10.设f(x)=[,若f(a)=f(ea).
√7∙ln%,X≥1
A.戊辰B.辛未C.已巳
则f(—)=
11.将函数y=cos(2x--)∣⅜l象上的点G(—,n)向右平移m(m>0)个单位长度得到点G,,若
64
G位于函数y=sin2x的图象上,贝IJ
A-n=T*m≡÷≡y
B.呜,m的最小值为彳
12.已知双曲线C:
二一二=l(d>θe>O)上存在点过点M向圆x2÷y2=b2做两条切
Cr
线MA,MBO若MA丄MB,则双曲线C的离心率最小值为
A.1B.1C.迈D.逅
3232
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
x-y+3≥0
13.若实数X,y满足<2x+y-3S0,则z=x+2y的最小值为.
.y≥1
14.数列{a』的前N项和Sn=3n-L若a∣i=9a5,则k=。
X2V2
15.已知椭圆C:
r+—=1(">方>0)的右焦点为F(l,0),A,B为椭圆C的左右顶点,
a~b~
且IAFl=引FBI,则椭圆C的方程为。
16.如图,E,F分别是正方形ABCD的边AB,AD的中点,把AAEF,ΔCBE,ACFD折
起构成一个三棱锥P-CEF(A,B,D重合于P点),则三棱锥P-CEF的外接球与内切球
的半径之比是。
三、解答题:
共70分。
解答应写岀文字说明,证明过程或演算步骤。
第17〜21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
在AABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,Ca且(b+a)(sinB—sinA)=(c-a)SinCe
⑴求B:
(2)若B=2,∆ABC的而积为、存,求AABC的周长。
18.(12分)
中国网络教冇快速发展以来,中学生的学习方式发生了巨大转变。
近年来,网络在线学习已成为重要的学习方式之一。
为了解某学校上个月K,L两种网络学习方式的使用情况,
从全校学生中随机抽取了IOO人进行调査,发现K,L两种学习方式都不使用的有15人,
仅使用K和仅使用L的学生的学习时间分布情况如下:
=Up〜〜缈时间(小时)学习方孑
(0,∣0]
(10,20]
大于20
仅使用K
15人
12人
3人
仅使用L
21人
13人
1人
(1)用这100人使用K,L两种学习方式的频率来代替槪率,从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月K,L两种学习方式都使用的槪率;
(2)以频率代替概率从全校仅使用K和仅使用L的学生中各随机抽取2人,以X表示这4人当中上个月学习时间大于10小时的人数,求X的分布列和数学期望。
19.(12分)
如图,在棱柱ABCD-AIBlClDl中,底面ABCD为平行四边形,ZABC=60%AD=2,
AB=AAl=4,F是AD的中点,且G在底而上的投影E恰为CD的中点。
AB
(1)求证:
AD丄平而CiEF:
⑵若点M满足CjVi=试求入的值,使二面角M-EF-C为135。
。
20.(12分)
已知抛物线C:
y2=2Px(P>0),过抛物线C的焦点F且垂直于X轴的直线交抛物线C于
P,Q两点,IPQl=4。
(1)求抛物线C的方程,并求英焦点F的坐标和准线/的方程;
(2)过点F的直线与抛物线C交于不同的两点A,B,直线OA与准线/交于点连接
MF,过点F作MF的垂线与准线/交于点N。
求证:
O,B,N三点共线(O为坐标原点)。
21.(12分)
已知函数f(x)=x(ax-tanx),x∈(--)o
22
(1)当a=l时,求f(x)的单调区间;
(2)若X=O是函数f(x)的极大值点,求实数a的取值范国。
(二)选考题(共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写淸题号)
22.[选修4一4坐标系与参数方程](10分)
在极坐标系中,已知A(pι,竺)在直线ρsmθ=2上,点B(p2∣兰)在圆C:
ρ=4cosθ
63
上(英中PN0,θ∈[0,2π))o
(1)求IABI:
(2)求出直线I与圆C的公共点的极坐标。
