10.设f（x）=[,若f（a）=f（ea）.
√7∙ln%,X≥1
A.戊辰B.辛未C.已巳
则f（—）=
11.将函数y=cos（2x--）∣⅜l象上的点G（—,n）向右平移m（m>0）个单位长度得到点G,,若
64
G位于函数y=sin2x的图象上，贝IJ
A-n=T*m≡÷≡y
B.呜，m的最小值为彳
12.已知双曲线C：
二一二=l（d＞θe＞O）上存在点过点M向圆x2÷y2=b2做两条切
Cr
线MA,MBO若MA丄MB,则双曲线C的离心率最小值为
A.1B.1C.迈D.逅
3232
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
x-y+3≥0
13.若实数X,y满足＜2x+y-3S0,则z=x+2y的最小值为.
.y≥1
14.数列｛a』的前N项和Sn=3n-L若a∣i=9a5,则k=。
X2V2
15.已知椭圆C：
r+—=1（"＞方＞0）的右焦点为F（l,0）,A,B为椭圆C的左右顶点，
a~b~
且IAFl=引FBI,则椭圆C的方程为。
16.如图，E,F分别是正方形ABCD的边AB,AD的中点，把AAEF,ΔCBE,ACFD折
起构成一个三棱锥P-CEF（A,B,D重合于P点），则三棱锥P-CEF的外接球与内切球
的半径之比是。
三、解答题：
共70分。
解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤。
第17〜21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17.（12分）
在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,Ca且（b+a）（sinB—sinA）=（c-a）SinCe
⑴求B：
（2）若B=2,∆ABC的而积为、存，求AABC的周长。
18.（12分）
中国网络教冇快速发展以来，中学生的学习方式发生了巨大转变。
近年来，网络在线学习已成为重要的学习方式之一。
为了解某学校上个月K,L两种网络学习方式的使用情况,
从全校学生中随机抽取了IOO人进行调査，发现K,L两种学习方式都不使用的有15人,
仅使用K和仅使用L的学生的学习时间分布情况如下：
=Up〜〜缈时间（小时）学习方孑
（0,∣0]
（10,20]
大于20
仅使用K
15人
12人
3人
仅使用L
21人
13人
1人
（1）用这100人使用K,L两种学习方式的频率来代替槪率，从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月K,L两种学习方式都使用的槪率；
（2）以频率代替概率从全校仅使用K和仅使用L的学生中各随机抽取2人，以X表示这4人当中上个月学习时间大于10小时的人数，求X的分布列和数学期望。
19.（12分）
如图，在棱柱ABCD-AIBlClDl中，底面ABCD为平行四边形,ZABC=60%AD=2,
AB=AAl=4,F是AD的中点，且G在底而上的投影E恰为CD的中点。
AB
（1）求证：
AD丄平而CiEF:
⑵若点M满足CjVi=试求入的值，使二面角M-EF-C为135。
。
20.（12分）
已知抛物线C：
y2=2Px（P>0）,过抛物线C的焦点F且垂直于X轴的直线交抛物线C于
P,Q两点，IPQl=4。
（1）求抛物线C的方程，并求英焦点F的坐标和准线/的方程；
（2）过点F的直线与抛物线C交于不同的两点A,B,直线OA与准线/交于点连接
MF,过点F作MF的垂线与准线/交于点N。
求证：
O,B,N三点共线（O为坐标原点）。
21.（12分）
已知函数f（x）=x（ax-tanx）,x∈（--）o
22
（1）当a=l时，求f（x）的单调区间；
（2）若X=O是函数f（x）的极大值点，求实数a的取值范国。
（二）选考题（共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写淸题号）
22.［选修4一4坐标系与参数方程］（10分）
在极坐标系中，已知A（pι,竺）在直线ρsmθ=2上，点B（p2∣兰）在圆C：
ρ=4cosθ
63
上（英中PN0,θ∈［0,2π））o
