广东省广州市高考数学二模理科试题及参考答案.docx
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广东省广州市高考数学二模理科试题及参考答案
试卷类型：
A
2019年广州市普通高中毕业班综合测试
（二）
数学（理科）
2018.4
本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题
卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位
置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上
要求作答的答案无效.
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，
答案无效.
5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
参考公式：
锥体的体积公式是
1
VSh,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高.
3
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1.若复数z满足iz2，其中i为虚数单位，则z的虚部为
A．2B．2C．2iD．2i
x
2．若函数yfx是函数y3的反函数，则
1
f的值为
2
A．
log3B．log32C．
2
1
9
D．3
3．命题“对任意xR，都有
32
xx”的否定是
A．存在
xR，使得
0
32
xxB．不存在x0R，使得
00
32
xx
00
C．存在x0R，使得
32
xxD．对任意xR，都有
00
32
xx
4.将函数fx3sin2xcos2x（xR）的图象向左平移
个单位长度后得到函数
6
ygx，则函数ygx
A．是奇函数B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数
5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，
将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是
A．
1
6
B．
1
3
C．
1
2
D．
3
8
6．设F1,F2分别是椭圆
22
xy
C:
1ab0
22
ab
的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1
的中点在y轴上，若
PFF，则椭圆C的离心率为
1230
A．
1
6
B．
1
3
33
33
C．D．
63
7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体
的体积为
422
正视图侧视图
2
A．64B．124
2
C．612D．12128．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行
排列，记a表示第i行第j列的数，若
ij
a2014，则ij的值为
ij
A．257B．256
C．254D．253
第1列第2列第3列第4列第5列
第1行2468
第2行16141210
第3行18202224
第4行32302826
第534363840行
⋯⋯⋯⋯⋯⋯表1
二、填空题：
本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9．不等式
2
2xx10的解集为.
31
2x
x
n
10．已知
的展开式的常数项是第7项，则正整数n的值为.
11．已知四边形ABCD是边长为a的正方形，若DE2EC,CF2FB，则AEAF的值
为.
2xy20,
12．设x,y满足约束条件若目标函数zaxbya0,b0的最大值
8xy40,
x0,y0.
为8，则ab的最大值为.
13．已知x表示不超过x的最大整数，例如1.52,1.51.设函数fxxx，
*）时，函数fx的值域为集合A，则A中的元素个数为.当x0,n（nN
（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，直线
xat,
yt
（t
为参数）与
x
圆
y
1cos,
sin
（
为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为.
15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD中，点E在线段AB上，且
1
AEEB，连接DE,AC，AC与DE相交于点F，若△AEF的面积为1cm
2
2，则
△AFD的面积为cm
2.
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
2018.5（本小题满分12分）
如图2，在△ABC中，D是边AC的中点，
B23
且ABAD1，
BD.
3
（1）求cosA的值；
（2）求sinC的值.
17．（本小题满分12分）
A
图2
DC
一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样
本，称出它们的重量（单位：
克），重量分组区间为5,15，15,25，25,35，35,45，
由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3.
（1）求a的值；
（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；
（注：
设样本数据第i组的频率为
p，第i组区间的中点值为xii1,2,3,,n，
i
则样本数据的平均值为
Xxpxpxpxp.）
112233nn
频率
（3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在5,15内
组距
的小球个数为，求的分布列和数学期望.
18．（本小题满分14分）
如图4，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，
EF，FBFC,BFC90，AE3.
1
（1）求证：
AB平面BCF；
（2）求直线AE与平面BDE所成角的正切值.
E
F
DC
图4
AB
19．（本小题满分14分）
*
已知数列{a}的前n项和为Sn，且a10，对任意nN
n
，都有
na1Snn1.
nn
（1）求数列
a的通项公式；
n
（2）若数列
b满足anlog2nlog2bn，求数列bn的前n项和Tn.
n
20．（本小题满分14分）
已知定点F0,1和直线l:
y1，过点F且与直线l相切的动圆圆心为点M，记点M的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程;
（2）若点A的坐标为2,1,直线
l1:
ykx1（kR，且k0）与曲线E相交于B,C两
点，直线AB,AC分别交直线l于点S,T.试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个
定点?
若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.
21．（本小题满分14分）
已知函数fxalnxbx（a,bR）在点1,f1处的切线方程为x2y20.
