实变函数简明教程答案.docx
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实变函数简明教程答案
实变函数简明教程答案
【篇一：
02012实变与泛函分析初步】
省高等教育自学考试大纲
02012实变与泛函分析初步
江苏教育学院编
江苏省高等教育自学考试委员会办公室
一课程性质及其设置目的与要求
（一）课程性质与特点
实变函数论是19世纪末20世纪初形成的一个数学分支，它的基本内容已成为分析数学各个分支的普遍基础.实变函数主要指自变量取实数值的函数，而实变函数论就是研究一般实变函数的理论，如果说微积分所讨论的函数都是性质“良好”的函数，那么实变函数就是讨论一般的函数，包括从微积分学来看性质“不好”的函数，实变函数论是微积分深入与发展，函数的可积性是实变函数论中的主要内容.总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征.
（二）设置目的与要求
课程内容包括：
本课程内容包括集合及其运算，对等与基数，可数集合，不可数集合；度量空间、n维欧氏空间，聚点、内点、界点，开集、闭集、完备集，直线上开集、闭集和完备集的构造；外测度，可测集及其性质；可测函数的定义及其性质，叶果洛夫定理，可测函数构造，依测度收敛；勒贝格积分（l积分）的定义及性质，一般可积函数，积分的极限定理。
本课程设置目的是使学生掌握勒贝格测度与勒贝格积分的基础理论，了解一般度量空间上的测度理论，培养学生的分析学知识，加深学生对微积分和函数的认识。
二课程内容与考核目标
第一章集合
（一）课程内容
集合的概念及运算，对等与基数，可数集与不可数集。
（二）学习与考核要求
1、掌握集合概念，掌握集合的交、并、余等运算的定义和性质（包括无穷多个集的运算）.
2、掌握集列的上极限与下极限集的概念及它们用集列的交和并所表示的式子，能够正确写出具体集列的上、下极限集或极限.
3、理解一一映照的概念，能够正确写出两个集之间的一一映照.
4、掌握对等和基数的定义及性质，掌握基数大小的定义.掌握证明集合对等的两个定理（两个不交集列对等定理和伯恩斯坦定理），能够应用它们来证明集合对等.
5、掌握可数集的概念及可数基数a概念.掌握可数基数a的最小性，掌握可数集运算后的基数定理及各种可数集的实例.
6、掌握实数集的不可数性及连续基数c，掌握各种具有连续基数的集.了解没有最大基数的定理并能够正确地证明之.
第二章点集
（一）课程内容
度量空间与n维欧氏空间，外点、界点、聚点，开集、闭集、完备集，直上开集、闭集、完备集的构造.
（二）学习与考核要求
1、理解n维欧氏空间的概念，掌握邻域概念及邻域的性质.掌握点列收敛的描述（用距离d及用邻域u来描述），掌握两集之距离，一集之直径及n维区间等概念.
2、掌握内点、外点、界点、聚点、孤立点等概念（包括等价命题）.掌握开核、边界、导集、闭包等概念，能够正确写出具体点集的开核、边界、导集及闭包.
3、掌握开集、闭集、自密集、完备集等概念（包括等价命题和关系式）并能够对具体集合进行判别.
4、掌握开闭集的对偶性定理及保持开闭性的交并运算定理.能够应用于判别具体实例.
5、掌握直线上开集、闭集、完备集的构造.
6、掌握康托点集的构造及性质（包括非空性、完备性、无处稠密性、无内点、基数为c、测度为零等）.
第三章测度论
（一）课程内容
外测度，可测集，可测集类。
（二）学习与考核要求
1、掌握勒贝格外测度的定义（m*e）及其基本性质（包括非负性，空集外测度规定、单调性和可次可加性等）.能够根据勒贝格外测度的定义来证明性质和验证零测度集.
2、了解勒贝格内测度（m*e）概念、勒贝格可测集的第一定义
（
性.
3、掌握勒贝格可测集的第二定义：
对任意点集t:
mt?
m（t?
e）?
m（t?
ce）***me?
m*e*），理解对于区间i有mi?
|i|*及mi?
|i|的结论.了解不可测集的存在
成立.能够用第二定义证明某些集的可测性.了解可
测集的第一、第二、定义的等价性.
4、掌握可测集的两个充要条件定理.
5、掌握两可测集之并为可测集定理，可列个可测集之并为可测集定理，并能够正确地证明它们.