（1）求IABI：
（2）求出直线I与圆C的公共点的极坐标。
23.［选修4一5不等式选讲］（10分）
已知函数f（x）=lx~a2l÷lx~a+llo
（1）当a=l时，求不等式f（x）≥3的解集：
（2）若f（x）≥3,求实数a的取值范用。
蚌埠市2021届高三年级第一次教学质量监测
数学（理工类）参考答案及评分标准
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
Λ
B
C
B
Λ
C
Λ
A
C
D
D
二、填空题
二、填空题
■r
13.014.715.Ul16.2届
43
三、解答题
17.（12分）
（1）由正弦定理得2（b+a）（b-a）=（c-a）c,即J+c2-A2=ac2分
由余弦定理町得:
COSB=y4分
∙.∙He（0,π）,・•・«=y;6分
（2）∙∙∙S亦=爲,m=4
由余孩定理2"CCOSB=/+/-/几9分
得/+C2=8■即（“+
）'-IaC=8
.•・a+c=411分
ΛΔ∕lβC的周长为6・12分
18.（12分）
（1）记：
该学生上个月K.L两种学习方式都使用为事件他
由题意可知，两种学习方式都便用的人数为:
100-30-35-15=20人，2分
该学生上个月K上两种学习方式都便用的慨率P（A）=^=P4分
（2）由题意可知，
仅使用K学习方式的学生中■学习时间不大于10小时的人数占时间大于10小时
的人数占仅使用L学习方式的学生中,学习时间不大于10小时的人数占寻,时间大于1（）小时的人数占彳，・
X可能的取值为0,1,2,3,4・
X
0
1
2
3
4
P
9
3
37
1
1
10（）
1（）
10（）
5
25
数学期望E（X）=Ox9
9I3-37.1-IIO
Tδδ÷,×To+2×lbδ+3×T+4×25=1∙8∙
19.（12分）
（1）分别连结FE9FCi.
在AFED屮，EF=^FD2+ED2-2FD∙ED∙cos60o=Λ
・•・FD2十EF2=DE2,|为此乙&尸0=：
9（）。
，11卩EF丄AD,
・•・CI在底面上的投影E恰为CD的中点,λCXE丄平^ABCD9^ADC^IhiARCD9:
.C∣∕?
丄AD9
又EFlADfEFr∖CxE≈E9EF9ClEC平面ClEF,.∖AD丄平IfiICIEE
（2）连结以.EB.在平行四边形AlieD屮.
・.・AD=DE=EC=BC=2、LEDA=60°,乙BCE=120Ot
・・.乙CEB=30。
，乙DEAW故乙AE"=90。
即EA丄••…
分別以M,∕⅛,E孔的方向为工』,轴的正方向建立空间直角坐标系E-xyz9
E（0,0,0）,G（0,0,2存）,C（-l,√5^,0）,D（l,-√Jt0）,Dl（2,-2j3,2y∕3）,F（y.-孕,0）M=
C7if=Λc7bl=λ（2,-2√5"tO）=（2λ,-2Λλt0）,前=氏+皿=（2入,-2√T入,2疗），
易得平面CEF的•个法向蜀为TH=（OOl）
‰=（XJ^）为平面MEF的个法向血则：
"
•弓“.即Λχ-y=θ
•Eil=02λx-2√5^λτ+2√5z=0
令兀二>∕‰得〃=（A.3.2λ）>10分
•・・二面角M-EF-C为135ot∕.Icos<∕n√ι>I=ICOSI35oI,即鬥•：
[=∣-f∣,Λ严I,¥,即宀3,
ImI∙SI2∕12+4Λ22
又••二血角Λ∕-EF-C的大小为钝角,ΛΛ=Λ∙12分
20・（12分）
分分分分
（I）IPQl=2p=49∣tl∣jp=292
故抛物线（；的方程为Γ=4xt3
其焦点F坐标为（1,0）,4
准线Z方程为兀=一15
Y—Mr+1
（2）设直线MEy+1,联立,得/-¼-4=0・
γ=4x
设人（心』】），〃（孔』2），贝IJyI+i2=4Grly2=-4∙7分
直线OAO=-X.lhYi=4Xl得T=-Xt⅛⅛Λ∕（-1,—].
xιXi'）ιI
-O
直线ME的斜率AWr=-¥〒二Z,直线FN的斜率λ>γ
-1-1y∣
直线FN*-y（x-l）,则M-1,”）
21
2・
直线（）N的斜率仏=-Y1,直线OR的斜率%=丄
X2
由y；二4兀2得%=—.贝IJkoβ_kos=—-（-y∣）=■—?