23.[选修4一5不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=lx~a2l÷lx~a+llo
(1)当a=l时,求不等式f(x)≥3的解集:
(2)若f(x)≥3,求实数a的取值范用。
蚌埠市2021届高三年级第一次教学质量监测
数学(理工类)参考答案及评分标准
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
Λ
B
C
B
Λ
C
Λ
A
C
D
D
二、填空题
二、填空题
■r
13.014.715.Ul16.2届
43
三、解答题
17.(12分)
(1)由正弦定理得2(b+a)(b-a)=(c-a)c,即J+c2-A2=ac2分
由余弦定理町得:
COSB=y4分
∙.∙He(0,π),・•・«=y;6分
(2)∙∙∙S亦=爲,m=4
由余孩定理2"CCOSB=/+/-/几9分
得/+C2=8■即(“+
)'-IaC=8
.•・a+c=411分
ΛΔ∕lβC的周长为6・12分
18.(12分)
(1)记:
该学生上个月K.L两种学习方式都使用为事件他
由题意可知,两种学习方式都便用的人数为:
100-30-35-15=20人,2分
该学生上个月K上两种学习方式都便用的慨率P(A)=^=P4分
(2)由题意可知,
仅使用K学习方式的学生中■学习时间不大于10小时的人数占时间大于10小时
的人数占仅使用L学习方式的学生中,学习时间不大于10小时的人数占寻,时间大于1()小时的人数占彳,・
X可能的取值为0,1,2,3,4・
X
0
1
2
3
4
P
9
3
37
1
1
10()
1()
10()
5
25
数学期望E(X)=Ox9
9I3-37.1-IIO
Tδδ÷,×To+2×lbδ+3×T+4×25=1∙8∙
19.(12分)
(1)分别连结FE9FCi.
在AFED屮,EF=^FD2+ED2-2FD∙ED∙cos60o=Λ
・•・FD2十EF2=DE2,|为此乙&尸0=:
9()。
,11卩EF丄AD,
・•・CI在底面上的投影E恰为CD的中点,λCXE丄平^ABCD9^ADC^IhiARCD9:
.C∣∕?
丄AD9
又EFlADfEFr∖CxE≈E9EF9ClEC平面ClEF,.∖AD丄平IfiICIEE
(2)连结以.EB.在平行四边形AlieD屮.
・.・AD=DE=EC=BC=2、LEDA=60°,乙BCE=120Ot
・・.乙CEB=30。
,乙DEAW故乙AE"=90。
即EA丄••…
分別以M,∕⅛,E孔的方向为工』,轴的正方向建立空间直角坐标系E-xyz9
E(0,0,0),G(0,0,2存),C(-l,√5^,0),D(l,-√Jt0),Dl(2,-2j3,2y∕3),F(y.-孕,0)M=
C7if=Λc7bl=λ(2,-2√5"tO)=(2λ,-2Λλt0),前=氏+皿=(2入,-2√T入,2疗),
易得平面CEF的•个法向蜀为TH=(OOl)
‰=(XJ^)为平面MEF的个法向血则:
"
•弓“.即Λχ-y=θ
•Eil=02λx-2√5^λτ+2√5z=0
令兀二>∕‰得〃=(A.3.2λ)>10分
•・・二面角M-EF-C为135ot∕.Icos<∕n√ι>I=ICOSI35oI,即鬥•:
[=∣-f∣,Λ严I,¥,即宀3,
ImI∙SI2∕12+4Λ22
又••二血角Λ∕-EF-C的大小为钝角,ΛΛ=Λ∙12分
20・(12分)
分分分分
(I)IPQl=2p=49∣tl∣jp=292
故抛物线(;的方程为Γ=4xt3
其焦点F坐标为(1,0),4
准线Z方程为兀=一15
Y—Mr+1
(2)设直线MEy+1,联立,得/-¼-4=0・
γ=4x
设人(心』】),〃(孔』2),贝IJyI+i2=4Grly2=-4∙7分
直线OAO=-X.lhYi=4Xl得T=-Xt⅛⅛Λ∕(-1,—].
xιXi')ιI
-O
直线ME的斜率AWr=-¥〒二Z,直线FN的斜率λ>γ
-1-1y∣
直线FN*-y(x-l),则M-1,”)
21
2・
直线()N的斜率仏=-Y1,直线OR的斜率%=丄
X2
由y;二4兀2得%=—.贝IJkoβ_kos=—-(-y∣)=■—?