（1）求a,b的值；
k
（2）当x1时，0
fx
x
恒成立，求实数k的取值范围；
*
（3）证明：
当nN
2
1113nn2
，且n2时，
2
2ln23ln3nlnn2n2n
2019年广州市普通高中毕业班综合测试
（二）
.
数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：
1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果
考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和
难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；
如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：
本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
题号12345678
答案ABCBCDAC
二、填空题：
本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15
题是选做题，考生只能选做一题．
9．
1
2
1
10．811．
2
a12．413．
22
nn
2
14．2115．3
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
（1）解：
在△ABD中，ABAD1，23
BD，
3
2
2223
11
222
31
ABADBD
∴cos
A
2ABAD2113
.⋯⋯⋯⋯⋯4分
（2）解：
由
（1）知，
cos
1
A，且0A，
3
222
∴
sinA1cosA.⋯⋯⋯⋯⋯6分
3∵D是边AC的中点，
∴AC2AD2.
在△ABC中，cos
A
222122221
ABACBCBC
2ABAC2123
，⋯⋯⋯8分
解得
33
BC.⋯⋯⋯⋯⋯10分
3
由正弦定理得，
BCAB
sinAsinC
，⋯⋯⋯⋯⋯11分
∴
sinC
22
1
ABA
sin3266
BC3333
3
.⋯⋯⋯⋯⋯12分
17．（本小题满分12分）
（1）解：
由题意，得0.020.032x0.018101，⋯⋯⋯⋯⋯1分
解得x0.03.⋯⋯⋯⋯⋯2分
（2）解：
50个样本小球重量的平均值为
X0.2100.32200.3300.184024.6（克）.⋯⋯⋯⋯⋯3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克.⋯⋯⋯⋯⋯4分
（3）解：
利用样本估计总体，该盒子中小球重量在5,15内的概率为0.2，则
1
B3,.
5
⋯⋯⋯⋯⋯5分的取值为0,1,2,3，⋯⋯⋯⋯⋯6分
3
464
0
P0C，
3
5125
2
1448
1
P1C，
3
55125
2
1412
2
P2C，
3
55125
3
11
3
P3C.⋯⋯⋯⋯⋯10分
3
5125
∴的分布列为：
0123
P6448121
125125125125
⋯⋯⋯⋯⋯11分
_
∴
64481213
E0123.⋯⋯⋯⋯⋯12分
1251251251255
（或者
13
E3）
55
18．（本小题满分14分）
（1）证明：
取AB的中点M，连接EM，则AMMB1，
∵EF∥平面ABCD，EF平面ABFE，平面ABCD平面ABFEAB，∴EF∥AB，即EF∥MB.⋯⋯⋯⋯⋯1分∵EFMB1
∴四边形EMBF是平行四边形.⋯⋯⋯⋯⋯2分∴EM∥FB，EMFB.
在Rt△BFC中，
2224
FBFCBC，又FBFC，得FB2.
∴EM2.⋯⋯⋯⋯⋯3分
在△AME中，AE3，AM1，EM2，
∴
2232
AMEMAE，
∴AMEM.⋯⋯⋯⋯⋯4分∴AMFB，即ABFB.∵四边形ABCD是正方形，
∴ABBC.⋯⋯⋯⋯⋯5分
∵FBBCB，FB平面BCF，BC平面BCF，
∴AB平面BCF.⋯⋯⋯⋯⋯6分
（2）证法1：
连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点，
取BC的中点H，连接OH,EO，FH，
则OH∥AB，
1
OHAB1.
2
E
F
1
DC由
（1）知EF∥AB，且EFAB，
2∴EF∥OH，且EFOH.
OH
∴四边形EOHF是平行四边形.
∴EO∥FH，且EOFH1.M⋯⋯⋯⋯⋯7分
AB
由
（1）知AB平面BCF，又FH平面BCF，
∴FHAB.⋯⋯⋯⋯⋯8分∵FHBC，ABBCB,AB平面ABCD，BC平面ABCD，
∴FH平面ABCD.⋯⋯⋯⋯⋯9分
∴EO平面ABCD.∵AO平面ABCD，
∴EOAO.⋯⋯⋯⋯⋯10分∵AOBD，EOBDO,EO平面EBD，BD平面EBD，
∴AO平面EBD.⋯⋯⋯⋯⋯11分
∴AEO是直线AE与平面BDE所成的角.⋯⋯⋯⋯⋯12分
AO
在Rt△AOE中，tan2
AEO
EO
.⋯⋯⋯⋯⋯13分
∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为2.⋯⋯⋯⋯⋯14分证法2：
连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点，
z取BC的中点H，连接OH,EO，FH，
E
F1
则OH∥AB，OHAB1.
