普通高等学校招生全国统一考试数学卷上海理含答案.docx

1、普通高等学校招生全国统一考试数学卷上海理含答案2009年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（理工农医类）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、 高考准考证号填写清楚， 并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间20分钟.一真空题 （本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分 .开始1.若复数z满足z （1+i） =1-i （I是虚数单位），则其共轭复数 2.已知集合 Ax|xE1? ,B =x|x_a?，且 A _B R则实数a的取值范围是 则x满足的条件是 4. 某算法的

2、程序框如右图所示，则输出量 y与输入量x满足的关系式是 .5. 如图，若正四棱柱 ABCD-ABCiU的底面连长为2,高 为4,则异面直线BDi与AD所成角的大小是 （结果用 反三角函数表示）26.函数 y=2cos x+sin2x的最小值是 7某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 （结果用最简分数表示）8.已知三个球的半径 R-i, R2, R3满足R| 2R2 = 3R3，则它们的表面积 S1, S2, 3，满足的等量关系是 2 2X y9. 已知F1、F2是椭圆C:2 2 =1( a b 0)的两个焦点， P为

3、椭圆C上一点，且a bPFi丄PF2 .若APF1 F2的面积为9,则b = .10.在极坐标系中，由三条直线 V -0,二，Tcosv si nv - 1围成图形的面积是311.当0兰x兰1时，不等式sin巴启kx成立，则实数k的取值范围是 .212. 已知函数f(x)=si nx+ta nx.项数为27的等差数列an 满足an乏一 ,i,且公差 2 2丿d 式0 .若 f (aj + f (a2) + f (a27) = 0，则当 k = 是，f (ak) = 0.13.某地街道呈现东一西、南一北向的网格状，相邻街距都为 1.两街道相交的点称为格点。若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系

4、，现有下述格点 (-2,2) , (3,1) , (3,4) , (-2,3),(4,5) , (6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外) 为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短 .-14.将函数丫 仝4 6x -x2 -2 (x 0,6)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角d (0 一 d _ ：)，得到曲线C.若对于每一个旋转角 二，曲线C都是一个函数的图像，则 :-的最大值为 . _二选择题(本大题满分 16分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 4分，否则一律得零分。15.“ -2乞a乞2”是“实系数

5、一元二次方程 x2 ax 0有虚根”的(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件(C)充要条件 (D既不充分也不必要条件 , 116.若事件E与F相互独立，且PE二PF ，则PEIF的值等于41 1 1(A) 0 (B) (C) (D)-16 4 217.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过 7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是(A)甲地：总体均值为 3，中位数为4 ( B)乙地：总体均值为 1 ,总体方差大于0(C)丙地：中位数为 2，众数为3 ( D) 丁地：总体均

6、值为 2,总体方差为32 218过圆C:(x-1) (y -1) =1的圆心，作直线分别交X、y正半轴于点A、B，AOB被圆分成四部分(如图)，若这四部分图形面积满足 s sSil，则直线AB有()(A) 0 条 (B) 1 条 (C) 2 条 (D) 3 条三解答题(本大题满分78分)本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤19 (本题满分14分)如图，在直三棱柱 ABC-AEG中，AA,二BC二AB = 2,AB _ BC ,求二面角Bj - AC -G的大小。20 (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。有时可用函数0.1

7、15l n ,(6) a - x(x):x _4.4 / ,(x 6).x 4描述学习某学科知识的掌握程度，其中 x表示某学科知识的学习次数( xN*), f (x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数 a与学科知识有关。(1) 证明：当x_7时，掌握程度的增加量 f(xT)-f(x)总是下降;(2) 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121, (121,127 ,(121,133。当学习某学科知识 6次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科。21.(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分。已知双曲线c: -y2 =1,设过点A(-3、.2

8、,0)的直线I的方向向量e = (1,k)-2 (1) 当直线I与双曲线C的一条渐近线 m平行时，求直线I的方程及I与m的距离;22.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题 满分6分。已知函数y = f(x)的反函数。定义：若对给定的实数 a(a二0)，函数y= f(x a)与f J(x a)互为反函数，则称y二f (x)满足“ a和性质”；若函数y二f (ax)与 y = f (ax)互为反函数，则称 y二f (x)满足“ a积性质”。(1)判断函数g(x) = x2 1(x - 0)是否满足“ 1和性质”，并说明理由；(2)求所有满足“ 2和性质”