1?
2=^-=θ∙
/2）‘2MbN三点共线・
21・（12分）
（1）（方法一）当"1时/（戈）=P-血，
COS.V
yιyι
12分
.∖∕,（x）=2x一—^Y-一tanx=x[l-
cos'%I
+（X-tanx）,
cos"X/
令‘心）=x-tanx,则“匕）=I-丄∙W0,"（x）在卜寻,刊上单调递减,cosd\22/
0,于[时,“（％）<0
VU（O）=O,/.X∈
-岁o）时,“（%）>0,x∈
）>O,x-tanx>0f.∙√,（%）>0∕（x）单调递增,
（0,J）时,屮-击）<0,x-taιu∙<0,m<0∕（x）单调递减，综上√∙（∙y）的单调递增区间为
当h∈
CoSX
（-于,o）,单调递减区间为（（），¥》
（方法二）当"1时/（戈）
COSx
.、_2λxu⅜2x一siιι2.ι
•J1=2c<√x
πTT\ΓtTr
it!
M（・丫）=2.rcos2.τ-siιι2xtx∈
则才（x）=-4XSin2x≤0（当且仅当*==0时取等号）,Λg（x）单调递减，
又g（0）=0,
・•・当TW
-f,θ）∣⅛,g（-v）>（）即.厂（C>0∕（x）单调递增，（）,閔时,g（∙Y）<（）,即∕,（-t）当"
29Γ
（2）令g{x）=αr-taιιxsW0∕（x）=Xg（X）.gf（×}TvJ）=Xf（X）+g（τ）,COS"X
当α≤l,x∈（-于,于）时,g'（∙Y）W0,g）单调递减,
x）>g（θ）=0tλ√（λ）^0,
Λ∕*（x）>O,ββ∕（x）在卜于，0|
Xe（0,罗时,g（%）1时,存在∕∈（0,
上单调递增,
上单调递减,
壬）使得CoS/=〉,即g,（∕）=0,
又gS）=α在（0,-yI
COr\-/
・・・/（%）=Xg（X）>（）,这与％=O是函数/（%）的极大值点矛盾.
匕单调递减,・・・"（（）」）时,g（%）>g（0）=0,
综上/W1.
22.（10分）
12分
IZP*Sino=2Jb,.'.Pl*sin^=2,解得Pl=4.
在ISlCtP=4COS^上■・•・“2=4COS号•■解得卩2=2・・
专,・・・OALOB,:
.∖AB∖=√^;+pf=2Λ・
（2）由宜线Z与圆C的方程联立得,得
P∙si∏8=2...r
故sιn2^=1,•…
P=4cos^
pMθ,0∈[0,2π）J.2。
=牛.・・O=于，
/.p=4×Sin于=2^2.
•••公共点的极坐标为（2√∑,f）.10分
23.（10分）一2%+1,x≤0
（1）当仇=1时J（A:
）=IX-Il+Ixl=1,02x-ItX≥1
・・・当x≤0时,不等式/（x）^3化为-2x+1^3tBPxC-1.
当OSCl时,不等式/&）工3化为心3,此时无解，
当x^l时,不等式/（x）⅛3化为2—心3,即•心2.4分
综上,当«=1时,不等式Jl23的解集为ImW-I或02}5分
（2）f{x）=∖x-（Γ∖+lx-π÷ll^l（.t-π"）-（.γ-α+l）l
=∖（Γ-α+1I=αβ-α+1
当N="+；_]B寸√^（t）“心=a，+17分
又/（.X）m3,a^-么+1鼻3,即a2—a-2MO
解得住M2或aW—1・9分
综上,若∕a∙）M3,则a的取值范围是Iala≤-1或aM2}・10分
（以上答案仅供参考,其它解法请参考以上评分标准酌情赋分）
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