6、掌握两可测集之交为可测集定理，可列个可测集之交为可测集定理.
7、掌握递增可测集列{sn}之极限可测定理及递减可测集列
ms1?
?
{sn}之极限可测定理.并能够正确证明它们,还要能够用反例说明后一个定理中的重要性.
8、掌握波雷耳集,
集,还是f?
g?
型集、f?
型集等概念.能够根据概念正确判别具体集合是g?
型型集.
g?
9、掌握可测集与开集及闭集的关系;可测集与型集、f?
型集的关系.
第四章可测函数
（一）课程内容
可测函数及性质，叶果洛夫定理，可测函数的构造，依测度收敛。
（二）学习与考核要求
2、掌握可测函数的定义及其等价性定理.
3、掌握定义在任意点集e上连续函数的概念及连续函数可测性定理.掌握简单函数的概念及其可测性叙述.
4、掌握可测函数的性质（包括可测子集上的可测性，并集上的可测性，函数四则运算及取绝对值的可测性，可测函数列的上、下确界函数的可测性、上、下极限函数可测性、极限函数可测性等）
5、掌握可测函数与简单函数关系定理.
6、掌握叶果洛夫定理的引理.
7、掌握叶果洛夫定理和鲁津定理，能够对应地写出与某些可测函数的“基本上”相等的连续函数.
8、掌握依测度收敛的概念，能够用实例说明依测度收敛与收敛概念的不同性.
9、掌握黎斯定理及勒贝格测度收敛定理.掌握依测度收敛在几乎处处意义下的唯一性定理.能够应用相关定理证明一些简单命题.
第五章积分论
（一）课程内容
黎曼积分，勒贝格积分定义及性质，一般可积函数，积分极限定理，富比尼定理。
（二）学习与考核要求
1、掌握可测分划d，关于d的darboux大和及darboux小和、有界函数f{x}在e上的上、下积分、在e上的（l）积分概念.掌握有界函数（l）可积的两个充分条件定理.
2、掌握有界函数f（x）在[a.b]上（r）可积时（l）积分与（r）积分相等的定理并且能够正确地证明之.
3、掌握有界函数的（l）积分的性质（包括和、差、积、商、取绝对值的可积性、可测子集上函数可积性、线性、不等号性质、绝对值放大性质，被积函数几乎处处为零的充分条件及绝对连续性.）
4、掌握一般非负函数（l）积分概念，一般函数（l）积分概念.掌握一般函数积分确
定时或可积时的全部性质.能够证明积分绝对连续性.
5、掌握（l）可积函数是具有绝对可积性的结论，能够用函数是否（r）绝对可积来判别其是否（l）可积的.
6、掌握积分的极限定理（包括l-控制收敛定理和推论，列维定理，l-逐项积分定理，积分可数可加性定理，法都引理、积分号下求偏导定理）并能应用这些定理证明题目.
7、理解直积、截面和下方图形等概念及性质.理解截面定理、直积测度定理、非负可测函数积分的几何意义定理及其推论.
8、掌握富比尼定理,能够用富比尼定理来检验函数的不可积性.