9、的一次函数；(3)设函数y = f (x)( x - 0)对任何a 0，满足“ a积性质”。求y = f (x)的表达式。23.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。已知 订是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列。 (1) 若an =3n -1，是否存在m、k N，有am am ak ?说明理由;(3) 若a0的F + J1十k22 2 2将 y 二 kx t 代入(2 )得(1-2k )xo -4tkx-2(t 1)=0,k 三，t 02-1 -2k2 ：0,-4kt ：0,-2(t2 1) ：0.故在双曲线 C的右支上不存在点 Q(x

10、0,y0)到到直线丨的距离为 ,6(1)函数 g(x)=x2 1(x 0)的反函数是 g(x)“d(x 1)，g(x 1) x (x 0,)而 g(x 1(x 1)2 1( -1)，其反函数为 y -1故函数g(xx2 1(x - 0)不满足“ 1和性质”(2)设函数 f (x)二 kx b(x R)满足“ 2 和性质”，k = 0。x 2 b1 x b 1f (X)二(x R / f (x 2)= k kx b 2k 而 f(x 2k(x 2) b( R)，得反函数 y 二 k13分16分-1(x 1)k +2 -b x-b-2k由“ 2和性质”定义可知 =- 一对(x R)恒成立。k =

11、-1,bR .即所求一次函数 f(x)二-x，b(bR).10分(3)设a 0,x0 0,且点(xd，y0)在y = f(ax)图像上，则(丫0,灯 在函数y = f 4 (ax)图像上,故(ff ) y0 可得 ayo = f(Xo) =af(axo)，f T(ay。)=x12分令 axo =x,贝卩a=， f (xo f (x),即f (x)二 xf (x) 人 x x14分综上所述,k kf (x) -( k=0),此时f (ax) ,其反函数是yx axax，1 k 1而f (ax)=,故y = f (ax)与y = f -(ax)互为反函数。 16分ax23 解 (1)由 am -

12、am ak,得6m 3k 1, 2分4 *整理后，可得k-2m = -，丁 m、kN 二k2m为整数，3 ，*不存在m、k N，使等式成立。 5分(2)解法一若也也，即色nd 恥心， (*)an ai +(n - 1)d(i)若 d = 0,则1 = Eq = bn ,当aj为非零常数列，fbj为恒等于1的常数列，满足要求。 7分. nd(ii)若d = 0, (*)式等号左边取极限得 lim 1 1, (*)式等号n-就 a1 +(n 1)d右只边只有当q =1时，才可能等于1,此时等号左边是常数,满足要求。综上所述，只有当aj为非零常数列， E 为恒等于1的常数列,10分为等比数解法二 设

13、an “d c,若旦=bn，对n 都成立，且an列，则旦厘/加二q，对n : ”都成立，即anan 2二qa爲, an 1 an二 qd2(d n C ( d n 2 d jo q d n d,)对cn - !都成立， d2 (i)若 d=0,贝囤二c = 0, bn =1, n、”。n *(3) an =4n 1,bn = 3 , n N ,=0 = 3k, p k才 * s4m 2p 3 ，一 p k = N, p=3,s=N 13分P取 k =3s 2,4m =32s 2-2 33 (4-1 )2s+2 - 2 ： 4 i：s-3_0,15 分由二项展开式可得整数 M2，使得(4-1)2

14、s+2=4M!+1,2 (4-1)s -8M2 (_1)s24m=4(M1-2M2)-(-1)S 1)2,存在整数 m满足要求。s故当且仅当p=3,sN，命题成立。 18分说明：第(3)题若学生从以下角度解题，可分别得部分分(即分步得分)若p为偶数，则am 1 am .2 川 am .p为偶数，但3k为奇数。故此等式不成立， p 一定为奇数。 1分当 p =1 时，则 am 彳=bk,即4m 5 = 3k,而 3k =(4-1)k=c0 ”4k +c； 4心(1)引j+cf 4(1)kr ”(-1)k =4M +(-1)k,M ez.当k为偶数时，存在 m，使4m 5 = 3k成立， 1分当 p =3时，则 am1 - am .2 am 厂 bk，即3am 2 = b ,也即 3(4m 9)=3k, 4m 9 = 34(m 1) 5=3k，,由已证可知，当k -1为偶数即k为奇数时，存在 m , 4m 3k成立，2分当 p =5时,则 am1 am 2 * 川 * am-bk,即5am 3 f ,也即5(4m 13) =3k，而3k不是5的倍数，当p = 5时,所要求的m不存在，故不是所有奇数都成立。 2分