、.2,8]

x

f（x）=log24

X

log22=（log2x—log24）x（log2x—log22）

=（log2x—2）x（log2x—1）=（log2x）2—3log2x+2

=（l0g2x—I）'—鲁+2=（log2x—^）2—7

•/x€[.2,8]而对称轴3/2在定义域[2,8]之内。

.••当x=号时,f（x）有最小值一-4；

当x=8时,f（x）有最大值，

最大值为：

（log28—号）2—1=（3—|）2—-4=2.。

21.已知x>0,y0,且x+2y=1,求g=log1（8xy+4y+1）的最小值

解题：

第①种解由x+2y=1,得:

2y=1-x,

/•8xy+4y2+仁4x2y+（2y）2+1=4x（1-x）+（1-x）2+1

22

=4x-4x+1-2x+x+1

=-3x2+2x+2=-3（x2-2x+1）+；+2

=-3（x-；）2+3，

当x=3时,有最大值：

7,

而y=logix在定义域上是减函数

2

1

log丄3=-iog27-log23=log23-log27.

2

•••当x=1,y=3时,

log1（8xy+4y2+1）有最小值:

第②种解•••x+2y=1,

•8xy+4y2+1=x2+4xy+4y2+4xy-x2+1=（x+2y）2+4xy-x2+仁1+4xy-x2+1

当x=3时，有最大值：

-3,

而y=log1x在定义域上是减函数

2

•••当x=1,y=3时,

1

log1（8xy+4y2+1）有最小值：

log丄*=-log27-log23=log23-log27.

2

2

22.已知函数f（x）=

10x10x

10x10%。

（1）判断f（x）的奇偶性与单调性;

（2）求「X

【注：

反函数一般地，设函数y=f（x）（x€A）的值域是C,若找得到一个函数g（y）在每

一处g（y）都等于x,这样的函数x=g（y）（y€C）叫做函数y=f（x）（x€A）的反函数，记作

y=f1（x）。

反函数y=f1（x）的定义域、值域分别是函数y=f（x）的值域、定义域。

般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x）,则y=f（x）的反函数

对应的（不一定是

为x=f1（y）。

存在反函数（默认为单值函数）的条件是原函数必须是整个数域内的）。

注意：

上标"-1"指的并不是幕。

在微积分里，f⑴（x）是用来指f的n次微分的。

若一函数有反函数，此函数便称为可逆的（invertible）。

简单的说，就是把y与x互换一下，比如y=x+2的反函数首先用y表示x即x=y-2，把x、y位置换一下就行那么y=x+2反函数就是y=x-2。

在函数x=f1（y）中，y是自变量，x是函数，

但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调函数x=f1（y）中

的字母x,y，把它改写成y=f1（x），今后凡无特别说明，函数y=f（x）的反函数都采用这种

经过改写的形式。

解题:

•是奇函数。

令a=10x，

则10

x=」

=a

，a>0。

•••y=f（x）=

1a-a

a

，上下同a

a212

a21

2

a21

=1-

2

a21

设a1,a2

-+8）,且a2>a1,

则f（a2）

22

-f（a1）=1-a221-（1-a121）=-

2

a221

2

+2彳

a11

2

2

2

29

2a222a12=（a221）（a121）

2（a21）

2（a2

1）2（a11）

22:

（a21）（a11）

2

（a2

=

1）（a11）

2

2

a=10x>0,.

22

••a>0,a+1>1。

（a21）（a1

1）>0,■

•'a2>a1

2（ai21）

22（a21）（ai1）

22

2a22a1>0,

22

2a22a1

/2

（a2

1）（a12

1）>0

f（a

2）

2

2

f（x）=1-

a21

。

设y=1-

2.a

1

1y=

1

=a21

2.

2=a

1

a2:

1y

=1y。

■a=10x

a2

=10

1x

-f（a

1）>0

f（x）为增函

数。

2

2

2

1

2

1

y-1=

a

1-y=a

2

2

22（1y）

a=1

y-

1

a=1y

x

2x

1

y

1

y

•••10

2_

1

y

2x=lg1

y

x=ilgy-y

lg

函数通用定义知要使函数成增函数必a>1。

2

又t函数定义域：

2-ax>0得axv2,/•xv~