三有关说明
（一）教材：
自学教材：
程其襄等编《实变函数与泛函分析基础》,高等教育出版社,2003年。
（二）补充资料
自学和命题以考试大纲为主要依据，但考虑到本课程的定理证明较难，故对本课程参考课本中的主要定理证明不作要求，但定理结论的和定理结论本身的内容必须掌握，并能利用定理来计算和判断一些命题。
故须补充一些定理应用的例子和习题。
具体内容可以参考下列教材：
赵静辉主编：
《实变函数简明教程》，华中理工大学出版社，1996版。
烟台师范学院等九院校编著：
《实变函数论简明教程》，山东科学技术出版社，1985版。
（三）自学方法的指导
本课程作为一门专业课程，逻辑性强，自学者在自学过程中应该注意以下几点：
1、学习前，应仔细阅读课程大纲的第一部分，了解课程的性质、地位和任务，熟悉课程的基本要求，使以后的学习紧紧围绕课程的基本要求。
2、所配教材只是一个参考，自学中应结合本课程大纲、补充习题、多做练习，熟练掌握基本概念，能利用基本概念定理计算判断，从而切实提高自身的数学分析问题能力和解决问题能力。
（四）对社会助学的要求
1、应熟知考试大纲对课程所提出的总的要求和各章的知识点。
2、对应考者进行辅导时，除了以指定的教材为基础外，应以考试大纲为依据，注意补充练习，注重提高学生应用概念定理分析问题、解决问题能力的发展。
（五）关于命题和考试的若干规定
1、本大纲各章所提到的考核要求中，各条细目都是考试的内容，试题覆盖到章，适当突出重点章节，加大重点内容的覆盖密度。
2、试题难度结构要合理，记忆、理解、综合性试题比例大致为3：
5：
2。
【篇二：
数学分析学习方法档】
>从数学分析开始讲起：
数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。
也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。
当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。
数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。
将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分
数学分析书：
初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。
我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。
另外建议看一下当不了教材的16，20。
中国人自己写的：
1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒）
应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。
我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。
网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。
不少经济类工科类学校也用这一本书。
里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋（stolz）定理，实数的定义也不清楚。
不过仍然不失为一本好书。
能广泛被使用一定有它自己的一些优势。
2《数学分析》华东师范大学数学系著
师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。
课本最后讲了一些流形上的微积分。
虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。
3《数学分析》陈纪修等著
以上三本是考研用的最多的三本书。
4《数学分析》李成章，黄玉民
是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。
5《数学分析讲义》刘玉链
我的数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五？
版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。
不要因为是函授教材就看不起，事实上最初的函授工作都是由最好的教授做的。
细说就远了，总之可以看看。
6《数学分析》曹之江等著
内蒙古大学数理基地的教材，偏重于物理的实现，会打一个很好的基础，不会盲目的向n维扩展。
适合初学者。
国家精品课程的课本。
7《数学分析新讲》张筑生
公认是一本新观点的书，课后没有习题。
材料的处理相当新颖。
作者已经去世。
8《数学分析教程》常庚哲，史济怀著
中国科学技术大学教材，课后习题极难。
9《数学分析》徐森林著