1?
2=^-=θ∙
/2)‘2MbN三点共线・
21・(12分)
(1)(方法一)当"1时/(戈)=P-血,
COS.V
yιyι
12分
.∖∕,(x)=2x一—^Y-一tanx=x[l-
cos'%I
+(X-tanx),
cos"X/
令‘心)=x-tanx,则“匕)=I-丄∙W0,"(x)在卜寻,刊上单调递减,cosd\22/
0,于[时,“(%)<0
VU(O)=O,/.X∈
-岁o)时,“(%)>0,x∈
)>O,x-tanx>0f.∙√,(%)>0∕(x)单调递增,
(0,J)时,屮-击)<0,x-taιu∙<0,m<0∕(x)单调递减,综上√∙(∙y)的单调递增区间为
当h∈
CoSX
(-于,o),单调递减区间为((),¥》
(方法二)当"1时/(戈)
COSx
.、_2λxu⅜2x一siιι2.ι
•J1=2c<√x
πTT\ΓtTr
it!
M(・丫)=2.rcos2.τ-siιι2xtx∈
则才(x)=-4XSin2x≤0(当且仅当*==0时取等号),Λg(x)单调递减,
又g(0)=0,
・•・当TW
-f,θ)∣⅛,g(-v)>()即.厂(C>0∕(x)单调递增,(),閔时,g(∙Y)<(),即∕,(-t)当"
29Γ
(2)令g{x)=αr-taιιxsW0∕(x)=Xg(X).gf(×}TvJ)=Xf(X)+g(τ),COS"X
当α≤l,x∈(-于,于)时,g'(∙Y)W0,g)单调递减,
x)>g(θ)=0tλ√(λ)^0,
Λ∕*(x)>O,ββ∕(x)在卜于,0|
Xe(0,罗时,g(%)1时,存在∕∈(0,
上单调递增,
上单调递减,
壬)使得CoS/=〉,即g,(∕)=0,
又gS)=α在(0,-yI
COr\-/
・・・/(%)=Xg(X)>(),这与%=O是函数/(%)的极大值点矛盾.
匕单调递减,・・・"(()」)时,g(%)>g(0)=0,
综上/W1.
22.(10分)
12分
IZP*Sino=2Jb,.'.Pl*sin^=2,解得Pl=4.
在ISlCtP=4COS^上■・•・“2=4COS号•■解得卩2=2・・
专,・・・OALOB,:
.∖AB∖=√^;+pf=2Λ・
(2)由宜线Z与圆C的方程联立得,得
P∙si∏8=2...r
故sιn2^=1,•…
P=4cos^
pMθ,0∈[0,2π)J.2。
=牛.・・O=于,
/.p=4×Sin于=2^2.
•••公共点的极坐标为(2√∑,f).10分
23.(10分)一2%+1,x≤0
(1)当仇=1时J(A:
)=IX-Il+Ixl=1,02x-ItX≥1
・・・当x≤0时,不等式/(x)^3化为-2x+1^3tBPxC-1.
当OSCl时,不等式/&)工3化为心3,此时无解,
当x^l时,不等式/(x)⅛3化为2—心3,即•心2.4分
综上,当«=1时,不等式Jl23的解集为ImW-I或02}5分
(2)f{x)=∖x-(Γ∖+lx-π÷ll^l(.t-π")-(.γ-α+l)l
=∖(Γ-α+1I=αβ-α+1
当N="+;_]B寸√^(t)“心=a,+17分
又/(.X)m3,a^-么+1鼻3,即a2—a-2MO
解得住M2或aW—1・9分
综上,若∕a∙)M3,则a的取值范围是Iala≤-1或aM2}・10分
(以上答案仅供参考,其它解法请参考以上评分标准酌情赋分)