⎩⎪2
19．下面是小元设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：
如图，直线l和直线外一点P．
求作：
过点P作直线l的平行线．作法：
如图，
①在直线l上任取点O；
②作直线PO；
③以点O为圆心OP长为半径画圆，交直线PO于点A，交直线l于点B；
④连接AB，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交⊙O于点C（点A与点C不重合）；
⑤作直线CP；
则直线CP即为所求．
根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．
（1）补全图形；
（2）完成下面的证明：
证明：
连接BP、BC
∵AB=BC
∴弧AB=弧BC
∴∠=∠，又∵OB=OP，
∴∠=∠，
∴∠CPB=∠OBP，
∴CP∥l（）（填推理的依据）．
20．已知关于x的一元二次方程x2+（k-1）x+k-2=0．
（1）求证：
方程总有两个实数根；
（2）任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．
21．如图，在菱形ABCD中，延长AB到E，延长AD到F，使BE=DF，连接EF，连接AC
并延长交EF于点G.
（1）求证：
AG⊥EF；
（2）连接BD交AC于O，过B作BM⊥ＥＦ于点Ｍ，若BD=2，C为AG中点，求EM的
长.
22．如图，以AB为直径的⊙O，交AC于点E，过点O作半径OD⊥AC于点G，连接BD
交AC于点F，且FC=BC.
（1）求证：
BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，tanA=3，求GF的长．
4
C
AB
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2，函数y=k
x
（x>0）的图
象经过点B，与直线y=x+b交于点D.
（1）求k的值；
（2）直线y=x+b与BC边所在直线交于点M，与x轴交于点N.
①当点D为MN中点时，求b的值；
②当DM>MN时，结合函数图象，直接写出b的取值范围.
24．疫情期间某校学生积极观看网络直播课程，为了了解全校500名学生观看网络直播课
程的情况，随机抽取50名学生，对他们观看网络直播课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
观看直播课节数的频数分布表观看直播课节数的频数分布直方图
节数x
频数
频率
0≤x<10
8
0.16
10≤x<20
10
0.20
20≤x<30
16
b
30≤x<40
a
0.24
x≥40
4
0.08
总数
50
1
其中，节数在20≤x<30这一组的数据是：
20202122232323232526262627282829
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a=，b=；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是；
（4）请估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有人．
25．如图，M是弦AB与弧AB所围成的图形的内部的一个定点，P是弦AB上一动点，连接PM并延长交弧AB于点Q，连接QB.
已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，Q两点间距离为y1cm，BQ两点间距离为y2cm.
小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2，随自变量x的变化而变化的规律进行了研究.下面是小明的探究过程，请补充完整.
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
5.24
4.24
3.24
1.54
1.79
3.47
y2/cm
1.31
1.34
1.42
1.54
1.80
2.45
3.47
（1）按照如表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，补全下表；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值对应的点（x1，y1）和（x2，y2）并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：
当△PQB为等腰三角形时，AP的长度约cm
（精确到0.1）
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-1（m>0）与x轴的交点为A，B，与y
轴交点C.
（1）求抛物线的对称轴和点C坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域为图形W（不含边界）．
①当m=1时，求图形W内的整点个数；
②若图形W内有2个整数点，求m的取值范围．
27．如图，在△ABM中，∠ABC=90°，延长BM使BC=BA，线段CM绕点C顺时针旋转9
0°得到线段CD，连结DM，AD．
（1）依据题意补全图形；
（2）当∠BAM=15°时，∠AMD的度数是；
（3）小聪通过画图、测量发现，当∠AMB是一定度数时，AM=MD．
小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：
通过观察图形可以发现，如果把梯形ABCD补全成为正方形ABCE，就易证△AB
M≌△AED，因此易得当∠AMD是特殊值时，问题得证；
想法2：
要证AM=MD，通过第
（2）问，可知只需要证明△AMD是等边三角形，通过构造平行四边形CDAF，易证AD=CF，通过△ABM≌△CBF，易证AM=CF，从而解决问题；
想法3：
通过BC=BA，∠ABC=90°，连结AC，易证△ACM≌△ACD，易得△AMD是等腰三角形，因此当∠AMD是特殊值时，问题得证.
请你参考上面的想法，帮助小聪证明当∠AMB是一定度数时，AM=MB.（一种方法即可）
备用图
28．如图1，点P是平面内任意一点，点A，B是⊙C上不重合的两个点，连结PA，P
B．当∠APB=60°时，我们称点P为⊙C的“关于AB的关联点”．
P
图1图2
（1）如图2，当点P在⊙C上时，点P是⊙C的“关于AB的关联点”时，画出一个满足条件的∠APB，并直接写出∠ACB的度数；
（2）在平面直角坐标系中，点M（1,3），点M关于y轴的对称点为点N．
①以点O为圆心，OM为半径画⊙O，在y轴上存在一点P，使点P为⊙O“关于MN
的关联点”，直接写出点P的坐标；
②点D（m，0）是x轴上一动点，当⊙D的半径为1时，线段MN上至少存在一个点是⊙D的“关于某两个点的关联点”，求m的取值范围．
备用图
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