与上面一本同出一门，清华大学教材。
程度好的同学可以试着看一看。
书很厚，看起来很慢。
10《数学分析简明教程》邓东翱著
也是一本可以经常看到的书，作者已经去世。
国家精品课程的课本。
11许绍浦《数学分析教程》南京大学出版社
这些书应该够了，其他书不一一列举。
从中选择一本当作课本就可以了。
外国数学分析教材：
11《微积分学教程》菲赫金格尔茨著
数学分析第一名著，不要被它的大部头吓到。
我大四上半年开始看，发现写的非常清楚，看起来很快的。
强烈推荐大家看一下，哪怕买了收藏。
买书不建议看价格，而要看书好不好。
一本好的教科书能打下坚实的基础，影响今后的学习。
12《数学分析原理》菲赫金格尔茨著
上本书的简写，不提倡看，要看就看上本。
13《数学分析》卓立奇
观点很新，最近几年很流行，不过似乎没有必要。
14《数学分析简明教程》辛钦
课后没有习题，但是推荐了《吉米多维奇数学分析习题集》里的相应习题。
但是随着习题集的更新，题已经对不上号了，不过辛钦的文笔还是不错的。
15《数学分析讲义》阿黑波夫等著
莫斯科大学的讲义，不过是一本讲义，看着极为吃力，不过用来过知识点不错。
16《数学分析八讲》辛钦
大师就是大师，强烈推荐。
17《数学分析原理》rudin
中国的数学是从前苏联学来的，和俄罗斯教材比较像，看俄罗斯的书不会很吃力。
不过这本美国的书还是值得一看的。
写的简单明了，可以自己试着把上面的定理推导一遍。
18《微积分与分析引论》库朗
又一本美国的经典数学分析书。
有人认为观点已经不流行了，但是数学分析是一门基础课目的是打下一个好的基础。
19《流形上的微积分》斯皮瓦克
分析的进一步。
中国的数学分析一般不讲流形上的微积分，不过流形上的微积分是一种潮流，还是看一看的好。
20《在南开大学的演讲》陈省身
从中会有一些领悟，不过可惜好像网络上流传的版本少了一些内容。
21华罗庚《高等数学引论》科学出版社
数学分析习题集
不做题就如同没有学过一样。
希望将课本后的习题一道道自己做完，不要看答案。
买习题集也要买习题集，不买习题集的答案。
1《吉米多维奇数学分析习题集》
最近几年人们人云亦云的说这本书多么不好，批评计算题数目过多，不适合数学系等等。
但这本习题集不再被广泛使用的原因是那本习题解答的出现，学生对答案的抄袭使这部书失去了价值。
如果你不看答案的话它依然是数学分析第一习题集。
不要没有做过就盲目的批评。
有没有做过自己心里知道，并会影响自己今后的学习。
2《数学分析习题课教材》第一版或《数学分析解题指南》第二版，林源渠，方企勤等两本书一样的，再版换了名字。
第一版网上有电子版，第二版可以买纸版。
和3成一套。
3《数学分析习题集》林源渠，方企勤等
由于《吉米多维奇数学分析习题集》答案的出现使这本书得到的评价变高了，原因是这本书没有答案。
只能自己做。
4《数学分析习题精解》科学出版社版，还有裴礼文或者钱吉林的书
过考试不错，要学数学分析不提倡。
5各种教材的答案书
一堆垃圾。
毁人不倦。
解析几何：
解析几何有被代数吃掉的趋势，不过就数学系的学生而言，还是应该好好学一下，我大一没有好好学，后来学别的课时总感觉哪里有些不太对劲，后来才发现是自己的数学功底尤其是几何得功底没有打好。
1吴光磊《解析几何简明教程》高等教育出版社
写的简单明了，我基础没有打好，快速翻了一下这本书收获还是不少的。
不过打基础的时候还是从下面三本选一本看，把这本当参考书。
2《解析几何》丘维声，北京大学出版社
我大一时的课本
3《解析几何》吕根林，许子道
4《解析几何》尤承业
2，3，4写的大同小异
习题集有巴赫瓦洛夫的《解析几何习题集》不过不是那么容易找的到了
代数
前面说过代数有吃掉几何的倾向，所以有许多与时俱进的《代数与几何》。
不过还是建议分开学，一门一门的打好基础。
许多所谓的简明教程，还有将代数与解析几何合在一起的课本目前都还不是非常成熟。
不建议使用。
1《高等代数》北京大学数学系代数与几何教研室代数小组
目前国内各大学尤其是综合大学数学系广泛采用的代数教材，有着悠久的传统。
目前通常使用的是第三版。
也是各大学的考研指定用书。
这本书更多以教师为主，给了教师以很大的发挥空间，受到教师的普遍欢迎。
不过对基础不好的学生在某些地方有一定的难度。
讲到了所有应该讲的内容。
2《高等代数》张禾瑞，郝鈵新
被各个师范大学的数学系广泛使用，和1同分天下。
张禾瑞已经去世，但书已经出到第五版。
3《线性代数》李烔生，中国科学技术大学出版社
中科大的书一向比较难。
4《线性空间引论》叶明训，武汉大学出版社
5《高等代数学》张贤科，清华大学出版社
6《线性代数与矩阵论》许以超，高等教育出版社
以上三本是一份书单上写的，拿了过来，不过我知道5还是不错的
7《代数学引论》柯斯特利金
一本和菲赫金戈尔茨的《微积分学教程》齐名的伟大数学著作。
一本传世经典，没有什么可多说的。
最近刚刚有新译本出版，共分了三册，但都不是很厚，也不贵。
