数值计算方法实验指导Matlab版.docx

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数值计算方法实验指导Matlab版

《数值计算方法》

实验指导

（Matlab版）

肇庆学院数学与统计学学院

计算方法课程组

《数值计算方法》实验1报告

班级：

20xx级XXXXx班

学号：

20xx2409xxxx

姓名：

XXX

成绩：

1.实验名称

实验1算法设计原则验证（之相近数相减、大数吃小数和简化计算步骤）

2.实验题目

（1）取

，计算

和

，验证两个相近的数相减会造成有效数字的损失．

（2）按不同顺序求一个较大的数（123）与1000个较小的数（

）的和，验证大数吃小数的现象．

（3）分别用直接法和秦九韶算法计算多项式

在x=1.00037处的值．验证简化计算步骤能减少运算时间．

对于第（3）题中的多项式P（x），直接逐项计算需要

次乘法和n次加法，使用秦九韶算法

则只需要n次乘法和n次加法．

3.实验目的

验证数值算法需遵循的若干规则．

4.基础理论

设计数值算法时，应避免两个相近的数相减、防止大数吃小数、简化计算步骤减少运算次数以减少运算时间并降低舍入误差的积累．两相近的数相减会损失有效数字的个数，用一个大数依次加小数，小数会被大数吃掉，乘法运算次数太多会增加运算时间．

5.实验环境

操作系统：

Windowsxp；程序设计语言：

Matlab

6.实验过程

（1）直接计算并比较；

（2）法1：

大数逐个加1000个小数，法2：

先把1000个小数相加再与大数加；

（3）将由高次项到低次项的系数保存到数组A[n]中，其中n为多项式次数．

7.结果与分析

（1）计算的

=，

．

分析：

（2）123逐次加1000个

的和是，先将1000个

相加，再用这个和与123相加得．

分析：

（3）计算次的多项式：

直接计算的结果是，用时；

用秦九韶算法计算的结果是，用时．

分析：

8.附录：

程序清单

（1）两个相近的数相减．

%*************************************************************

%*程序名：

ex1_1.m*

%*程序功能：

验证两个相近的数相减会损失有效数字个数*

%*************************************************************

%x=；

%y=；

z=1e16;

x,y

======================================================================

（2）大数吃小数

%*************************************************************

%*程序名：

ex1_2.m*

%*程序功能：

验证大数吃小数的现象.*

%*************************************************************

clc;%清屏

clearall;%释放所有内存变量

formatlong;%按双精度显示浮点数

z=123;%大数

t=3e-15;%小数

x=z;%大数依次加小数

%重复1000次给x中加上t

y=0;%先累加小数

%重复1000次给y中加上t

y=z+y;%再加到大数

x,y

======================================================================

（3）秦九韶算法

%*************************************************************

%*程序名：

ex1_3.m*

%*程序功能：

验证秦九韶算法可节省运行时间.*

%*************************************************************

clc;%清屏

clearall;%释放所有内存变量

formatlong;%按双精度显示浮点数

A=[8,4,-1,-3,6,5,3,2,1,3,2,-1,4,3,1,-2,4,6,8,9,50,-80,12,35,7,-6,42,5,6,23,74,65,55,80,78,77,98,56];

A（10001）=0;%扩展到10001项，后面的都是分量0

%A为多项式系数,从高次项到低次项

x=1.00037;

n=9000;%n为多项式次数

%直接计算

begintime=clock;%开始执行的时间

%求x的i次幂

%累加多项式的i次项

endtime=clock;%结束执行的时间

time1=etime（endtime,begintime）;%运行时间

disp（'直接计算'）;

disp（['p（',num2str（x）,'）=',num2str（p）]）;

disp（['运行时间:

',num2str（time1）,'秒']）;

%秦九韶算法计算

begintime=clock;%开始执行的时间

%累加秦九韶算法中的一项

endtime=clock;%结束执行的时间

time2=etime（endtime,begintime）;%运行时间

disp（''）;

disp（'秦九韶算法计算'）;

disp（['p（',num2str（x）,'）=',num2str（p）]）;

disp（['运行时间:

',num2str（time2）,'秒']）;

