普通高等学校招生全国统一考试数学卷上海理含答案.docx
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普通高等学校招生全国统一考试数学卷上海理含答案
2009年全国普通高等学校招生统一考试
上海数学试卷（理工农医类）
考生注意：
1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条
形码.
2.本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间20分钟.
一•真空题（本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接
写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
开始
1.若复数z满足z（1+i）=1-i（I是虚数单位），则其共轭复数2.已知集合A—x|xE1?
B=「x|x_a?
，且A_BR
则实数a的取值范围是
则x满足的条件是
4.某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x
满足的关系式是.
5.如图，若正四棱柱ABCD-ABCiU的底面连长为2,高为
4,则异面直线BDi与AD所成角的大小是（结果用反三角函数表示）
2
6.函数y=2cosx+sin2x的最小值是7•某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量•表示
选出的志愿者中女生的人数，则数学期望（结果用最简分数表示）•
8.已知三个球的半径R-i,R2,R3满足R|'2R2=3R3，则它们的表面积S1,S2,§3，满
足的等量关系是…
22
Xy
9.已知F1、F2是椭圆C:
—22=1（a>b>0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且
ab
PFi丄PF2.若APF1F2的面积为9,则b=.
10.在极坐标系中，由三条直线V-0,'二，Tcosv•「sinv-1围成图形的面积是
3
11.当0兰x兰1时，不等式sin巴启kx成立，则实数k的取值范围是.
2
12.已知函数f（x）=sinx+tanx.项数为27的等差数列｛an｝满足an乏‘一—,i,且公差
<22丿
d式0.若f（aj+f（a2）+…+f（a27）=0，则当k=是，f（ak）=0.
13.某地街道呈现东一西、南一北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。
若
以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2,2）,（3,1）,（3,4）,（-2,3）,
（4,5）,（6,6）为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）为发行站，使6个零
售点沿街道到发行站之间路程的和最短.-
14.将函数丫仝4•6x-x2-2（x•0,6）的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角
d（0一d_：
•），得到曲线C.若对于每一个旋转角二，曲线C都是一个函数的图像，则:
-的
最大值为._
二•选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答
题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分。
15.“-2乞a乞2”是“实系数一元二次方程x2ax^0有虚根”的
（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件
（C）充要条件（D既不充分也不必要条件
’,1
16.若事件E与F相互独立，且PE二PF，则PEIF的值等于
4
111
（A）0（B）（C）（D）-
1642
17.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染
的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。
根据过去10天甲、乙、丙、丁四地
新增疑似病例数据，一定符合该标志的是
（A）甲地：
总体均值为3，中位数为4（B）乙地：
总体均值为1,总体方差大于0
（C）丙地：
中位数为2，众数为3（D）丁地：
总体均值为2,总体方差为3
22
18•过圆C:
（x-1）（y-1）=1的圆心，作直线分别交X、y正半轴于点A、B，
AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足s"s「Sil，
则直线AB有（）
（A）0条（B）1条（C）2条（D）3条
三•解答题（本大题满分
78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定
区域内写出必要的步骤
19（本题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC-AEG中，AA,二BC二AB=2,
AB_BC,求二面角Bj-AC-G的大小。
20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
有时可用函数
0.115ln—,（^6）a-x
（x）:
x_4.4/,（x6）
.x—4
描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（x^N*）,f（x）表示
对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。
（1）证明：
当x_7时，掌握程度的增加量f（xT）-f（x）总是下降;
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115,121],（121,127],（121,133]。
当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。
21.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分。
已知双曲线c:
—-y2=1,设过点A（-3・、.2,0）的直线I的方向向量e=（1,k）-…
2
（1）当直线I与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线I的方程及I与m的距离;
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。
已知函数y=f（x）的反函数。
定义：
若对给定的实数a（a二0），函数y=f（xa）与
fJ（xa）互为反函数，则称y二f（x）满足“a和性质”；若函数y二f（ax）与y=f°（ax）互为反函数，则称y二f（x）满足“a积性质”。
（1）判断函数g（x）=x21（x-0）是否满足“1和性质”，并说明理由；…
（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3）设函数y=f（x）（x-0）对任何a•0，满足“a积性质”。
求y=f（x）的表达式。
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题
满分8分。
已知订」是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列。
（1）若an=3n-1，是否存在m、kN，有am■amak?
说明理由;
（3）若a数列〈bn?
中的一项，请证明。
2009年全国普通高等学校招生统一考试
上海数学试卷（理工农医类）答案要点及评分标准
说明
1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。
2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。
解答
、（第一题至第14题）
J2,X-1
x-2,x1
题号
15
16
17
18
代号
A
B
D
B
（第15题至第18题）
三.（第19题至第23题）
19.解如图，建立空间直角坐标系。
贝yA2,0,0,C0,2,0,A12,0,2,
B10,0,2,C10,2,2,……2分
设AC的中点为M,.BM_AC,BM_CC,
BM_平面AGC,即卩BM=1,1,0是平面
AGC的一个法向量。
设平面A1B1C的一个法向量是n=x,y,z，
nA|B1=-2x=0，nAC=-2x2y-2z=0，
n=0,1,1，
20.证明
（1）当x_7时，f（x+1）-f（x）=
3分
6分
9分
13分
14分
面角B1-AG-G的大小为-
0.4
（x-3）（x-4）
而当一7时，函数y=（x-3）（x-4）单调递增，且（x-3）（x-4）0.