8《线性代数习题集》普罗斯库列柯夫
9《高等代数习题集》法捷耶夫，索明斯基
8，9是前苏联的经典代数习题集分别有两千道和一千道题，做完会打下非常好的基本功。
10《高等代数》丘维声著
书写的不错，不过是北京大学数学系用书，北京大学的教学内容和重点一贯与国内其他大学的不太一样，而且邱维声采用了与其他教材完全不同的编排方式，所以用这本书研也许有一些不适应。
建议用来作参考书而不是教材。
11《高等代数习题集》杨子胥著
相对8，9很容易买到，很多人用来做考研的参考书，而且符合所谓的教学或考研大纲。
12《线性代数》蒋尔雄，高锟敏，吴景琨著
名为线性代数，实际上是一本高等代数教材。
是一本非常老的为当时计算数学专业编写的书。
市面上根本找不到，但各大学的藏书中肯定会有。
近世代数：
不光是数学系最重要的几门课，而且在计算机方面有很多应用，通常的离散数学第二部分就是近世代数内容，也叫抽象代数。
1《近世代数引论》冯克勤
2《近世代数》熊全淹
3《代数学》莫宗坚
4《代数学引论》聂灵沼
5《近世代数》盛德成
分析的后继课程有常微分方程,偏微分方程，实变函数，复变函数，泛函分析。
下面一一介绍：
常微分方程：
1《常微分方程教程》丁同仁、李承治，高等教育出版社
公认的国内写的最好的教材。
2《常微分方程》王高雄等
使用相当广泛的教材。
初学建议从1，2中选
3《常微分方程》v.i.arnold
常微分不可不读的书。
4《常微分方程》庞特里亚金
前苏联教材，作者是数学奇才，因为化学实验的一次事故导致双目失明，不得已转而学数学，成为一代数学大师。
5常微分方程习题集》菲利波夫
很简单，打通这本书。
不是题目简单，是对你的要求简单。
复变函数：
1《简明复分析》龚昇
写的非常有特色的一本书。
2《complexanalysis》l.v.ahlfors
学数学还是提倡多看大师的著作
3《复变函数》余家荣
4《复变函数》钟玉泉
上面两本是国内数学系用的最多的书，不过通常会剩下一到两章讲不完。
5《解析函数论初步》h.嘉当
6《应用复分析》任尧福
7《复变函数论习题集》沃尔科维斯
实变函数：
1《实变函数与泛函分析概要》郑维行
很好的入门书。
2《实变函数论》周民强
普遍认为是一本非常好的书，不过个人认为对基础不是很好的人来说比较难懂。
写法和其他几本不太一样。
3《实变函数》江泽坚，吴志泉
我初学时用的书，和2相比我更愿意用这本和4
4《实变函数与泛函分析》夏道行，伍卓人，严绍宗，舒五昌
上世纪八十年代中国大学数学系的标准课本，2009年3月会出新版。
强烈推荐这本和上一
本。
虽然厚，但是相当详细。
5《实变函数论的定理与习题》鄂强
6《实变函数论习题集》捷利亚科夫斯基
和分析一样要多做题。
泛函分析：
1《泛函分析讲义》张恭庆
个人感觉写的比较混乱，不过各个大学数学系都在用。
2《实变函数与泛函分析》夏道行
上面说过，再推荐一次，虽然有点厚。
3《实变函数与泛函分析概要》郑维行
4《泛函分析习题集》安托涅维奇
5《函数论与泛函分析初步》柯尔莫哥洛夫
好好看完会有收获。
大师的经典名著，包括了实变函数，泛函分析，变分等各方面的内容6《泛函分析理论习题解答》克里洛夫
偏微分方程：
1《偏微分方程》陈祖墀
2《广义函数与数学物理方程》齐民友
3《数学物理方程讲义》姜礼尚
4《数学物理方程》谷超豪，李大潜等
5《偏微分方程教程》华中师范大学
6《数学物理方程习题集》弗拉基米洛夫
谷超豪，李大潜的书是用的时间相当长的一本老教材，5添加了一些新内容，将一阶方程的解法也加了进来。
7《数学物理方法》梁昆淼。
数学物理方法是非数学专业的课相当于数学系的偏微分方程和复变函数
8《数学物理方程》柯朗
学物理的人趁着年轻还是好好打一打基础。
9《特殊函数概论》王竹溪
中国人写的书里面足以自豪的一本，王老先生是杨振宁的老师。
概率论分三部分内容：
概率论，数理统计和随机过程
概率论：
1《概率论基础》李贤平
2《概率论引论》汪仁官
3《概率论与数理统计》（上、下），中山大学数学力学系编
概率论学起来很容易，但是题做起来就不是那么一回事了。
数理统计：
1《数理统计学教程》陈希孺
2《数理统计学讲义》陈家鼎
3《数理统计基础》陆璇
4《数理统计习题集》中国科学技术大学
统计与金融系
5《数理统计》赵选民
随机过程：
【篇三：
2011用书】
class=txt>说明：
从2009年起，教育部提倡各招生单位不指定参考书目。
我校部分学院不再提供相关考试科目的参考书目。
考生可根据报考专业和考试科目自行选择相关参考书作为参考。
高等数学参考书目
011数学与统计学院参考书目
013
物理科学与技术学院参考书目
016信息科学与工程学院参考书目
020生命科学学院参考书目
021资源环境学院参考书目
022草地农业科技学院硕士研究生参考书目
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