《数值计算方法》实验1报告

班级：

20xx级XXXXx班

学号：

20xx2409xxxx

姓名：

XXX

成绩：

1.实验名称

实验1算法设计原则验证（之数值稳定性）

2.实验题目

计算定积分

，分别用教材例1-7推导出的算法A和B，其中：

算法A：

算法B：

验证算法不稳定时误差会扩大．

3.实验目的

验证数值算法需遵循的若干规则．

4.基础理论

设计数值算法时，应采用数值稳定性好的算法．数值稳定的算法，误差不会放大，甚至会缩小；而数值不稳定的算法会放大误差．

5.实验环境

操作系统：

Windowsxp；程序设计语言：

Matlab

6.实验过程

分别用数组IA[]和IB[]保存两种算法计算的结果．

7.结果与分析

运行结果：

（或拷屏）

n

算法A

算法B

精确值

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

分析：

8.附录：

程序清单

%*************************************************************

%*程序名：

ex1_4.m*

%*程序功能：

验证数值稳定性算法可控制误差.*

%*************************************************************

clc;%清屏

clearall;%释放所有内存变量

formatlong;%按双精度显示浮点数

I=[0.63212055882856,0.36787944117144,0.26424111765712,0.20727664702865,...

0.17089341188538,0.14553294057308,0.12680235656154,0.11238350406938,...

0.10093196744492,0.09161229300662,0.08387707010843];

%保留14位小数的精确值,…是Matlab中的续行符

%算法A

IA

（1）=0.6321;%Matlab下标从1开始，所以要用IA（n+1）表示原问题中的I（n）

%算法B

disp（'n算法A算法B精确值'）;

forn=1:

11

fprintf（'%2d%14.6f%14.6f%14.6f\n',n-1,IA（n）,IB（n）,I（n））;

end

%n显示为2位整数,其它显示为14位其中小数点后显示6位的小数

《数值计算方法》实验1报告

班级：

20xx级XXXXx班

学号：

20xx2409xxxx

姓名：

XXX

成绩：

1.实验名称

实验1算法设计原则（除数绝对值不能太小）

2.实验题目

将线性方程组增广矩阵利用初等行变换可化为

由此可解得

．分别解增广矩阵为

和

的方程组，验证除数绝对值远小于被除数绝对值的除法会导致结果失真．

3.实验目的

验证数值算法需遵循的若干规则．

4.基础理论

设计数值算法时，应避免除数绝对值远小于被除数绝对值的除法，否则绝对误差会被放大，使结果失真．

5.实验环境

操作系统：

Windowsxp；程序设计语言：

Matlab

6.实验过程

用二维数组A和B存放方程组的增广矩阵，利用题目所给初等行变换求解方程组．

7.结果与分析

第1种顺序的方程组的解为x=，y=；

第2种顺序的方程组的解为x=，y=．

分析：

8.附录：

程序清单

%*************************************************************

%*程序名：

ex1_5.m*

%*程序功能：

验证除数的绝对值太小可能会放大误差.*

%*************************************************************

clc;

A=[1e-16,1,1;2,1,2];

B=[2,1,2;1e-16,1,1];%增广矩阵

%方程组A

%m=-a_{21}/a_{11}是第2行加第1行的倍数

%消去a_{21}

%m=-a_{12}/a_{22}是第1行加第2行的倍数

%消去a_{12},系数矩阵成对角线

%未知数x1的值

%未知数x2的值

disp（['方程组A的解:

x1=',num2str（A（1,3））,',x2=',num2str（A（2,3））]）;

disp（''）;

%方程组B

%m=-b_{21}/b_{11}是第2行加第1行的倍数

%消去b_{21}

%m=-b_{12}/b_{22}是第1行加第2行的倍数

%消去b_{12},系数矩阵成对角线

%未知数x1的值

%未知数x2的值

disp（['方程组B的解:

x1=',num2str（B（1,3））,',x2=',num2str（B（2,3））]）;

