八年级数学上册 暑期同步提高课程 第十二讲 分式及其运算讲义 新人教版.docx

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八年级数学上册暑期同步提高课程第十二讲分式及其运算讲义新人教版

第十二讲分式及其运算

1.掌握分式的概念，能求出分式有意义，分式值为0、为1的条件。

2.掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式约分

3.会进行分式的加减、乘法、除法、乘方运算。

1.掌握分式方程的混合运算，了解验根的含义。

2.掌握零指数幂、负指数幂的意义。

3.会列出分式方程解简单的应用题。

一、分式的基本概念及性质

1.概念：

一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A∕B叫做分式（B≠0）。

①在分式中A称为分式的分子，B称为分式的分母。

②对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义。

③分式值为0的条件：

在分母不等于0的前提下，分子等于0，则分数值为0。

2.分式的基本性质和变形应用

（1）分式的基本性质:

分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。

（2）约分:

把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．

3.最简分式:

一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。

约分时，一般将一个分式化为最简分式。

二、分式的运算

1．分式的四则运算：

①同分母分式加减法则:

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

②异分母分式加减法则:

异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。

③分式的乘法法则:

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

④分式的除法法则:

两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。

三、分式方程

1.概念：

分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2.解分式方程的基本思想：

将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程。

考点/易错点1

分式的约分步骤:

①如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。

②分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。

考点/易错点2

解分式方程的基本方法：

（1）去分母法：

去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程。

但要注意，可能会产生增根。

所以，必须验根。

①产生增根的原因:

当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解。

②检验根的方法：

将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。

为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根;如果使公分母等于0，就是原方程的增根。

必须舍去。

（2）换元法：

为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决。

换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程.

考点/易错点3

用换元法解分式方程的一般步骤：

①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；

②解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；

③把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值；

④检验做答。

【例1】给定下面一列分式：

𝑥3，﹣𝑥5，𝑥7，﹣𝑥9，…，（其中x0）

𝑦𝑦2

𝑦3

𝑦4≠

（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？

（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式．