2
1
DC
由
（1）知EF∥AB，且EFAB，
2
yOH
∴EF∥OH，且EFOH.
∴四边形EOHF是平行四边形.
BA
M
∴EO∥FH，且EOFH1.⋯⋯⋯⋯x⋯7分
由
（1）知AB平面BCF，又FH平面BCF，∴FHAB.
∵FHBC，ABBCB,AB平面ABCD，BC平面ABCD，
∴FH平面ABCD.
∴EO平面ABCD.⋯⋯⋯⋯⋯8分以H为坐标原点，BC所在直线为x轴，OH所在直线为y轴，HF所在直线为z轴，
建立空间直角坐标系Hxyz，则A1,2,0，B1,0,0，D1,2,0，E0,1,1.
∴AE1,1,1，BD2,2,0，BE1,1,1.⋯⋯⋯⋯⋯9分
设平面BDE的法向量为nx,y,z，由nBD0，nBE0，
得2x2y0，xyz0，得z0,xy.
令x1，则平面BDE的一个法向量为n1,1,0.⋯⋯⋯⋯⋯10分
设直线AE与平面BDE所成角为，
则sincosn,AE
nAE
nAE
6
3
.⋯⋯⋯⋯⋯11分
∴
23
cos1sin
3
，
sin
tan2
cos
.⋯⋯⋯⋯⋯13分
∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为2.⋯⋯⋯⋯⋯14分
19．（本小题满分14分）
（1）解法1：
当n2时，
na1Snn1，n1anSn1nn1，⋯⋯1分
nn
两式相减得
na1n1aSS1nn1nn1，⋯⋯⋯⋯⋯3分
nnnn
即
na1n1aa2n，得an1an2.⋯⋯⋯⋯⋯5分
nnn
当n1时，
1aS12，即a2a12.⋯⋯⋯⋯⋯6分
21
∴数列
a是以a10为首项，公差为2的等差数列.
n
∴a2n12n2.⋯⋯⋯⋯⋯7分
n
解法2：
由nan1Snnn1，得nSn1SnSnnn1，⋯⋯⋯⋯⋯1分
整理得，
nS1n1Snn1，⋯⋯⋯⋯⋯2分
nn
两边同除以nn1得，
SS
nn
11
n1n
.⋯⋯⋯⋯⋯3分
∴数列Sn
n
S
是以10
1
为首项，公差为1的等差数列.
∴Sn0n1n1
.n
∴Snn1.⋯⋯⋯⋯⋯4分
n
当n2时，
aSS1nn1n1n22n2.⋯⋯⋯⋯⋯5分
nnn
又
a10适合上式，⋯⋯⋯⋯⋯6分
∴数列
a的通项公式为an2n2.⋯⋯⋯⋯⋯7分
n
（2）解法1：
∵
alognlogb，
n22n
∴
a2n2n1
bn2n2n4.⋯⋯⋯⋯⋯9分
n
n
∴
Tbbbbb
n123n1n
012n2n1
42434n14n4，①
123n1n
4T42434n14n4，②⋯⋯⋯⋯⋯11分
n
①②得
012n1n
3T4444n4
n
n
14
14
n
n
4
n
13n41
3
.
⋯⋯⋯⋯⋯13分
_
∴
1
n
T3n141.⋯⋯⋯⋯⋯14分
n
9
解法2：
∵
alognlogb，
n22n
∴
a2n2n1
bn2n2n4.⋯⋯⋯⋯⋯9分
n
n
∴
Tbbbbb
n123n1n
012n2n1
42434n14n4.
由
n1
231
nxx
xxxxx
1x
，⋯⋯⋯⋯⋯11分
两边对x取导数得，
02132n1
xxxnx
n1n
nxn1x1
2
1x
.⋯⋯⋯12分
令x4，得
012211
nnn
42434n14n43n141.
9
⋯⋯⋯⋯⋯13分
∴
1
n
T3n141.
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