《数值计算方法》实验2报告

班级：

20xx级XXXXx班

学号：

20xx2409xxxx

姓名：

XXX

成绩：

1.实验名称

实验2非线性方程的迭代解法（之简单迭代法）

2.实验题目

用简单迭代法求方程

在区间[1,2]内的一个实根，取绝对误差限为

．

3.实验目的

掌握非线性方程的简单迭代法．

4.基础理论

简单迭代法：

将方程

改写成等价形式

，从初值

开始，使用迭代公式

可以得到一个数列，若该数列收敛，则其极限即为原方程的解．取数列中适当的项可作为近似解．

5.实验环境

操作系统：

Windowsxp；程序设计语言：

Matlab

6.实验过程

7.结果与分析

8.附录：

程序清单

《数值计算方法》实验2报告

班级：

20xx级XXXXx班

学号：

20xx2409xxxx

姓名：

XXX

成绩：

1.实验名称

实验2非线性方程的迭代解法（之Newton迭代法）

2.实验题目

用Newton迭代法求方程

在区间[1,2]内的一个实根，取绝对误差限为

．

3.实验目的

掌握求解非线性方程的Newton迭代法．

4.基础理论

Newton迭代法：

解方程

的Newton迭代公式为

．

5.实验环境

操作系统：

Windowsxp；程序设计语言：

Matlab

6.实验过程

7.结果与分析

8.附录：

程序清单

《数值计算方法》实验2报告

班级：

20xx级XXXXx班

学号：

20xx2409xxxx

姓名：

XXX

成绩：

1.实验名称

实验2非线性方程的迭代解法（之对分区间法）

2.实验题目

用对分区间法求方程

在区间[1,1.5]内的一个实根，取绝对误差限为

．

3.实验目的

掌握求解非线性方程的对分区间法．

4.基础理论

对分区间法：

取[a，b]的中点p，若f（p）≈0或b–a<ε，则p为方程

的近似解；

若f（a）f（p）<0，则说明根在区间取[a，p]中；否则，根在区间取[p，b]中．将新的有根区间记为[a1，b1]，对该区间不断重复上述步骤，即可得到方程的近似根．

5.实验环境

操作系统：

Windowsxp；程序设计语言：

Matlab

6.实验过程

用宏定义函数f（x）；

为了循环方便，得到的新的有根区间始终用[a，b]表示；

由于新的有根区间可能仍以a为左端点，这样会反复使用函数值f（a），为减少运算次数，将这个函数值保存在一个变量fa中；

同样在判断新的有根区间时用到函数值f（p），若新的有根区间以p为左端点，则下一次用到的f（a）实际上就是现在的f（p），为减少运算次数，将这个函数值保存在一个变量fp中．

算法的伪代码描述：

Input：

区间端点a，b；精度要求（即误差限）ε；函数f（x）；最大对分次数N

Output：

近似解或失败信息

行号

伪代码

注释

1

n←1；

对分次数计数器

2

fa←f（a）；

左端点的函数值

3

whilen≤Ndo

4

p←（a+b）/2；

区间中点

5

fp←f（p）；

中点的函数值

6

iffp=0or（b-a）/2<εthen

函数值为0或半区间长不超ε

7

returnp；

输出近似解并退出程序

8

endif

9

n←n+1；

计数器加一

10

iffa·fp>0then

若中点与左端点函数值同号

11

a←p；

新区间取右半区间

12

fa←fp；

13

else

否则

14

b←p；

新区间取左右半区间

15

endif

16

enddo

17

return错误信息

输出错误信息并结束程序

7.结果与分析

8.附录：

程序清单

说明:

源程序中带有数字的空行，对应着算法描述中的行号

%**********************************************************

%*程序名：

Bisection.m*

%*程序功能：

使用二分法求解非线性方程.*

%**********************************************************

f=inline（'x^3-x-1'）;%定义函数f（x）

a=input（'有根区间左端点:

a='）;

b=input（'右端点:

b='）;

epsilon=input（'误差限:

epsilona='）;

N=input（'最大对分次数:

N='）;

1%对分次数计数器n置1

2%左端点的函数值给变量fa

fprintf（'\nkpf（p）a（k）f（a（k））'）;

fprintf（'b（k）b-a\n'）;

%显示表头

fprintf（'%2d%36.6f%12.6f%12.6f%12.6f\n',0,a,fa,b,b-a）;

%占2位其中0位小数显示步数0,共12位其中小数6位显示各值

3%whilen≤N

4%取区间中点p

5%求p点函数值给变量fp

fprintf（'%2d%12.6f%12.6f',n,p,fp）;%输出迭代过程中的中点信息p和f（p）

6%如果f（p）=0或b-a的一半小于误差限ε

fprintf（'\n\n近似解为:

%f\n',p）;%则输出近似根p（7）

return;%并结束程序（7）

8

9%计数器加1

10%若f（a）与f（p）同号

11%则取右半区间为新的求根区间,即a取作p

12%保存新区间左端点的函数值

13%否则

14%左半区间为新的求根区间,即b取作p

15

fprintf（'%12.6f%12.6f%12.6f%12.6f\n',a,fa,b,b-a）;