故f（x+1）-f（x）单调递减.
■当—7,掌握程度的增长量f（x+1）-f（x）总是下降.
解
（2）由题意可知0.1*15In」0.85,
a-6
整理得旦二e0.05,
a-6
0.05
解得a=-^620.506=123.0,123.0121,127】.
e-1
由此可知，该学科是乙学科。
21.
（1）双曲线C的渐近线m:
\_y
V2
=0，即x二、2y=0
直线l的方程x_2y3^2=0
二直线l与m的距离d=—+=J6
（2）||证法一设过原点且平行于丨的直线b:
kx「y=0,
则直线l与b的距离d=，
山+k2
12分
又双曲线C的渐近线为x一2y=0,
-双曲线C的右支在直线b的右下方，
双曲线c的右支上的任意点到直线i的距离大于6。
故在双曲线C的右支上不存在点Q（x0,y0）到到直线I的距离为616分
证法二假设双曲线C右支上存在点Q（x0,y0）到到直线丨的距离为、6,
|kx0-y^^/2k
-1k2
2r2几
x°—2y°=2
二,6
（1）
（2）
由
（1）得y0二kx03、.2k一一1k2,
11分
设t_•6、1k2,
当k牛时，心以一—厂k20:
22•解
2k2-1
t=3©k—Qj1+k2=76汇二八^=>0
的F+J1十k2
222
将y°二kx°t代入
（2）得（1-2k）xo-4tkx°-2（t1）=0,
「k三，t0
2
-1-2k2：
：
0,-4kt：
：
0,-2（t21）：
：
0.
故在双曲线C的右支上不存在点Q（x0,y0）到到直线丨的距离为,6
（1）函数g（x）=x2・1（x0）的反函数是g'（x）“d（x1），
g」（x1）x（x0,）
而g（x1^（x1）21（^-1），其反函数为y-1
故函数g（x^x21（x-0）不满足“1和性质”
（2）设函数f（x）二kx•b（x•R）满足“2和性质”，k=0。
x2—b
1x—b1
f（X）二「（xR/f（x2）=kk
x—b—2k而f（x2^k（x2）b（^R），得反函数y二k
13分
16分
-1（x1）
k+2-bx-b-2k
由“2和性质”定义可知=-一■对（x•R）恒成立。
k=-1,b・R.即所求一次函数f（x）二-x，b（b・R）.
10分
（3）设a0,x00,且点（xd，y0）在y=f（ax）图像上，则（丫0,灯在函数
y=f4（ax）图像上,
故（ff）y0可得ayo=f（Xo）=af（axo），
fT（ay。
）=x°
12分
令axo=x,贝卩a=~，f（xo^—f（x）,即f（x）二x°f（x°）人xx
14分
综上所述,
kk
f（x）-（k=0）,此时f（ax）,其反函数是y
xax
ax，
1k1
而f—（ax）=,故y=f（ax）与y=f-（ax）互为反函数。
……16分
ax
23解
（1）由am-am^ak,得6m3k1,……2分
4*
整理后，可得k-2m=-，丁m、k^N二k—2m为整数，
3，
*
■不存在m、kN，使等式成立。
5分
（2）解法一若也也，即色nd恥心，（*）
ana^i+（n-1）d
（i）若d=0,则1=Eq"'=bn,
当〈aj为非零常数列，fbj为恒等于1的常数列，满足要求。
……7分
—■.nd
（ii）若d=0,（*）式等号左边取极限得lim11,（*）式等号
n-就a1+（n—1）d
右只边只有当q=1时，才可能等于1,此时等号左边是常数,
满足要求。
综上所述，只有当〔aj为非零常数列，E为恒等于1的常数列,
10分
为等比数
解法二设an“dc,若旦」=bn，对n都成立，且
an
列，则旦厘/加二q，对n:
<”都成立，即anan2二qa爲,an1an
二qd2
（dnC（dn2djoqdnd,）对cn-!
都成立，d2
（i）若d=0,贝囤二c=0,•bn=1,n・、「”。
n*
（3）an=4n1,bn=3,nN,
=0=3k,pk
才*s
4m2p3，一pk=N,p=3,s=N13分
P
取k=3s2,4m=32s2-23^3（4-1）2s+2-2：
4i：
s-3_0,……15分
由二项展开式可得整数M2，使得（4-1）2s+2=4M!
+1,
2（4-1）s-8M2（_1）s2
4m=4（M1-2M2）-（（-1）S1）2,存在整数m满足要求。
s
故当且仅当p=3,s・N，命题成立。
……18分
说明：
第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）
若p为偶数，则am1•am.2•川•am.p为偶数，但3k为奇数。
故此等式不成立，•p一定为奇数。
……1分
当p=1时，则am彳=bk,即4m•5=3k,
而3k=（4-1）k
=c0”4k+c；4心（—1）引j+cf4（—1）kr<”（-1）k=4M+（-1）k,Mez.
当k为偶数时，存在m，使4m•5=3k成立，1分
当p=3时，则am1-am.2am厂bk，即3am2=b,
也即3（4m9）=3k,4m9=3「4（m1）5=3k，,
由已证可知，当k-1为偶数即k为奇数时，存在m,4m3k成立，……2分
当p=5时,则am1•am2*川*am-^bk,即5am3f,
也即5（4m•13）=3k，而3k不是5的倍数，•当p=5时,所要求的m不存在，
故不是所有奇数都成立。
……2分
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