%显示新区间端点及左端函数值、区间长度

16

fprintf（'\n\n经过%d次迭代后未达到精度要求.\n',N）;%输出错误信息（行17）

《数值计算方法》实验2报告

班级：

20xx级XXXXx班

学号：

20xx2409xxxx

姓名：

XXX

成绩：

1.实验名称

实验2非线性方程的迭代解法（之Aitken-Steffensen加速法）

2.实验题目

用Aitken-Steffensen加速法求方程

在区间[1,2]内的一个实根，取绝对误差限为

．

3.实验目的

熟悉求解非线性方程的Aitken-Steffensen加速法．

4.基础理论

将方程

改写成等价形式

，得到从初值

开始的迭代公式

后，基于迭代公式

的Aitken-Steffensen加速法是通过“迭代-再迭代-加速”完成迭代的，具体过程为

．

5.实验环境

操作系统：

Windowsxp；程序设计语言：

Matlab

6.实验过程

为了验证Aitken-Steffensen加速法可以把一些不收敛的迭代加速成迭代收敛，我们使用将方程组变形为

，取迭代函数

，并利用宏定义出迭代函数．

由于不用保存迭代过程，所以用x0表示初值同时也存放前一步迭代的值，y和z是迭代过程中产生的yk和zk，x存放新迭代的结果．

算法的伪代码描述：

Input：

初值x0；精度要求（即误差限）ε；迭代函数φ（x）；最大迭代次数N

Output：

近似解或失败信息

行号

伪代码

注释

1

n←1；

迭代次数计数器

2

whilen≤Ndo

3

y←φ（x0）；

迭代

4

z←φ（y）；

再迭代

5

x←x0–（y-x0）2/（z-2y+x0）

加速

6

if|x–x0|<εthen

如果达到精度要求

7

returnx；

则输出近似值并退出程序

8

endif

9

n←n+1；

计数器加一

10

x0←x；

新近似值给x0做下次的初值

11

enddo

12

return错误信息

输出错误信息并结束程序

7.结果与分析

8.附录：

程序清单

%*************************************************************

%*程序名：

Aitken_Steffensen.m*

%*程序功能：

用Aitken-Steffensen加速法求方程.*

%*************************************************************

clc;

clearall;

phi=inline（'0.5*sqrt（10-x^3）'）;%迭代函数

x0=input（'初值:

x0='）;

epsilon=input（'误差限:

epsilon='）;

N=input（'最大迭代次数:

N='）;

disp（'n迭代中间值y（n-1）再迭代结构z（n-1）加速后的近似值x（n）'）;

fprintf（'%2d%54.6f\n',0,x0）;

%占2位整数显示步数0,为了对齐,占54位小数6位显示x0

1%n是计数器

2%whilen<=N

y=3;%迭代

z=3;%再迭代

x=3;%加速

%x0初值及前一步的近似值,y和z是中间变量,x是下一步的近似值

fprintf（'%2d%18.6f%18.6f%18.6f\n',n,y,z,x）;

%显示中间值和迭代近似值

6%如果与上一步近似解差的绝对值不超过误差限

fprintf（'\n\n近似解x≈x（%d）≈%f\n',n,x）;

%则输出近似根（7），可简略为:

fprintf（'\n\n近似解x=%f',x）;

return;%并结束程序（7）

8%相当于endif

9%计数器加1

10%新近似值x作为下一次迭代的初值

11

fprintf（'\n迭代%d次还不满足误差要求.\n\n',N）;%输出错误信息（12）

《数值计算方法》实验2报告

班级：

20xx级XXXXx班

学号：

20xx2409xxxx

姓名：

XXX

成绩：

1.实验名称

实验2非线性方程的迭代解法（之Newton下山法）

2.实验题目

用Newton下山法求方程

在区间[1,2]内的一个实根，取绝对误差限为

．

3.实验目的

熟悉非线性方程的Newton下山法．

4.基础理论

Newton下山法：

Newton下山法公式为

，使

，其中

．

5.实验环境

操作系统：

Windowsxp；程序设计语言：

Matlab

6.实验过程

定义函数f（x）和df（x），其中df（x）是f（x）的导函数．

每步迭代时先取下山因子为1，尝试迭代，判断尝试结果是否满足下山因